1、- 1 -成都经开区实验中学 2016 级高三上学期 12 月月考试题数学（理工类）第 卷（选择题部分，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 ， ，则 等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】A B 中的元素同时具有 A， B 的特征，问题等价于|12 ai|2， aR，解得 a .故选A.2.若复数 的实部和虚部互为相反数，那么实数 等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】，因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此 ，因此 。故选 A.3.设等差数列 的前 项和为 .若 ， ，则
2、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】又 .可得 ，则故选 D.- 2 -4.设函数 ，给出下列四个命题：当 时， 是奇函数；当 ， 时，方程 只有一个实数根；函数 可能是 上的偶函数；方程 最多有两个实根.其中正确的命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的解析式结合奇偶性，单调性的定义逐一考查所给函数的性质即可求得结果【详解】当 时，函数，则函数 是奇函数，故正确当 ， 时， 函数在 上是增函数，且值域为 ，则方程 只有一个实数根，故正确若函数 是 上的偶函数，则 ，即 ，不存在等式在上成立，故错误当 ， 时，方程 有三个实根： ，因此，方程 最多有
3、两个实根错误综上所述，正确的命题有故选【点睛】对于函数的奇偶性和单调性的判断，利用定义法来证明，对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可以利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性，草图确定其中参数的范围。5. 某企业有 4 个分厂，现有新培训的 6 名技术人员，将这 6 名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少 1 人，则不同的分配方案种数为（ ）A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300【答案】C【解析】试题分析：先把 6 个人分成 4 组，每组至少一人- 3 -若 4 个组的人数按 3、1、1、1 分配，则不同的分组方案有 种，若 4 个组的人数按 2、2、1、1 分配，
4、则不同的分组方案有 种，所以分组方法共有 种在这 4 组分给 4 个厂，不同的分配方法有故答案选考点：计数原理的应用6.函数 ， 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意可知：y= ，当 0x 时，y=x+sinx，y=1+cosx0，又 y=cosx 在0，上为减函数，所以函数 y=x+sinx 在0，上为增函数且增速越来越小；当-x0 时，y=x-sinx，y=1-cosx0，又y=cosx 在-，0）上为增函数，所以函数 y=x-sinx 在0，上为增函数且增速越来越小；又函数 y=x+sin|x|，x-，恒过（-，-）和（，）两点，所以 C 选项对应
5、的图象符合考点：本题考查了函数的图象点评：在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想值- 4 -得同学们体会和反思7.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】C【解析】试题分析：列出循环过程中 S 与 K 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环解：第 1 次判断后 S=1，k=1，第 2 次判断后 S=2，k=2，第 3 次判断后 S=8，k=3，第 4 次判断后 33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8故选 C考点：循环结构8.如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 分别是棱 ， 的中点， 是侧面内一点，
6、若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先判断出点 的位置，确定使得 取得最大值和最小值时点 的位置，然后再通过计算可求得线段 长度的取值范围详解：如下图所示，分别取棱 的中点 M、 N，连 MN， ， 分别为所在棱的中点，则 ， MN EF，又 MN平面 AEF， EF平面 AEF， MN平面 AEF ，四边形 为平行四边形， ，又 平面 AEF， AE平面 AEF， 平面 AEF，又 ，平面 平面 AEF P 是侧面 内一点，且 平面 AEF，点 P 必在线段 MN 上- 6 -在 中， 同理，在 中，可得 ， 为等腰三角形当点
7、P 为 MN 中点 O 时， ，此时 最短；点 P 位于 M、 N 处时， 最长 ， 线段 长度的取值范围是 故选 B点睛：本题难度较大，解题时要借助几何图形判断得出使得 取得最值时的点 P 的位置，然后再根据勾股定理进行计算9.如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A. 9 B. C. 18 D. 27【答案】A【解析】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥 ABCD，三棱锥的外面是长、宽、高为 6、3、3 的长方体，几何体的体积 V= =9，故选：A- 7 -【点评】本题考查三视图求几何体的体积，借助于长方体复原几何体是解题的关键，考查
8、空间想象能力10.若函数 满足 且 的最小值为 4，则实数 的值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C【解析】由约束条件作出可行域（如图） ，当目标函数 经过可行域内的点 时， 取得最小值，即 ，解之得 故选 C.11.A 是抛物线 上的一点， F 为抛物线的焦点， O 为坐标原点，当 时，,则抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】过点 A 作准线的垂线 AC，过点 F 作 AC 的垂线 FB，垂足分别为 C， B，如图由题意知 BFA OFA9030，又因为| AF|4，所以| AB|2.点 A 到准线的距离d| AB| BC| p24，解得 p2
9、，则抛物线 y24 x 的准线方程是 x1.故选 A.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物- 8 -线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用,尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.12.已知 且 ，若 为 的最小值，则约束条件所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（ ）A. 29 B. 25 C. 18 D. 16【答案】A【解析】【分析】先根据基本不等式求最值得 M 值，再画可行域，根据可行域求整点个数.【详解】因为 ，所以 ,即 作可行域 如图阴影部分，则
10、整点个数为 ，选 A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值以及求可行域内整点，考查基本分析求解能力，属中档题.第卷（非选择题部分，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223 题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分。13.点 P 从 出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为_.【答案】【解析】- 9 -点 从 出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 点 ，即本题答案为14.已知 ，且 ，函数 的图象恒过点 P，若 在幂函数图像上，则_【答案】【解析】试题分析：由
