1、- 1 -2017-2018 学年广东省肇庆市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设集合 A=x|0x2，B=-1，2，3，则 AB=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为 ，所以，由交集的定义可得 ，故选 B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.2.某大学随机抽取量 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，则这 20 个班有网购经历的
2、人数的众数为（ ）A. 24 B. 37 C. 35 D. 48【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，利用众数的定义写出结果【详解】由茎叶图中的数据知，这 20 个班有网购经历的人数最多的数字为 35； 所以众数为 35，故选 C【点睛】本题主要考查利用茎叶图求众数，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题3.已知袋中有红，白，黑三个球，从中摸出 2 个，则红球被摸中的概率为（ ）A. 1 B. C. D. - 2 -【答案】B【解析】【分析】列举出从红，白，黑三个球中摸出 2 个的情况总数及红球被摸中的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【详解】袋中有红，白，黑三个球，从中摸出
3、 2 个，共有红白、红黑、白黑 3 种情况；红球被摸中的情况有红白、红黑 2 种，故红球被摸中的概率为 ，故选 B【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数 ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件 ，然后根据公式 求得概率.4.设函数 f（x）= ，则函数 f（ ）的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得 ，由根式内部的代数式大于等于 0，结合指数函数的性质求解即可【详解】因为 ，所以 ，因为 ，所以 的定义域为 ，故选 A【点睛】本题主要考查函数的定义域以及指数函数的单调性的应用，是
4、基础题定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.- 3 -5.将红、黑、蓝、白 5 张纸牌（其中白纸牌有 2 张）随机分发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人至少分得 1 张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ）A. 事件“甲分得 1 张白牌”与事件“乙分得 1 张红牌”B. 事件“甲分得 1 张红牌”与事件“乙分得 1 张蓝牌”C. 事件“甲分得 1 张白牌”与事件“乙分得 2 张白牌”D. 事件“甲分得 2 张白牌”
5、与事件“乙分得 1 张黑牌”【答案】C【解析】对于 ，事件“甲分得 1 张白牌”与事件“乙分得 1 张红牌”可以同时发生，不是互斥事件；对于 事件“甲分得 1 张红牌”与事件“乙分得 1 张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件；对于 ，事件“甲分得 2 张白牌”与事件“乙分得 1 张黑牌”能同时发生，不是互斥事件； 但 中的两个事件不可能发生，是互斥事件，故选 C.6.已知函数 f（x）是 R 上的增函数，A（4，2）是其图象上的一点，那么 f（x）2 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由 是函数 的图象上的一点，可得 ，不等式 ，结合函数的单调性可得结果【详解】因为
6、 是函数 的图象上的一点，则 ， 所以 ，又因为函数 是 上的增函数，所以 ， 即 的解集是 ，故选 B【点睛】本题主要考查函数的单调性及其应用，意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力，属于基础题7.一名篮球运动员在最近 6 场 比赛中所得分数的茎叶图如图所示，由于疏忽，茎叶图中的两个数据上出现了污点，导致这两个数字无法辨认，但统计员记得除掉污点 2 处的数字不影响整体中位数，且这六个数据的平均数为 17，则污点 1，2 处的数字分别为（ ）- 4 -A. 5，7 B. 5，6 C. 4，5 D. 5，5【答案】A【解析】由于除掉 处的数字后剩余 个数据的中位数为 ，故污点 处的数字为 ，则污
7、点 处的数字为 ，故选 A.8.下列函数中，既是奇函数又在 上有零点的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】选项 中的函数均为奇函数，其中函数 与函数 在 上没有零点，所以 选项不合题意， 中函数 为偶函数，不合题意； 中函数的一个零点为 ，符合题意，故选 D.9.某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表：第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩学生甲 80 85 90学生乙 81 83 85学生丙 90 86 82则下列结论正确的是（ ）A. 甲，乙，丙第三次月考物理成绩的平均数为 86B. 在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高- 5
8、 -C. 在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定D. 在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大【答案】C【解析】【分析】由表格中数据，利用平均数公式以及方差的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可【详解】由表格中数据知，甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为，错误 ；这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分为 85，丙的成绩平均分最高为 ， 错误；这三次月考物理成绩中，乙的成绩波动性最小，最稳定， 正确；这三次月考物理成绩中，甲的成绩波动性最大，方差最大， 错误故选 C【点睛】本题考查了平均数公式、方差的定义与性质，是基础题方差反映了随机变量稳定于均值的程度， ， .10.函数 （ ）的图象
