1、- 1 -成都龙泉二中 2016 级高三上学期 12 月月考试题数学(文)注意事项:1.答题时,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答:先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结
2、束后,请将答题卡上交;第 卷(选择题部分)一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设全集 ,则 中整数元素的个数为( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】由 得: ,结合 得:,则 中整数元素为 3,4,5,6,即个数为 4 个,故选 B.点睛:研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解不等式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间
3、端点的取舍.2.若复数 z 满足 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】- 2 -,则 , ,故选 B3.若 ,则 , , 的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用中间量“0” , “1”判断三个数的大小即可【详解】 故选 C.【点睛】本题主要考查数的大小比较,一般来讲要转化为函数问题,利用函数的图象分布和单调性比较,有时也用到 0,1 作为比较的桥梁4.下列有关命题的说法正确的是( )A. 命题“若 ,则 ”的否命题为:“若 ,则 ”B. 若 为真命题,则 均为真命题.C. 命题“存在 ,使得 ” 的否定是: “对任意 ,均有”D. 命题“
4、若 ,则 ”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】否命题只需要否定结论,原命题为真,则逆否命题也为真。【详解】A,该命题的否命题应为:”若 ,故 A 错误;”C 选项,对命题的否定只需要否定结论即可,故错误;,B 选项为 p 为真命题或 q 为真命题,错误;D 选项原命题正确,说明逆否命题也对,故正确。- 3 -【点睛】本道题考查了命题和逻辑这一块内容,命题否定只需要否定结论,原命题为真,逆否命题也是真的。5.某几何体的三视图如图所示,其中主视图,左视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体是一个半球
5、上面有一个三棱锥,体积为,故选 A.6.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的 1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数,由以上规律,则这些三角形数从小到大形成一个数列 ,那么 的值为( )A. 45 B. 55 C. 65 D. 66【答案】B【解析】由以上图形可知 共有 10 行, 选 B.7.秦九韶算法是我国古代算筹学史上光辉的一笔,它把一元 n 次多项式的求值转化为 n 个一次式的运算,即使在计算机时代,秦九韶算法仍然是高次多项式求值的最优算法,其算法如图所示,若输入的 分别为 ,则该程序框图输出 p 的值为( )- 4 -A. -
6、14 B. -2 C. -30 D. 32【答案】B【解析】解析:根据图中程序框图可知: ,当 x=2 的值图中的计算是当 x=2 时,多项式 的值,故选 B点晴:程序框图为每年高考必考题型,注意两种出题方式:给出流程图,计算输出结果;给出输出结果,填写判断条件8.函数 图象的大致形状是( )A. B. C. D. - 5 -【答案】B【解析】根据表达式知道 ,故函数是奇函数,排除 CD;当 x1 时,故排除 A 选项,B 是正确的。故答案为:B。9.函数 的部分图象如图所示,若将 图象上所有点的横坐标缩短来原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 的图象,则 的解析式为( )A. B. C. D
7、. 【答案】A【解析】【分析】结合图像,写出函数的解析式,而横坐标缩短为原来的 ,则周期较少一般,故只需要将 x 的系数增加一倍,即可得出答案。【详解】结合图像可知函数 ,而横坐标缩短为原来的 ,则 x 的系数增加一倍,故新函数解析式为 。【点睛】本道题目考查了三角函数解析式的求法和函数平移问题,结合图像,先写出解析式,然后结合平移,描绘出 x 的变化。10.若在 中, ,其外接圆圆心 满足 ,则 ( )A. B. C. D. 1【答案】A【解析】- 6 -分析:取 BC 中点为 D,根据 ,即 为 重心,另外 O 为 的外接圆圆心,即 为等边三角形。详解:取 BC 中点为 D,根据 ,即 为
8、 重心,另外 O 为 的外接圆圆心,即 为等边三角形。故选 A点晴:注意区分向量三角形法则和平行四边形法则之间的关系,注意区分向量积运算俩公式的区别。11.已知函数 ,若关于 的方程 有唯一实数根,则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道题目首先绘制出 的图像,然后将所求方程转化成直线与曲线交点问题,结合图像,判断 大致的位置,计算斜率。【详解】先绘制出 的图像- 7 -要使得关于 x 的方程 存在唯一实数根,则介于图中 1 号和 3 号直线之间,以及 2 号直线;1 号直线的斜率为 ,3 号直线的斜率为 ,故a 的范围为当直线 与 相切时,切点坐标为建