11、于无论 取何值， 的图象都经过定点 ，在指数函数 的图象上，则 ，则考点：1.对数函数图象与性质，2.指数计算15.若 的展开式中含有常数项，则 的最小值等于_【答案】2【解析】的展开式中， ，令 ，展开式中含有常数项，当 时， 取最小值为 ；令 ，展开式中含有常数项，当 时， 取最小值为 2；综上可知： 取最小值为 2；16.已知椭圆 是椭圆上的两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点，则 的取值范围是_ （用 表示）【答案】【解析】- 10 -设 的坐标分别为 和 因线段 的垂直平分线与 轴相交，故 不平行于 轴，即 又交点为 ，故 ，即 在椭圆上， 将上式代入，得 ，可得 且 ，即答案为三
12、、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.如图，已知 是 边 上一点.（1）若 ，且 ，求 的面积；（2）当 时，若 ，且 ，求 的长.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）先求 CD 上高，再根据面积公式求结果， （2）先根据直角三角形求 ，再根据余弦定理求 的长.【详解】(1)过 A 点作 AE 于 E， 则 AE= ,则 - 11 -（2）所以因此由 得【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.已知数列 满足 ， .（1）求证：数列 为等比数列，并求数
13、列 的通项公式；（2） 令 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由 知： ，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）b n=|112n|，设数列112n的前 n 项和为 Tn，则 当 n5 时，S n=Tn；当 n6 时，S n=2S5Tn【详解】 （1）证明：由 知 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.则 ， .（2） ，设数列 前 项和为 ，则 ，当 时， ；当 时， ；所以 .【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、分类讨论方法，考- 12 -查了推理能力与计算能力，属于中档题19.为普及学生安全逃生知识与安全防护能
14、力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 分）进行统计，制成如下频率分布表.分数（分数段） 频数（人数） 频率合计（1）求表中 ， ， ， ， 的值；（2）按规定，预赛成绩不低于 分的选手参加决赛.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为 ，求 的分布列和数学期望.【答案】 （1）见解析；（2）1【解析】【分析】（1）由题意知，参赛选手共有 50 人，由此能求出表中的 x，y，x，s，p 的值（2）由题意随机变量 X 的可能取值
15、为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和随机变量 X 的数学期望【详解】 （1）由题意知，参赛选手共有 （人） ，所以 ， ， ， .（2）由（1）知，参加决赛的选手共 人，随机变量 的可能取值为 ， ， ，- 13 -，随机变量 的分布列为：因为 ，所以随机变量 的数学期望为 .【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.2
16、0.已知四边形 的四个顶点在椭圆 ： 上，对角线 所在直线的斜率为 ，且 ， .（1）当点 为椭圆 的上顶点时，求 所在直线方程；（2）求四边形 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由题意，对角线 垂直平分线段 ，所以直线 所在直线的斜率为 ，得中点 的坐标为 ，所以 所在直线方程为 ；（2）设 ， 所在直线方程分别为 ， ，则 ，又得 ，所以当 时，四边形 的面积最大，最大面积为 .试题解析：（1）因为 ， ，所以对角线 垂直平分线段 .- 14 -因为直线 的斜率为 ，则直线 所在直线的斜率为 .又因为 ，则直线 所在直线方程为 .由 ，解得 则 中点 的坐
17、标为 所以 所在直线方程为 ；（2）设 ， 所在直线方程分别为 ， ， ， ， 中点 .由 得 令 ，得 ， 则 同理 则 又因为 ，所以 中点 .由点 在直线 上，得 ，所以因为 ，所以 所以当 时，四边形 的面积最大，最大面积为 .21.已知 ( ，且 为常数).(1)求 的单调区间；(2)若 在区间 内，存在 且 时，使不等式 成立，- 15 -求 的取值范围.【答案】 (1) 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ; 时，函数单调递增区间为 ，单调递减区间为 .(2) 【解析】【分析】（1）先求导数，再根据 正负分类讨论单调区间， （2）先根据 单调性化简不等式，构造新函数 ，转化为
18、研究新函数在区间 上存在单调递减区间，利用导数研究新函数导数小于零有解，再利用变量分离法确定 的取值范围.【详解】(1) ( 且 为常数)， ，若 时，当 ， ；当 时， ，即 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .若 时，当 ， ；当 时， ，即 时，函数 单调递增区间为，单调递减区间为 .(2)由(1)知， 在区间 上单调递减，不妨设 ，则 ，不等式 可化为 ，即 ，令，则 在区间 上存在单调递减区间，有解，即 ， 有解，令 ，则 ，由 得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， 单调递减， ，故 .【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性
19、，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线- 16 -的极坐标方程为 ， .（1）求 的直角坐标方程；（2）曲线 的参数方程为 （ t 为参数） ，求 与 的公共点的极坐标.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）利用公式 化简极坐标方程得到 ；（2）由题设可知，是过坐标原点，倾斜角为 的直线，将 代入 ，解得： ，故公共点的极坐标为 .试题
20、解析：（1）将 代入 得： .（2）由题设可知， 是过坐标原点，倾斜角为 的直线，因此 的极坐标方程为 划 ，将 代入 ，解得： ，将 代入 得 ，不合题意，故 公共点的极坐标为 考点：坐标系与参数方程.23.已知函数 .(1)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围；(2)当 时，函数 的最小值为 ,求实数 的值.【答案】 （） ；() .【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式可求得实数 的取值范围.(2)以零点 和 分三段讨论。试题分析：() 可化为 解得： 或 实数 的取值范围为- 17 -（）函数 的零点为 和 ，当 时知如图可知 在 单调递减，在 单调递增，解得： 【点睛】绝对值函数的最值问题，一般按 n 个零点分 n+1 段讨论,也可以结合图像分析。- 18 -