9、不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 函数 （ ）当 时， ，故 可能当 时， ，显然 为增函数，且 时， ，故 可能- 6 -当 时， ，令 ，则 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 在 上单调递减，在 上单调递增，故 可能综上，函数 （ ）的图象不可能为故选 D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，
10、利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11.如图，在菱形 中， ， ，以 4 个顶点为圆心的扇形的半径为 1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为 ，则圆周率 的近似值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为菱形的内角和为 360，所以阴影部分的面积为半径为 1 的圆的面积，故由几何概型可知 ，解得 .选 C。12.已知函数 f（x）= ，若 g（x）=f（x）-a 恰好有 3 个零点，则 a 的取值- 7 -范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】恰好有 3 个零点， 等价于 的图象有三个不同的交点，作出 的图象，根据数形结合可得结果.【详解
11、】恰好有 3 个零点，等价于 有三个根，等价于 的图象有三个不同的交点，作出 的图象，如图，由图可知，- 8 -当 时， 的图象有三个交点，即当 时， 恰好有 3 个零点，所以， 的取值范围是 ，故选 D【点睛】本题主要考查函数的零点与分段函数的性质，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数 的零点函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.设集合 A=0，log 3（a+1），B=a，a+b若
12、AB=1，则 b=_【答案】-1【解析】【分析】直接利用交集的定义列方程求解即可【详解】集合 ，且 ，所以 ，解得 ，故答案为 【点睛】本题考查交集的定义、以及集合互异性的应用，是基础题集合的交集是由两个集合的公共元素组成的集合.14.某单位收集了甲、乙两人最近五年年度体检的血压值数据，绘制了下面的折线图根据图表对比，可以看出甲、乙两人这五年年度体检的血压值的方差_（填甲或乙）更大- 9 -【答案】乙【解析】由图可知，乙的数据波动更大，所以方差更大的是乙。15.已知幂函数 f（x）=x a的图象过点 则函数 g（x）=（x1）f（x）在区间 上的最小值是_【答案】1【解析】【分析】由代入法可得
13、 =1，求出 g（x）=1 在区间 ，2上单调递增，即可得到最小值【详解】由幂函数 f（x）=x a的图象过点（2， ） ，可得 2 = ，解得 =1，即有 f（x）= ，函数 g（x）=（x1）f（x）=1 在区间 ，2上单调递增，则 g（x）的最小值为 g（ ）=12=1故答案为：1【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用函数单调性，同时考查幂函数解析式求法：待定系数法，考查运算能力，属于中档题16.从边长为 4 的正方形 内部任取一点 ，则 到对角线 的距离不大于 的概率为_.【答案】【解析】- 10 -如图所示， 分别为 的中点，因为 到对角线 的距离不大于 ，所以点落在阴影部分所在区
14、域，由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得， 到对角线 的距离不大于 为 ，故答案为 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.(1)从区间 内任意选取一个实数 ，求 的概率；(2)从区间 内任意选取一个整数 ，求 的概率【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：(1)根据几何概型概率公式，分别求出满足不等式的 的区间长度与区间总长度，求比值即可；(2) 区间 内共有 个数，满足 的整数为 共有 个，根据古典概型概率公式可得结果.试题解析： (1) ， ，故由几何概型可知，所求概率为 .(2) ， ，则在区间 内满足 的整数为 5，6，7，8，9，共有 5 个，故由古典
15、概型可知，所求概率为 .【方法点睛】本题題主要考查古典概型及“区间型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，区间型，求与区间有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总区间 以及事件的区间；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.- 11 -18.已知函数 f（x）=a x（a0 且 a1）的图象过的（-2，16） （1）求函数 f（x）的解析式；（2）若 f（2m
16、+5）f（3m+3） ，求 m 的取值范围【答案】 （1）f（x）= ； （2）m2.【解析】【分析】（1）将 代入 可得 ，从而可得函数 的解析式；（2）根据（1）中所求解析式判断 是实数集上的减函数，不等式 等价于 ，解不等式即可得结果.【详解】 （1）函数 f（x）=a x（a0 且 a1）的图象过点（-2，16） ，a -2=16a= ，即 f（x）= ，（2）f（x）= 为减函数，f（2m+5）f（3m+3） ，2m+53m+3，解得 m2【点睛】本题主要考查了指数函数的解析式和指数函数单调性的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.19.2017 年 APEC 会