9、立方程 ,解得综上所述,a 的范围为 ,故选 A。【点睛】本道题目考查了数形结合的问题,遇到方程根问题,可以将其转化为直线与曲线交点问题进行解答.12.若函数 的图象上存在不同的两点 ,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数 t,则称函数 为“ t 函数”.下列函数中为“2 函数”的是( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道题分别计算该四个函数的导数,结合函数的性质,判断是否存在相应点,即可得出答案.【详解】对于 1,求导 , ,解得 ,不存在,错误;对于 2,求导 , ,解得 ,不存在,错误; 对于 3,求导 ,存在,故正确;对于 4,求导 ,解得 ,存在,正
10、确,故选 B.【点睛】本道题目考查了函数求导数的问题,结合导数,计算是否存在 ,可以结合相应函数性质,进行判断.第卷(非选择题)二、填空题。- 8 -13.若平面向量 满足 ,则向量 与 的夹角为_.【答案】【解析】设向量 与 夹角为 .解得 ,所以 .故答案为为: .14.设变量 X,Y 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为_【答案】2【解析】【分析】结合不等式方程,绘制可行域,然后理解 的意义,建立等式.【详解】绘制函数图像结合不等式,绘制可行域,图中阴影部分便是可行域,表示点 和点 连线的斜率,故该斜率最大为点 和点 连线的斜率 【点睛】本道题目考查了线性规划问题,理解 表示点 和点
11、连线的斜率.15.在边长为 的等边 中,点 为 外接圆的圆心,则 _- 9 -【答案】【解析】如图,由 O 是正 外接圆的圆心(半径为 2) ,则 O 也是正 的重心,设 AO 的延长线交 BC 于点 D,故 点睛:平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式 ;二是坐标公式;三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16.已知 ,若 的图像关于点 对称的图像对应的函数为 ,则 的表达式为_.【答案】【解析】【分析】利用对称关系,建立起 与 坐标关系,代入 解析式中,得到 的解析式,即可得出答
12、案.【详解】设 函数点的坐标为 ,因为 和 关于点 对称,所以,解得 ,代入 方程中,解得 ,把 换成 得到.【点睛】本道题考查了函数解析式求法,利用对称,得到两个函数的坐标关系,代入.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.已知数列 满足 , .- 10 -(1)求数列 的通项公式;(2)设数列 ,求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】分析:累加法求数列 的通项公式;裂项相消法求和(1)由已知 , , , .(2) , .点晴:类比等差数列的定义,累加法求数列的通项公式,中间再利用等比数列求和即可。18.如图四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD
13、交点, ,(I)证明:平面 平面 ;(II)若 , 三棱锥 的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.【答案】 (1)见解析(2)3+2【解析】- 11 -试题分析:()由四边形 ABCD 为菱形知 AC BD,由 BE 平面 ABCD 知 AC BE,由线面垂直判定定理知 AC 平面 BED,由面面垂直的判定定理知平面 平面 ;()设AB= ,通过解直角三角形将 AG、GC、GB、GD 用 x 表示出来,在 AEC 中,用 x 表示 EG,在EBG 中,用 x 表示 EB,根据条件三棱锥 的体积为 求出 x,即可求出三棱锥的侧面积.试题解析:()因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC BD,因为 B
14、E 平面 ABCD,所以 AC BE,故 AC 平面 BED.又 AC 平面 AEC,所以平面 AEC 平面 BED()设 AB= ,在菱形 ABCD 中,由 ABC=120,可得 AG=GC= ,GB=GD= .因为 AE EC,所以在 AEC 中,可得 EG= .由 BE 平面 ABCD,知 EBG 为直角三角形,可得 BE= .由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 .故 =2从而可得 AE=EC=ED= .所以 EAC 的面积为 3, EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 .考点:线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计算;逻辑推
