1、1第二章 2.5 第 2课时 数列求和A级 基础巩固一、选择题1等比数列 an中， a29， a5243，则 an的前 4项和为( B )A81 B120C168 D192解析 q3 27， q3， a1 3，a5a2 2439 a2qS4 120.3 1 341 32数列 an的通项公式 an ncos ，其前 n项和为 Sn，则 S2 016等于( A )n2A1 008 B2 016C504 D0解析 函数 ycos 的周期 T 4，且第一个周期四项依次为 0，1,0,1.n2 22可分四组求和：a1 a5 a2 0130，a2 a6 a2 014262 014 5041 008，504
2、 2 2 0142 a3 a7 a2 0150，a4 a8 a2 016482 016 5041 010.504 4 2 0162 S2 01605041 00805041 010504(1 0101 008)1 008，故选 A3已知数列 an： ， ， ， ，设 bn ，那么数列12 13 23 14 24 34 15 25 35 45 1anan 1bn前 n项的和为( A )A4(1 ) B4( )1n 1 12 1n 1C1 D 1n 1 12 1n 1解析 an ，1 2 3 nn 1 n n 12n 1 n22 bn 4( )1anan 1 4n n 1 1n 1n 1 Sn4(
3、1 )( )( )( )4(1 )12 12 13 13 14 1n 1n 1 1n 14(20182019 学年度山东日照青山中学高二月考)已知数列 an的前 n项和Sn n24 n2，则| a1| a2| a10|等于( A )A66 B65 C61 D56解析 当 n2 时， an Sn Sn1 n24 n2( n1) 24( n1)2 n24 n2( n26 n7) n24 n2 n26 n72 n5，当 n1 时， a1 S11 不满足上式， anError! .| a1| a2| a10|11135152 26466. 1 15 82二、填空题5数列 ， ， ， ，前 n项的和为_
4、4 _.22422623 2n2n n 22n 1解析 设 Sn 22 422 623 2n2nSn 12 222 423 624 2n2n 1得(1 )Sn 2 .12 22 222 223 224 22n 2n2n 1 12n 1 2n2n 1 Sn4 .n 22n 16(2015广东理，10)在等差数列 an中，若 a3 a4 a5 a6 a725，则a2 a8_10_.解析 因为 an是等差数列，所以a3 a7 a4 a6 a2 a82 a5， a3 a4 a5 a6 a75 a525 即 a55， a2 a82 a510.三、解答题7(2015山东理，18)设数列 an的前 n项和为
5、 Sn，已知 2Sn3 n3.(1)求 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 anbnlog 3an，求 bn的前 n项和 Tn.解析 (1)因为 2Sn3 n3，3所以 2a133，故 a13，当 n2 时，2 Sn1 3 n1 3，此时 2an2 Sn2 Sn1 3 n3 n1 23 n1 ，即 an3 n1 ，所以 anError!.(2)因为 anbnlog 3an，所以 b1 ，13当 n2 时， bn3 1 nlog33n1 ( n1)3 1 n.所以 T1 b1 ；13当 n2 时，Tn b1 b2 b3 bn (13 1 23 2 ( n1)3 1 n)，13所以 3Tn11
6、3 023 1 ( n1)3 2 n两式相减，得2Tn (3 03 1 3 2 3 2 n)( n1)3 1 n23 ( n1)3 1 n .23 1 31 n1 3 1 136 6n 323n8(20182019 学年度山东菏泽一中高二月考)已知数列 an为等差数列，且a15， a29，数列 bn的前 n项和 Sn bn .23 13(1)求数列 an和 bn的通项公式(2)设 cn an|bn|，求数列 cn的前 n项的和 Tn.解析 (1)公差 d a2 a1954， an a1( n1) d54( n1)4 n1.(2) Sn bn ，23 13 Sn1 bn1 (n2)，23 13两
7、式相减，得 bn bn bn1 ，23 23 bn bn1 ，13 23 2( n2)bnbn 1又 b1 S1 b1 ，23 134 b11，数列 bn是首项为 1，公比为2 的等比数列， bn(2) n1 . cn an|bn|(4 n1)|(2) n1 |(4 n1)2 n1 . Tn5192132 2(4 n1)2 n1 2Tn5292 2(4 n3)2 n1 (4 n1)2 n得 Tn54(22 22 n1 )(4 n1)2 n54 (4 n1)2 n2 1 2n 11 258(2 n1 1)(4 n1)2 n52 n2 8(4 n1)2 n2 n2 (4 n1)2 n32 n(44
