1、1第二章 2.5 第 1 课时 等比数列的前 n 项和A 级 基础巩固一、选择题1已知 an是由正数组成的等比数列， Sn表示 an的前 n 项和若a13， a2a4144，则 S10的值是( D )A511 B1 023C1 533 D3 069解析 由题意知 a2a4144，即 a1qa1q3144，所以 a q4144，21 q416， q2， S10 3(2 101)3 069.a1 1 q101 q2在各项都为正数的等比数列 an中，首项 a13，前 3 项和为 21，则 a3 a4 a5等于( C )A33 B72C84 D189解析 设等比数列公比为 q. a1 a2 a321
2、且 a13， a1(1 q q2)21，1 q q27， q2 q60， q2 或 q3(舍)，又 a3 a4 a5 a1q2(1 q q2)，( a3 a4 a5)34784.3等比数列 an中，已知前 4 项之和为 1，前 8 项和为 17，则此等比数列的公比 q 为( C )A2 B2C2 或2 D2 或1解析 S41， S8 S4 q4S41 q417 q2.4在等比数列 an中， a1 a，前 n 项和为 Sn，若数列 an1成等差数列，则 Sn等于( C )A an1 a B n(a1)C na D( a1) n1解析 利用常数列 a， a， a，判断，则存在等差数列 a1， a1
3、， a1，或通2过下列运算得到：2( aq1)( a1)( aq21)， q1， Sn na.5已知等比数列前 20 项和是 21，前 30 项和是 49，则前 10 项和是( D )A7 B9C63 D7 或 63解析 由 S10， S20 S10， S30 S20成等比数列，( S20 S10)2 S10(S30 S20)，即(21 S10)2 S10(4921)， S107 或 63.6已知 an是等比数列， a22， a5 ，则 a1a2 a2a3 anan1 ( C )14A16(14 n) B16(12 n)C (14 n) D (12 n)323 323解析 q3 ， q .a5
4、a2 18 12 anan1 4( )n1 4( )n12 122 52 n，故 a1a2 a2a3 a3a4 anan12 32 12 1 2 3 2 52 n8 1 14n1 14 (14 n)323二、填空题7已知等比数列 an的首项为 8， Sn是其前 n 项和，某同学经计算得S224， S338， S465，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是_ S2_，该数列的公比是_ _.32解析 设等比数列的公比为 q，若 S2计算正确，则有 q2，但此时S338， S465，与题设不符，故算错的就是 S2，此时，由 S338 可得 q ，且 S46532也正确8某厂去年产值为 a
5、，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为_11 a(1.151)_.3解析 依题意知，每年的产值构成一等比数列，其公比为 110%1.1.其首项为 1.1a，故从今年起 5 年内，该厂的总产值为：S5 11 a(1.151)1.1a 1 1.151 1.1三、解答题9在等比数列 an中，(1)若 Sn189， q2， an96，求 a1和 n；(2)若 a1 a310， a4 a6 ，求 a4和 S5；54(3)若 q2， S41，求 S8.解析 (1)解法一：由 Sn ， an a1qn1 以及已知条件得a1 1 qn1 qError!， a12n1
6、92，2 n .192a1189 a1(2n1) a1( 1)，192a1 a13.又2 n1 32， n6.963解法二：由公式 Sn 及条件得a1 anq1 q189 ，解得 a13，又由 an a1qn1 ，a1 9621 2得 9632 n1 ，解得 n6.(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得Error!，即Error! a10,1 q20，得 q3 .18即 q ， a18.12 a4 a1q38( )31，124S5 .a1 1 q51 q81 12 51 12 312(3)设首项为 a1， q2， S41， 1，a1 1 241 2即 a1 .115 S8 17.a1 1
7、q81 q 115 1 281 210(2017全国卷文，17)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前n 项和为 Tn， a11， b11， a2 b22.(1)若 a3 b35，求 bn的通项公式；(2)若 T321，求 S3.解析 设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则 an1( n1) d， bn qn1 .由 a2 b22 得 d q3.(1)由 a3 b35 得 2d q26.联立和解得Error!(舍去)，Error!.因此 bn的通项公式为 bn2 n1 .(2)由 b11， T321 得 q2 q200.解得 q5 或 q4.当 q5 时，由得 d8