15、理能力;运算求解能力【此处有视频,请去附件查看】19.在成绩统计中,我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,班主任为了了解个别学生的偏科情况,对学生数学偏差 x(单位:分)与物理偏差 y(单位:分)之间的关系进行偏差分析,决定从全班 40 位同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析,得到他们的两科成绩偏差数据如下:(1)已知 x 与 y 之间具有线性相关关系,求 y 关于 x 的线性回归方程;(2)若这次考试该班数学平均分为 120 分,物理平均分为 92 分,试预测数学成绩 126 分的- 12 -同学的物理成绩参考公式: ,参考数据: , 【答案】 (1) ;(2)9
16、4 分【解析】试题分析:(1)根据所给数据及公式可求得 , ,即可得到 关于 的线性回归方程;(2)设出物理成绩 ,可得物理偏差为 ,又数学偏差为 ,代入回归方程可求得 。试题解析:(1)由题意计算得, , ,故线性回归方程为(2)由题意设该同学的物理成绩为 ,则物理偏差为 ,而数学偏差为 ,则(1)的结论可得 ,解得 ,故可以预测这位同学的物理成绩为 分 点睛:(1)线性相关关系是一种不确定的关系,但是在求得回归方程的基础上可利用线性回归方程可以估计总体,帮助我们分析两个变量的变化趋势(2)回归直线过样本点中心 是一条重要性质,在解题中要注意这一结论的运用。- 13 -20.己知函数 ,函数
17、 (1)求 时曲线 在点 处的切线方程;(2)设函数 在 上是单调函数,求实数 k 的取值范围【答案】() () 【解析】试题分析:(1) 当 时, ,求出 即得解, (2)因为函数 在上是单调函数,所以 或 ,变量分离 可求得 k 的范围.试题解析:(1)当 时, ,所以 ,又 ,所以曲线 在点 处的切线方程为 ;(2) 因为函数 在 上是单调函数,所以 或由 得 ,所以 , ,所以 ;由 得 ,所以 ,而 ,所以 ,所以 综上所述: 实数 的取值范围是 点睛:高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度:(1)已知切点求切线方程;(2)已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程;(3)已知曲
18、线求切线倾斜角的取值范围- 14 -21.已知 , .(1)若 在 恒成立,求 的取值范围;(2)若 有两个极值点 , ,求 a 的范围并证明 .【答案】(1) (2) 证明见解析【解析】【试题分析】(1)将原不等式分离常数得到 ,构造函数 ,利用二阶导数求得 的最小值,由此求得 的取值范围.(2)求得 的 阶导数和 阶导数,将 分类讨论函数的单调区间,求得 ,并求得函数的单调区间和极值点的大小 .化简,由此证得【试题解析】(1)由题: 得: 设 ,设: ,在 单增, 在 单增, (2) , ,若 时, 知: 在 单调递增,不合题意.若 时, 知: 在 单调递增,在 单调递减只需要 此时知道:
19、 在 单减, 单增, 单减, 且易知: 又由- 15 -又 【点睛】本小题主要考查函数的导数与单调性,考查利用导数证明不等式.还考查了恒成立问题的求解方法. 确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存 在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理.22.选修 4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线 , ,C 与 l 有且仅有一个公共点()求 a;()O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且 ,求 的最大值【答案】 (1) (2)【解析】试题分析(I)把圆与直线的极坐标方程
20、分别化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的性质即可得出 a;(II)不妨设 A 的极角为 ,B 的极角为 + ,则|OA|+|OB|=2cos+2cos(+ )=2cos(+ ) ,利用三角函数的单调性即可得出解:()曲线 C:=2acos(a0) ,变形 2=2acos,化为 x2+y2=2ax,即(xa)2+y2=a2曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆;由 l:cos( )= ,展开为 ,l 的直角坐标方程为 x+ y3=0由直线 l 与圆 C 相切可得 =a,解得 a=1()不妨设 A 的极角为 ,B 的极角为 + ,则|OA|+|OB|=2cos+2cos(+ )=3co
21、s sin=2 cos(+ ) ,- 16 -当 = 时,|OA|+|OB|取得最大值 2 考点:简单曲线的极坐标方程【此处有视频,请去附件查看】23.设函数 . (1)求 f(x)的最小值及取得最小值时 的取值范围;(2)若集合 ,求实数 的取值范围.【答案】 (1)3(2)【解析】分析:(1)利用绝对值三角不等式,求得 的最小值,以及取得最小值时 x 的取值范围;(2)当不等式 的解集为 ,函数 恒成立,即 的图象恒位于直线的上方,数形结合求得 的取值范围.详解:(1)函数 ,故函数 的最小值为 3,此时 ;(2)当不等式 的解集为 ,函数 恒成立,即 的图象恒位于直线 的上方,函数 ,而函数 表示过点 ,斜率为 的一条直线,如图所示:当直线 过点 时, , ,当直线 过点 时, , ,数形结合可得 的取值范围为 .- 17 -点睛:恒成立问题的解决方法:(1)f(x)m 恒成立,须有f(x) minm;(3)不等式的解集为 R,即不等式恒成立;(4)不等式的解集为空集,即不等式无解- 18 -