1、1课时规范练 13 万有引力定律及其应用基础对点练1.(开普勒第三定律)已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为 R1和 R2(公转轨迹近似为圆),如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率。则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是( )A. B. C. D.答案 B解析 公转的轨迹近似为圆,地球和火星的运动可以看作匀速圆周运动,根据开普勒第三定律知 =C,运动的周期之比,在一个周期内扫过的面积之比为,面积速率为,可知面积速率之比为,故 B 正确,A、C、D 错误。2.(对万有引力定律的理解)(2018河南六市一联)万有引力定律和库仑定律都满足距离平方反比规律
2、,因此引力场和电场之间有许多相似的性质,在处理有关问题时可以将它们进行类比。例如电场中引入电场强度来反映电场的强弱,其定义为 E=,在引力场中可以用一个类似的物理量来反映引力场的强弱。设地球质量为 M,半径为 R,地球表面处重力加速度为 g,引力常量为 G。如果一个质量为 m 的物体位于距地心 2R 处的某点,则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )A.G B.G C.G D.答案 C解析 类比电场强度定义式 E=,该点引力场强弱2a=,所以 C 正确。3.(求天体的质量)(2019江西上饶中学月考)对于环绕地球做圆周运动的卫星来说,它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化,某
3、同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径 r 与周期 T 的关系作出如图所示图象,则可求得地球质量为(已知引力常量为 G)( )A. B. C. D.答案 C解析 由万有引力提供向心力有 G=mr,得 r3=T2。由题图可知,所以地球的质量 M=,故 C 正确,ABD 错误。4.(求天体的密度)(2019河北邯郸永年区二中月考)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0,在赤道的大小为 g;地球自转的周期为 T,引力常量为 G。地球的密度为( )A. B. C. D.答案 B解析 在地球两极重力等于万有引力,根据万有引力定律有 G=mg0,在地球的赤道上重力等于
4、万有引力与向心力的差值,即 G-m()2R=mg。地球的质量为 M= R3 。联立以上三式可得地球的密度 = ,选项B 正确。5.(多选)(宇宙速度)下列关于三种宇宙速度的说法正确的是( )3A.第一宇宙速度 v1=7.9 km/s,第二宇宙速度 v2=11.2 km/s,则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于 v1,小于 v2B.美国发射的“凤凰”号火星探测卫星,其发射速度大于第三宇宙速度C.第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚,成为绕太阳运行的小行星的最小发射速度D.第一宇宙速度 7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度答案 CD解析 根据 v=可知,卫星
5、的轨道半径 r 越大,即距离地面越远,卫星的环绕速度越小, v1=7.9km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度,选项 D 正确;其余绕地球在圆轨道上运行时的卫星的速度都小于第一宇宙速度,选项 A 错误;美国发射的“凤凰”号火星探测卫星,仍在太阳的引力范围内,所以其发射速度小于第三宇宙速度,选项 B 错误;第二宇宙速度是物体挣脱地球束缚而成为一颗绕太阳运行的小行星的最小发射速度(在地面上发射),选项 C 正确。6.(多选)(双星问题)(2018全国卷 )2017 年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约 100 s 时,它们相
6、距约 400 km,绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积 B.质量之和C.速率之和 D.各自的自转角速度答案 BC解析 设两中子星质量为 m1、 m2,环绕半径为 r1、 r2,两星间距为 r。所以有 G=m1 2r1,G=m2 2r2可解得 m1=;m2=所以 m1+m2=,故 B 项正确;4设两星速率分别为 v1、 v2。所以有v1+v2= (r1+r2)=r由题意可得 、 r,故 C 项正确。7.(重力与万有引力的关系)(2019河南滑县二联)已知地球两极的
7、重力加速度为 g,地球同步卫星的轨道半径是地球半径的 n 倍。考虑地球自转的影响,把地球视为质量均匀分布的球体,则赤道上的重力加速度为( )A.g B.(1-)g C.(1-)g D.(1-)g答案 D解析 设地球质量为 M,半径为 R,自转周期为 T。有一质量为 m 的卫星,该卫星在地球两极,有: G=mg;该卫星在地球赤道上,有: G-mR=mg1;该卫星在同步轨道上,有: G=mnR,联立上面三个式子,得 g1=(1-)g,选项 D 正确。8.(多选)(卫星参量的比较)(2018江苏扬州一模)2017 年 9 月 25 日后,微信启动页面采用“风云四号”卫星成像图。“风云四号”是我国新一
