1、- 1 -成都龙泉中学 2016 级高三上学期 12 月月考试题数学（理工类）（考试用时：120 分全卷满分：150 分）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷
2、、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交；第 卷（选择题部分，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 ， ，则 AB=（ ）A. B. C. （0，1 D. （0，3【答案】D【解析】由 解得 ，所以 ，由 解得 ，所以，故 ，选 D.2.设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】- 2 -， ，故选 A。3.若命题：“ ， ”为假命题，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】原命题若为假命题，则其否定必
3、为真，即 ax2 ax20 恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案【详解】命题 ”为假命题，命题“ xR， ax2 ax20”为真命题，当 a0 时，20 成立，当 a0 时， a0，故方程 ax2 ax20 的 a2+8a0 解得：8 a0，故 a 的取值范围是：8，0故选： D【点睛】本题考查了命题真假的判断与应用，其中将问题转化为恒成立问题，是解答本题的关键4.已知： ， ，若函数 和 有完全相同的对称轴，则不等式 的解集是A. B. C. D. 【答案】B【解析】，所以 因此 - 3 -，选 B.5.执行程序框图，假如输入两个数是 、 ，那么输出的 =( )A. B. C.
4、4 D. 【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，的值，用裂项法即可得解详解：模拟执行程序框图，可得是 、 ， ，满足条件 ，满足条件 满足条件 不满足条件 ，退出循环，输出 的值为 4故选 C点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基础题6.某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为 ，左视图为边长是 1 的正方形，俯视图为有一个内角为 的直角梯形，则该多面体的体积为（）- 4 -A. 1 B. C. D. 2【答案】C【解析】由题可知， ，所以 ，故选 C。7.已知 5 台机器中有 2 台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出 2
5、 台故障机器为止.若检测一台机器的费用为 1000 元，则所需检测费的均值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】设检测的机器的台数为 x,则 x 的所有可能取值为 2,3,4.所以 ，所以所需的检测费用的均值为 10003.5=3500.故选 C.8.已知实数 ， 满足 ，若 的最小值为 ，则实数 的值为（ ）A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论求得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案【详解】由 作出可行域如图：- 5 -联立 ，解得联立 ，解得化 为由图可知，当 时，直线过 时在
6、轴上的截距最大， 有最小值为 ，即当 时，直线过 时在 轴上的截距最大， 有最小值为 ，即综上所述，实数 的值为故选【点睛】本题主要考查的是简单线性规划，本题有两个易错点，一是可行域错误；二是不能正确的对 进行分类讨论，根据不同情况确定最优解，利用最小值求解 的值，并确定是否符合题意，线性规划题目中含有参数的问题是常考题9.函数 ，则使得 成立的 取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先判断出偶函数在 上单调递减，然后根据对称性将函数不等式化为绝对值不等式求解详解：由题意知函数的定义域为 ，当 时， ， 在 上单调递减， 是偶函数， 在 上单调递增- 6 - ， ，两
7、边平方后化简得 且 ，解得 或 ，故使不等式成立的 取值范围是 故选 B点睛：解题时要注意函数性质的综合运用，对于图象具有对称性的函数，在解不等式时，可将不等式转化为变量到对称轴的距离的大小关系求解解绝对值不等式时，要根据绝对值不等式的特点进行求解，解题时要注意绝对值的几何意义的利用10.(2016太原五中模拟)已知 的外接圆的圆心为 ，半径 ，如果 ，且 ，则向量 在 方向上的投影为( )A. 6 B. 6C. D. 【答案】B【解析】由 0 得， DO 经过边 EF 的中点， DO EF.连接 OF，| | | |4， DOF 为等边三角形， ODF60. DFE30，且 EF4sin 6
8、024 .向量 在 方向上的投影为| |cos , 4 cos 1506，故选 B.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab| a|b|cos ；二是坐标公式ab x1x2 y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.11.直线 与圆 交于 、 两点， 为坐标原点，若直线 、 的倾斜角- 7 -分别为 、 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，由三角函数的定义得：cos+cos x1+x2，由此利用韦
9、达定理能求出 cos+cos 的值【详解】设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，由三角函数的定义得：cos+cos x1+x2，由 ，消去 y 得：17 x24 x120则 ，即 故选： D【点睛】本题考查两个角的余弦值之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意韦达定理和三角函数定义的合理运用12.设 是函数 的导函数，且 ， （ 为自然对数的底数） ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数 F（x）= ，求出导数，判断 F（x）在 R 上递增原不等式等价为 F（lnx）F（- 8 -） ，运用单调性，可得 lnx ，运用对数不等式