8、 n1)32 n(34 n)3， Tn(4 n3)2 n3.B级 素养提升一、选择题1已知等差数列 an和 bn的前 n项和分别为 Sn， Tn，且 ，则SnTn 7n 1n 3( A )a2 a5 a17 a22b8 b10 b12 b16A B315 325C6 D7解析 a2 a5 a17 a22b8 b10 b12 b16 a2 a22 a5 a17 b8 b16 b10 b12 2a12 2a112b12 2b11 ，a11 a12b11 b12 a1 a22b1 b22又 ，S22T22 a1 a22 22 b1 b22 22 a1 a22b1 b22 .a1 a22b1 b22
9、722 122 3 315 .a2 a5 a17 a22b8 b10 b12 b16 3152(20182019 学年度山东日照青山中学高二月考)已知数列 an的通项公式是 an5，其前 n项和 Sn ，则项数 n等于( D )2n 12n 32164A13 B10 C9 D6解析 an 1 ，2n 12n 12n Sn(1 )(1 )(1 )(1 )12 14 18 12n n( )12 14 18 12n n n1 ，12 1 12n1 12 12n令 n1 5 ， n6.12n 32164 164二、填空题3等比数列 an的前 n项和 Sn3 n1 a(a为常数)， bn ，则数列 bn
10、的前 n项和1a2n为_ (1 )_.132 19n解析 Sn为等比数列 an的前 n项和，且 Sn3(3 n )a3 1， a3， Sn3 n1 3，a3当 n2 时， an Sn Sn1 (3 n1 3)(3 n3)23 n ，又 a1 S16 符合式， an23 n， bn ( )n，1a2n 149n 14 19 bn的前 n项和为 Tn (1 )1361 19 n1 19 132 19n4求和 1(13)(133 2)(133 23 3)(133 n1 )_ (3n1) _.34 n2解析 a11， a213， a3133 2，an133 23 n1 (3n1)，126原式 (311
11、) (321) (3n1) (33 23 n) n (3n1)12 12 12 12 34.n2三、解答题5(2015全国理，17) Sn为数列 an的前 n项和已知 an0， a 2 an4 Sn3.2n(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n项和1anan 1解析 (1)当 n1 时， a 2 a14 S134 a13，因为 an0，所以 a13，21当 n2 时， a 2 an a 2 an12n 2n 14 Sn34 Sn1 34 an，即( an an1 )(an an1 )2( an an1 )，因为 an0，所以 an an1 2，所以数列 an是首项为
12、3，公差为 2的等差数列，所以 an2 n1.(2)由(1)知， bn1 2n 1 2n 3 ( )，12 12n 1 12n 3所以数列 bn前 n项和为 b1 b2 bn ( )( )( )12 13 15 15 17 12n 1 12n 3 .16 14n 6 n3 2n 36已知数列 an和 bn中，数列 an的前 n项和为 Sn.若点( n， Sn)在函数y x24 x的图象上，点( n， bn)在函数 y2 x的图象上(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 anbn的前 n项和 Tn.解析 (1)由已知得 Sn n24 n，当 n2 时， an Sn Sn1 2 n5，又当 n
13、1 时， a1 S13，符合上式 an2 n5.(2)由已知得 bn2 n， anbn(2 n5)2 n.Tn32 112 2(1)2 3(2 n5)2 n，2Tn32 212 3(2 n7)2 n(2 n5)2 n1 .两式相减得7Tn6(2 32 42 n1 )(2 n5)2 n1 (2 n5)2 n1 623 1 2n 11 2(72 n)2n1 14.C级 能力拔高1等差数列 an中， a24， a4 a715.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn2 an2 n，求 b1 b2 b3 b10的值解析 (1)设等差数列 an的公差为 d.由已知得Error!，解得Error! .
14、所以 an a1( n1) d n2.(2)由(1)可得 bn2 n n.所以 b1 b2 b3 b10(21)(2 22)(2 33)(2 1010)(22 22 32 10)(12310) (2 112)2 1 2101 2 1 10 102552 11532 101.2已知数列 an是递增的等比数列，且 a1 a49， a2a38.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 Sn为数列 an的前 n项和， bn ，求数列 bn的前 n项和 Tn.an 1SnSn 1解析 (1) an是递增的等比数列，且 a1 a49， a2a38，Error! ，Error!. q3 8， q2.a4a1 an a1qn1 2 n1 .(2)由(1)可知 Sn 2 n1，a1 1 qn1 q 1 2n1 2 bn2n 2n 1 2n 1 1 .12n 1 12n 1 1 Tn(1 )( )( )( )13 13 17 17 115 12n 1 12n 1 11 .12n 1 1 2n 1 22n 1 18