8、代静止轨道气象卫星,则其在圆轨道上运行时( )A.可定位在赤道上空任意高度B.线速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间C.角速度与地球自转角速度相等D.向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大答案 CD解析 同步卫星只能在赤道上空,且高度保持不变。故 A 错误;第一宇宙速度为人造卫星的最大运行速度,气象卫星的线速度小于第一宇宙速度,则 B 错误;同步卫星的周期等于地球的自转周期,所以同步卫星绕地球运行的角速度与地球自转的角速度相等,则 C 正确;同步卫星与月球都是万有引力5提供向心力,由 =ma 可得: a=,所以同步卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大,则 D 正确。素养
9、综合练9.(2018湖南雅礼中学月考)我国发射的第 10 颗北斗导航卫星轨道平面与地球赤道平面有一定的夹角,它的运行周期是 24 小时。图中的“8”字是该卫星相对地面的运行轨迹,它主要服务区域为亚太地区。已知地球半径为 R,地球同步卫星的轨道距地面高度约为地球半径的 6 倍,地球表面重力加速度为 g。下列说法正确的是( )A.该北斗卫星的轨道半径约为 6RB.图中“8”字交点不一定在赤道正上方C.该北斗卫星的线速度小于赤道上物体随地球自转的线速度D.依题意可估算出赤道上物体随地球自转的向心加速度大小约为 g答案 D解析 该北斗卫星的轨道半径约为 r=6R+R=7R,A 项错误;同步卫星的轨道在
10、赤道正上方,故图中“8”字交点一定在赤道正上方,B 项错误;该卫星的周期等于地球自转的周期,故卫星的角速度等于地球自转的角速度,根据 v=r 可知,该北斗卫星的线速度大于赤道上物体随地球自转的线速度,C 项错误;对卫星 G=m(7R),其中 GM=gR2,则地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度 a=R,联立解得 a=,D项正确。610.(2019山东夏津一中月考)假设两颗质量相等的星球绕其球心连线中心转动,理论计算的周期与实际观测的周期有出入,且( n1),科学家推测,在以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质,设两星球球心连线长度为 L,质量均为 m,据此推测,暗物质的质量为(
11、)A.(n-1)m B.(2n-1)m C.m D.m答案 D解析 因为( n1),所以 T 观测 =T 理论 T 理论 ,差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着的暗物质引起的,均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用等效于这些暗物质在双星连线中点对双星系统的作用,设这种暗物质质量为 M,此时双星做圆周运动的向心力由双星的万有引力和暗物质对双星的万有引力提供,由万有引力定律得 G+G,G 由以上两式解得 M=m,选项 D 正确,ABC 错误。11.宇航员在某星球表面让一个小球以初速 v0做竖直上抛运动,经过时间 t 小球落到星球表面。(1)求该星球表面附近的重力加速度 g 星 ;(2)已知该
12、星球的半径为 R,引力常量为 G,求该星球的质量 M;(3)要使物体不再落回星球表面,沿星球表面平抛出的速度至少应是多少?答案 (1) (2) (3)速度至少应是解析 (1)由竖直上抛规律 t 上 =tg 星 =(2)在星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力。即 G=mg 星 ,由 可得 M=(3)在星球表面物体的重力提供绕地球做匀速圆周运动的向心力 mg 星 =m平抛的速度至少为 v=。712.由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运
13、动(图示为 A、 B、 C 三颗星体质量不相同时的一般情况)。若 A 星体质量为 2m,B、 C 两星体的质量均为 m,三角形的边长为 a,求:(1)A 星体所受合力大小 FA;(2)B 星体所受合力大小 FB;(3)C 星体的轨道半径 RC;(4)三星体做圆周运动的周期 T。答案 (1)2 (2) (3)a (4)解析 (1)由万有引力定律, A 星体所受 B、 C 星体引力大小为 FBA=G=G=FCA,方向如图则合力大小为 FA=2(2)同上, B 星体所受 A、 C 星体引力大小分别为 FAB=G=GFCB=G=G,方向如图。8合力大小 FBx=FABcos60+FCB=2GFBy=FABsin60=,可得 FB=(3)通过分析可知,圆心 O 在中垂线 AD 的中点,RC=可得 RC=a(4)三星体运动周期相同,对 C 星体,由 FC=FB=mRC可得 T=