8、，则 S321.当 q4 时，由得 d1，则 S36.B 级 素养提升一、选择题1(20182019 学年度山东荣成六中高二月考)设 Sn是等比数列 an的前 n 项和， ，则 等于( B )S3S6 13 S6S12A B310 15C D18 19解析 设公比为 q， ， q1.S3S6 135 ，a1 1 q31 qa1 1 q61 q a1 1 q31 q 1 qa1 1 q3 1 q3 11 q3 13 q32. S6S12a1 1 q61 qa1 1 q121 q a1 1 q61 q 1 qa1 1 q6 1 q6 .11 q6 11 4 152设 an是等比数列， Sn是 an
9、的前 n 项和，对任意正整数 n，有an2 an1 an2 0，又 a12，则 S101的值为( A )A2 B200C2 D0解析 设公比为q， an2 an1 an2 0， a12 a2 a30， a12 a1q a1q20， q22 q10，q1，又 a12， S101 2.a1 1 q1011 q 21 1 1011 13(2015福建理，8)若 a， b 是函数 f(x) x2 px q(p0， q0)的两个不同的零点，且 a， b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q 的值等于( D )A6 B7C8 D9解析 由韦达定理得 a b p， ab q
10、，因为 p0， q0，则 a0， b0，当a， b，2 适当排序后成等比数列时，2 必为等比中项，故 ab(2) 24，故q4， b .当适当排序后成等差数列时，2 必不是等差中项，当 a 是等差中项时，2 a4a2，解得 a1， b4， ；当 b 是等差中项时， a2，解得 a4， b1，综上所述，4a 8aa b p5，所以 p q9，选 D4设 an是由正数组成的等比数列， Sn为其前 n 项和，已知 a2a41， S37，则S5( B )A B152 314C D334 1726解析 an是正数组成的等比数列， a3 1，又 S37，Error!，消去 a1a2a4得， 7，解之得 q
11、 ， a14， S5 .q2 q 1q2 124(1 125)1 12 314二、填空题5设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a11， S64 S3，则 a4_3_.解析 若 q1 时， S33 a1， S66 a1，显然 S64 S3，故 q1， 4 ，1 q34， q33.a1 1 q61 q a1 1 q31 q a4 a1q33.6将正偶数集合2,4,6,8，2 n，中的数从小到大按第 n 组有 2n个数进行分组如下：第 一 组 2， 4 第 二 组 6， 8， 10， 12 第 三 组 14， 16， 18， 20， 22， 24， 26， 28 则 2 018 位于第_9_
12、组解析 前 n 组共有 2482 n 2 n1 2 个数由2 2n 12 1an2 n2 018 得 n1 009，2 018 为第 1 009 个偶数2 9512,2 101 024，前 8 组共有 510 个数，前 9 组共有 1 022 个数，因此 2 018 位于第 9 组三、解答题7(2016全国卷文，17)已知 an是公差为 3 的等差数列，数列 bn满足b11， b2 ， anbn1 bn1 nbn.13(1)求 an的通项公式；(2)求 bn的前 n 项和解析 (1)由已知， a1b2 b2 b1， b11， b2 ，13得 a12.所以数列 an是首项为 2，公差为 3 的等
13、差数列通项公式为 an3 n1.(2)由(1)和 anbn1 bn1 nbn，得 bn1 ，因此数列 bn是首项为 1，公比为 的等bn3 13比数列记 bn的前 n 项和为 Sn，则7Sn .1 13 n1 13 32 123n 1C 级 能力拔高1(2017全国卷文，17)设数列 an满足 a13 a2(2 n1) an2 n.(1)求 an的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和an2n 1解析 (1)因为 a13 a2(2 n1) an2 n，故当 n2 时，a13 a2(2 n3) an1 2( n1)，两式相减得(2 n1) an2，所以 an (n2)22n 1又由题设可得 a1
14、2，满足上式，所以 an的通项公式为 an .22n 1(2)记 的前 n 项和为 Sn.an2n 1由(1)知 ，an2n 1 2 2n 1 2n 1 12n 1 12n 1则 Sn 11 13 13 15 12n 1 12n 1 .2n2n 12(2016全国卷理，17)已知数列 an的前 n 项和 Sn1 a n.其中 0.(1)证明 an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S5 ，求 .3132解析 (1)由题意得 a1 S11 a 1，故 1， a1 ， a10.11 由 Sn1 a n， Sn1 1 a n1 得 an1 a n1 a n，即 an1 ( 1) a n.由 a10， 0 且 1 得 an0，所以 .an 1an 18因此 an是首项为 ，公比为 的等比数列，11 1于是 an ( )n1 .11 1(2)由(1)得 Sn1( )n.1 由 S5 得 1( )5 ，即( )5 .3132 1 3132 1 132解得 1.