17、议于 11 月 10 日至 11 日在越南岘港举行，某研究机构为了了解各年龄层对 APEC 会议的关注程度，随机选取了 100 名年龄在20，45内的市民举行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分布为20，25） ，25.30） ，30，35） ，35，40） ，40，45） （1）求选取的市民年龄在30，35）内的人数；- 12 -（2）若从第 3，4 组用分层抽样的方法选取 5 名市民进行座谈，再从中选取 2 人参与 APEC会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在35，40）内的概率【答案】 （1）30； （2） .【解析】【分析】（1）由频率分布直方
18、图可得年龄在 内的频率为 ，从而可得结果；（2）利用分层抽样的方法可知，所选的 5 人中，从第 3 组选 3 人，从第 4 组选 2 人，利用列举法，求出总事件以及至少有一人的年龄在 内的事件，再利用古典概型概率公式即可得出结果.【详解】 （1）由频率分布直方图可得年龄在30，35）内的频率为 0.065=0.3，则选取的市民年龄在30，35）内的人数 0.3100=30；（2）由频率分布直方图可得年龄在35，40）内的频率为 0.045=0.2，则选取的市民年龄在35，40）内的人数 0.2100=20，则第 3，4 组的人数比为 3：2，故从第 3，4 组用分层抽样的方法选取 5 名市民进
19、行座谈，其中从第 3 组选 3，记为A1，A 2，A 3从第 4 组选 2 人，记为 B1，B 2，则从 5 人选 2 人的：（A 1，A 2） ， （A 1，A 3） ， （A 2，A 3） ， （A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 2，B 1） ，（A 2，B 2） ， （A 3，B 1） ， （A 3，B 2） ， （B 1，B 2）共有 10 种其中第 4 组至少有一人被抽中的有（A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ， （A 3，B 1） ，（A 3，B 2） ， （B 1，B 2）共有 7 种所以参与宣传活动的市民
20、中至少有一人的年龄在35，40）内的概率 【点睛】本题考查古典概率概率公式与频率分布直方图的应用，属于中档题利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， . ，再 ， 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20.某公司 2016 年前三个月的利润（单位：百万元）如下：- 13 -月份 1 2 3利润 2 3.9 5.5（1）求利润 关于月份 的线性回归方程；（2）试用（1）中求得的回归方程预
21、测 4 月和 5 月的利润；（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司 2016 年从几月份开始利润超过 1000 万？相关公式： .【答案】 （1） ；（2）905 万；（3）6 月【解析】试题分析：（1）根据平均数和最小二乘法的公式，求解 ，求出 ，即可求解回归方程；（2）把 和 分别代入，回归直线方程，即可求解；（3）令 ，即可求解的值，得出结果试题解析：（1） ， ， ，故利润 关于月份 的线性回归方程 .（2）当 时， ,故可预测 月的利润为 万.当 时， , 故可预测 月的利润为 万.（3）由 得 ，故公司 2016 年从 月份开始利润超过 万.考点：1、线性回归方程；2、平均数2
22、1.已知定义在 上的函数 （ ） ，并且它在 上的最大值为（1）求 的值；（2）令 ，判断函数 的奇偶性，并求函数 的值域.【答案】(1) (2) 为偶函数,- 14 -【解析】【分析】（1）根据函数单调性及定义域，结合最大值，代入即可求得 a 的值。（2）先判断函数的定义域；再根据奇偶函数的定义判断函数的奇偶性。在定义域范围内，求函数的值域。【详解】 （1）因为 ，则 ，则 .（2） ， 由 ，函数 的定义域 关于原点对称. ， 为偶函数.， ，令 ， . 的值域为 .【点睛】本题考查了对数函数在特定的定义域内的单调性与最值，函数奇偶性的判断，属于基础题。22.某鲜奶店每天以每瓶 3 元的价
23、格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶 7 元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理.（1）若鲜奶店一天购进 30 瓶鲜牛奶，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：瓶， ）的函数解析式；（2）鲜奶店记录了 100 天鲜牛奶的日需求量（单位：瓶） ，绘制出如下的柱形图（例如：日需求量为 25 瓶时，频数为 5） ；- 15 -（i）若该鲜奶店一天购进 30 瓶鲜牛奶，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数；（ii） 若该鲜奶店一天购进 30 瓶鲜牛奶，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 100 元的概率.【答案】 （1） ；（
24、2） （i）111.95；（ii）0.75.【解析】试题分析：（1）当 时， ；当 时， ，故 ；（2） （i）直接利用平均值公式求解即可；（ii）根据对立事件的概率公式可得当天的利润不少于 元的概率为 .试题解析：（1）当 时， ；当 时， .故 .（2） （i）这 100 天中，有 5 天的日利润为 85 元，10 天的日利润为 92 元，10 天的日利润为99 元，5 天的日利润为 106 元，10 天的日利润为 113 元，60 天的日利润为 120 元，故这 100 天的日利润的平均数为 .（ii）当天的利润不少于 100 元当且仅当日需求量不少于 28 瓶.当天的利润不少于 100 元的概率为 .【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及平均数公式、对立事件的概率，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.- 16 -