10、的解法，即可得到所求解集【详解】可构造函数 F（x）= ，F（x）= = ，由 f（x）2f（x） ，可得 F（x）0，即有 F（x）在 R 上递增不等式 f（lnx）x 2即为 1， （x0） ，即 1，x0即有 F（ ）= =1，即为 F（lnx）F（ ） ，由 F（x）在 R 上递增，可得 lnx ，解得 0x 故不等式的解集为（0， ） ，故选：B【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造， 构造 ， 构造 等第卷（非选择题部分，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题
11、为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223 题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分。13.设 ，则 _【答案】-1【解析】由题意，得 ；故填 .14.已知函数 （ ，且 当 时，函数 的零点 ， ，则 _- 9 -【答案】 2【解析】【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的 a， b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，与所给的区间进行比较，得到 n 的值【详解】设函数 ylog ax， y x+b根据 2 a3 b4，对于函数 ylog ax，当 x2 时，函数值 y1，当 x3 时，函数值 y1，在同一坐标系中划出两
12、个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，函数 f（ x）的零点 x0（ n， n+1）时， n2，故答案为 2【点睛】本题考查函数零点的判定定理，是一个基本初等函数的图象的应用，这种问题一般应用数形结合思想来解决15. 、 分别为双曲线 左、右支上的点，设 是平行于 轴的单位向量，则 的最小值为_【答案】4【解析】【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可- 10 -【详解】由向量数量积的定义可知 即向量 在向量 上的投影 模长的乘积，故求 的最小值，即求 在 轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知 的最小值为故答案为【点睛】本题有两个易错点：一是不理解向
13、量投影的概念，导致无法求解；二是不能结合双曲线图象求解，突破方法是强化数形结合在解题中的应用。16.已知 为数列 的前 项和，且 ，若， ，给定四个命题 ； ； ； .则上述四个命题中真命题的序号为_.【答案】【解析】构造函数 为奇函数，且单调递增，依题意有又 ，故数列 为等差数列，且公差 故故错误；故正确；由题意知若 ，则 而此时， 不成立，故错误；.，故成立.- 11 -即答案为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知向量 ， ， .（1）求 的最大值，并求此时 的值；（2）在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足 ， ， ，求的值.【答案】(1) ， 时，
14、的最大值为 (2) 【解析】【分析】利用向量数量积的坐标结合降幂公式及辅助角公式化简求得 ，进一步求得函数的最大值，并求得使函数取得最大值的 的值由中的解析式结合 求得 ，再由余弦定理求得 ，最后由正弦定理求得答案【详解】 （1） ，当 ， ，即 ， 时，的最大值为 .（2） ， ， ， ， ， ，在 中，由余弦定理得， ，在 中，由正弦定理得， .【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算以及正弦定理和余弦定理，在化简过程中注意辅助角公式的运用和求最值时的方法- 12 -18.如图，在四棱椎 中， 是棱 上一点，且 ，底面 是边长为 2的正方形， 为正三角形，且平面 平
15、面 ，平面 与棱 交于点 .(1)求证：平面 平面 ；(2)求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1)在正方形 中， ，由面面垂直的性质定理可得 ， 平面，又 平面 ， ，进而证得 ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 .(2)取 中点 ，以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出相关点的坐标，进而得到平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 .由空间的夹角公式可求两个向量的的夹角，又由题意可得二面角 为钝角，即可得到二面角的余弦值.试题解析：(1)在正方形 中， ，又平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ，底面 是正方形， ，又
16、平面 ， 平面 ， 平面 .又 四点共面，且平面 平面 ， ， ，又 ， 为棱 的中点， 是棱 中点， 是正三角形， ，又 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 .(2)取 中点 ，以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，则- 13 -， ， ， ， ， ， ，.设平面 的法向量为 ，则 ， ， ，解得 ， ，令 ，则 为平面 的一个法向量，设平面 的法向量为 ，则 ， ， ， ，得 ， ，令 ，则为平面 的一个法向量. ，由图知二面角 为钝角，二面角 的余弦值为 .19.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日
