1、1考点规范练 28 数列的概念与表示一、基础巩固1.数列 1, ,的一个通项公式 an=( )23,35,47,59A. B. C. D.n2n+1 n2n-1 n2n-3 n2n+3答案 B2.若 Sn为数列 an的前 n 项和,且 Sn= ,则 等于( )nn+1 1a5A. B. C. D.3056 65 130答案 D解析 当 n2 时, an=Sn-Sn-1= ,nn+1-n-1n = 1n(n+1)则 =5(5+1)=30.1a53.已知数列 an满足 an+1+an=n,若 a1=2,则 a4-a2=( )A.4 B.3 C.2 D.1答案 D解析 由 an+1+an=n,得 a
2、n+2+an+1=n+1,两式相减得 an+2-an=1,令 n=2,得 a4-a2=1.4.数列 an的前 n 项和为 Sn=n2,若 bn=(n-10)an,则数列 bn的最小项为( )A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 6 项 D.第 5 项答案 D解析 由 Sn=n2,得当 n=1 时, a1=1,当 n2 时, an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当 n=1 时显然适合上式,所以 an=2n-1,所以 bn=(n-10)an=(n-10)(2n-1).令 f(x)=(x-10)(2x-1),2易知其图象的对称轴为 x=5 ,14所以数列 bn的最小项为第 5
3、项 .5.已知数列 an满足 an+2=an+1-an,且 a1=2,a2=3,Sn为数列 an的前 n 项和,则 S2 016的值为( )A.0 B.2 C.5 D.6答案 A解析 a n+2=an+1-an,a1=2,a2=3,a 3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=3. 数列 an是周期为 6 的周期数列 .又 2016=6336,S 2016=336(2+3+1-2-3-1)=0,故选 A.6.设数列 ,2 ,则 是这个数列的第 项 . 2, 5 2, 11 41答案 14解析 由已知,得数
4、列的通项公式为 an= .3n-1令 ,解得 n=14,即为第 14 项 .3n-1= 417.已知数列 an满足: a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN *),则数列 an的通项公式 an= .答案 3n解析 a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把 n 换成 n-1,得 a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两式相减得 an=3n.8.已知数列 an的通项公式为 an=(n+2) ,则当 an取得最大值时, n= . (78)n答案 5 或 6解析 由题意令 an an-1,an an
5、+1, (n+2)(78)n (n+1)(78)n-1,(n+2)(78)n (n+3)(78)n+1,3解得 n= 5 或 n=6.n 6,n 5.9.设数列 an是首项为 1 的正项数列,且( n+1) -n +an+1an=0,则它的通项公式 an= .a 2n+1 a2n答案1n解析 (n+1) -n +an+1an=0,a 2n+1 a2n =0.(n+1)an+1-nan(an+1+an) an是首项为 1 的正项数列, (n+1)an+1=nan,即 ,a n= a1= 1= .an+1an = nn+1 anan-1an-1an-2 a2a1 n-1nn-2n-1 12 1n1
6、0.已知数列 an的前 n 项和为 Sn.(1)若 Sn=(-1)n+1n,求 a5+a6及 an;(2)若 Sn=3n+2n+1,求 an.解 (1)因为 Sn=(-1)n+1n,所以 a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当 n=1 时, a1=S1=1;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1n+(n-1)=(-1)n+1(2n-1).又 a1也适合于此式,所以 an=(-1)n+1(2n-1).(2)当 n=1 时, a1=S1=6;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-3n-1+2(n-1)+1=23
7、n-1+2. 因为 a1不适合 式,所以 an=6,n=1,23n-1+2,n 2.二、能力提升11.设数列 an满足 a1=1,a2=3,且 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则 a20的值是( )A.4 B.4 C.4 D.415 25 35 454答案 D解析 由 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,得 nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan=2a2-a1=5.令 bn=nan,则数列 bn是公差为 5 的等差数列,故 bn=1+(n-1)5=5n-4.所以 b20=20a20=520-4=96,所以 a20= =4 .96204512.已知
8、函数 f(x)是定义在区间(0, + )内的单调函数,且对任意的正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y).若数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN *),则 an等于( )A.2n-1 B.n C.2n-1 D.(32)n-1答案 D解析 由题意知 f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(nN *),S n+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),两式相减,得 2an=3an-1(n2) .又当 n=1 时, S1+2=3a1=a1+2,a 1=1. 数列 an是首项为 1,公比为 的等比数列 .32a n= .(32)
9、n-113.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,Sn=2an-n,则 an= . 答案 2n-1解析 当 n2 时, an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即 an=2an-1+1a n+1=2(an-1+1).又 S1=2a1-1,a 1=1. 数列 an+1是以 a1+1=2 为首项,公比为 2 的等比数列,a n+1=22n-1=2n,a n=2n-1.514.已知 an满足 an+1=an+2n,且 a1=32,则 的最小值为 . ann答案313解析 a n+1=an+2n,即 an+1-an=2n,a n= +(an-1-an-2)+ +a1=2(n-1)+2
10、(n-2)+21+32=2(an-an-1) (a2-a1)+32=n2-n+32.(1+n-1)(n-1)2 =n+ -1.ann 32n令 f(x)=x+ -1(x1),则 f(x)=1- .32x 32x2=x2-32x2f (x)在 内单调递减,在 内单调递增 .1,4 2) (4 2,+ )又 f(5)=5+ -1= ,f(6)=6+ -1= a1对任意的 a 都成立 .由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1.于是,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2,6故 an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2=2n-2 .12(32)n-2+a-3当 n2 时,由 an+1 an,可知 12 +a-30,即 a -9.(32)n-2又 a3,故所求的 a 的取值范围是 -9,3)(3, + ).三、高考预测16.已知数列 an的通项公式是 an=-n2+12n-32,其前 n 项和是 Sn,则对任意的 nm(其中 m,nN *),Sn-Sm的最大值是 . 答案 10解析 由 an=-n2+12n-32=-(n-4)(n-8)0 得 4n8,即在数列 an中,前三项以及从第 9 项起后的各项均为负且 a4=a8=0,因此 Sn-Sm的最大值是 a5+a6+a7=3+4+3=10.
