1、1考点规范练 29 等差数列及其前 n项和一、基础巩固1.已知 Sn为等差数列 an的前 n项和, a2+a8=6,则 S9等于( )A. B.27 C.54 D.108272答案 B解析 S9= =27.9(a1+a9)2 =9(a2+a8)22.已知 an是公差为 1的等差数列, Sn为 an的前 n项和 .若 S8=4S4,则 a10=( )A. B. C.10 D.12172 192答案 B解析 公差 d=1,S8=4S4, ,8(a1+a8)2 =44(a1+a4)2即 2a1+7d=4a1+6d,解得 a1= .12a 10=a1+9d= +9= .12 1923.记 Sn为等差数
2、列 an的前 n项和,若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5=( )A.-12 B.-10 C.10 D.12答案 B解析 因为 3S3=S2+S4,所以 3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即 S3=a4-a3.设公差为 d,则 3a1+3d=d,又由 a1=2,得d=-3,所以 a5=a1+4d=-10.4.已知等差数列 an的前 4项和为 30,前 8项和为 100,则它的前 12项和为( )A.110 B.200 C.210 D.260答案 C解析 设 an的前 n项和为 Sn. 在等差数列 an中, S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,2又 S4=30,S8=100,
3、30,70,S12-100成等差数列, 270=30+S12-100,解得 S12=210.5.已知数列 an是等差数列, a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前 n项和为 Sn,则使得 Sn达到最大的n是( )A.18 B.19 C.20 D.21答案 C解析 a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,则 an的公差 d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当 Sn取得最大值时, n=20.6.在等差数列 an中,若 是一个与 n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )ana2nA.1 B. C. D.1,12
4、 12 0,1,12答案 B解析 特殊值验证法 .若 =1,则数列 an是一个常数列,满足题意;ana2n若 ,ana2n=12设等差数列的公差为 d,则 an= a2n= (an+nd),12 12化简,得 an=nd,即 a1+(n-1)d=nd,化简,得 a1=d,也满足题意;若 =0,则 an=0,不符合题意 .故选 B.ana2n7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言” .题意是:把 996斤绵分给 8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多 17斤绵,那么第 8个儿子分到的绵是 斤
5、. 答案 184解析 用 a1,a2,a8表示 8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,3由题意,得数列 a1,a2,a8是公差为 17的等差数列,且这 8项的和为 996,即 8a1+ 17=996,解得 a1=65.872所以 a8=65+717=184.8.在数列 an中,其前 n项和为 Sn,a1=1,a2=2,当整数 n2 时, Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则 S15= .答案 211解析 由 Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得( Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即 an+1-an=2(n2),则数列 an从第二项起构成以 2为首项,2 为公差的
6、等差数列,所以 S15=1+214+ 2=211.141329.若数列 an的前 n项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n2), a1= .12(1)求证: 成等差数列;1Sn(2)求数列 an的通项公式 .(1)证明 当 n2 时,由 an+2SnSn-1=0,得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以 =2.1Sn- 1Sn-1又 =2,故 是首项为 2,公差为 2的等差数列 .1S1=1a1 1Sn(2)解 由(1)可得 =2n,Sn= .1Sn 12n当 n2 时, an=Sn-Sn-1= =- .12n- 12(n-1)=n-1-n2n(n-1) 12n(n-1)当 n=
7、1时, a1= 不适合上式 .12故 an=12,n=1,- 12n(n-1),n 2.10.在等差数列 an中, a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求 an的通项公式;(2)设 bn=an,求数列 bn的前 10项和,其中 x表示不超过 x的最大整数,如0 .9=0,2.6=2.解 (1)设数列 an的公差为 d,4由题意有 2a1+5d=4,a1+5d=3,解得 a1=1,d= .25所以 an的通项公式为 an= .2n+35(2)由(1)知, bn= .2n+35 当 n=1,2,3时,1 0,d0,则当 Sn取得最大值时, n的值等于 . 38答案 16解析 设 an的公差为 d
8、,由 a12= a50,得 a1=- d,a120;(n-815)当 n17 时, anb2b140b17b18,b15=a15a16a170,故 S14S13S1,S14S15,S15S17S18.因为 a15=- d0,a18= d0,所以 S16S14,65 95 65 95 35所以 Sn中 S16最大 .故答案为 16.14.已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,a20,a 3a4,a 3=9,a4=13, a1+2d=9,a1+3d=13, a1=1,d=4. 通项公式 an=4n-3.(2)由(1)知 a1=1,d=4,S n=na1+ d=2n2-n=2 .n(n-1)2 (
9、n-14)2-18 当 n=1时, Sn最小,最小值为 S1=a1=1.(3)由(2)知 Sn=2n2-n,b n= ,Snn+c=2n2-nn+cb 1= ,b2= ,b3= .11+c 62+c 153+c7 数列 bn是等差数列, 2b2=b1+b3,即 2= ,62+c 11+c+ 153+c 2c2+c=0,c=- (c=0舍去),故 c=- .12 12三、高考预测16.已知各项均为正数的等差数列 an满足: a4=2a2,且 a1,4,a4成等比数列 .(1)求数列 an的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有 an的和: 20 n116; n 能够被 5整除 .解 (1)a 4=2a2,且 a1,4,a4成等比数列, 解得a1+3d=2(a1+d),a1(a1+3d)=16, a1=2,d=2. 数列 an的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)n 同时满足: 20 n116; n 能够被 5整除, 满足条件的 n组成等差数列 bn,且 b1=20,d=5,bn=115, 项数为 +1=20.115-205 bn的所有项的和为S20=2020+ 20195=1350.12又 an=2n,即 an=2bn, 满足条件的所有 an的和为 2S20=21350=2700.8