17、至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料：日 期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日温差 （C） 10 11 13 12 8发芽数 （颗） 23 25 30 26 16该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验 （1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率； - 14 -（2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关于
18、 x 的线性回归方程 ；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注： ）【答案】 （1） ；（2） ；（3）可靠的，理由见解析【解析】试题分析：（1）求出抽到相邻两组数据的事件概率，利用对立事件的概率计算抽到不相邻两组数据的概率值；（2）由表中数据，利用公式计算回归直线方程的系数，写出回归直线方程，利用方程计算并判断所得的线性回归方程是否可靠.试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 ，因为从第 5 组数据中选取 2 组数据共有 10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两
19、组数据的情况有 4 种，所以故选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率是 ，（2）由数据，求得，由公式得 ，所以 关于 的线性回归方程这（3）当 时，同样地，当 时，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠- 15 -20.已知点 为圆 上一动点， 轴于点 ，若动点 满足 .（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）过点 的直线 与曲线 交于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，求 的值.【答案】 （） ， （）【解析】【分析】：（1）设 ，则 ，根据向量表达式，表示出 的坐标关系式，得出动点 的轨迹。（2） ，将直线 被代入椭圆方程消去 得 ，根据韦达定理表示出 。所以线段 的中点坐标为
20、 ，表示出线段的垂直平分线的方程，求出点 的坐标，再表示出 的长度，最后求解。【详解】：（1）设 ，则 ，所以 ，由化简得 ，因为 ，代入得 ，即为 的轨迹为椭圆方程.（2）由（1）知，点 为椭圆 的左偏点，将直线 被代入椭圆方程消去得 ，设 ，则有，则，所以线段 的中点坐标为所以线段 的垂直平分线所在的直线方程为令 得 ，即 ，所以- 16 -所以【点睛】：联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出 ， 的关系式，利用弦长公式。求解圆锥曲线有关的值，最终落脚点在于计算直线与曲线的交点坐标的关系式。根据题目的条件，转化为 ， 关系的式子是解题的关键。21.已知函数 .()求曲线 在 处的切线方程；()
21、求证：当 时， .【答案】 （） ；()见解析【解析】试题分析：（1）则导数的几何意义可求得曲线 在 处的切线方程。 （2）由（1）当时， ，即 ， + ,只需证, x试题解析：（） ， 由题设得 ， ，在 处的切线方程为() ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以，所以 在 上单调递增，所以 . 过点 ，且 在 处的切线方程为，故可猜测：当 时， 的图象恒在切线 的上方.下证：当 时，设 ，则 ，在 上单调递减，在 上单调递增，又- 17 -， ，所以，存在 ，使得 ，所以，当 时， ；当 时， ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ，当且仅当 时取等号，故.又
22、 ，即 ，当 时，等号成立.【点睛】解本题的关键是第（1）结论对第（2）问的证明铺平了路，只需证明x 。所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（1）问相似或相同形式时，将有利于快速证明。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数，且 ） ，已知曲线的极坐标方程为 .（1）将曲线 的参数方程化为普通方程，并将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求曲线 与曲线 交点的极坐标 .【答案】 （1） （ 或 ）. .（2） .【解析】【详解】 （1）先求出 ，再代入消元将曲线 的参数方程化
23、为普通方程，根据将 ， .曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求曲线 与曲线 交点的直角坐标，再化为极坐标.（1） ， ，即 ，- 18 -又 ， ， 或 ，曲线 的普通方程为 （ 或 ）. ， ， ，即曲线 的直角坐标方程为 .（2）由 得 ， （舍去） ， ，则交点的直角坐标为 ，极坐标为 .【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23.已知函数（1）若 ，求 的取值范围；（2）若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实 a 的不等式，然后零点分段求解不等式组可得 的取值范围是 .(2)原问题等价于 ，由二次函数的性质可知 ，由绝对值不等式的性质可得 ，据此求解关于实数 a 的不等式可得 的取值范围是 .试题解析：（1） ，若 ，则 ，得 ，即 时恒成立，若 ，则 ，得 ，即 ，若 ，则 ，得 ，即不等式无解，综上所述， 的取值范围是 .- 19 -（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需 ，当 时， ，因为 ，所以当 时， ，即 ，解得 ，结合 ，所以 的取值范围是 .- 20 -
