1、- 1 -龙泉中学 2019 届高三年级 12 月月考数学（理科）试题全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答题前，考生务必将姓名、考号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1设集合 ， ，则|2,xAyR|1,BxyxRABA B C D(0)(0,)(0,12若复数 满足 （ 为
2、虚数单位） ， 为 的共轭复数，则zizizzA B2 C D3533. 某学校的两个班共有 100 名学生，一次考试后数学成绩 服从正态分布N，已知 ，估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数210,N9010.4P为A.20 B.10 C.7 D.54古代数学著作九章算术有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于 50 尺，则至少需要A7 天 B8 天 C9 天 D10 天5在矩形 中， ，若向该矩形内随机投
3、一点 ，那么使得CD6,4AP与 的面积都不小于 3 的概率为P- 2 -A BC D1413916496. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A 2B 4C 54D 17. 有 6 名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4 号或 5 号选手得第一名；观众乙猜测：3 号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6 号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6 号选手都不可能获得第一名，比赛后 发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果，此人是A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 所 示 ， 该 几 何 体 外 接 球 的 表 面 积 为A
4、. 723B.4C. 8D. 569. 设 为坐标原点，点 为抛物线 ： 上异于原点的OPC2(0)ypx任意一点，过点 作斜率为 的直线交 轴于点 ，点 是线段 的中点，连接0MPN并延长交抛物线于点 ，则 的值为NH|ONA B C D p1223210. 设函数 为定义域为 的奇函数，且 ，当 时，()fxR()fx0,1x，则函数 在区间 上的所有零点的和为sin()cosgx3,5A10 B8 C16 D20 11. 已知函数 的图象过点 ，且在2sin0,2fxx0,1B上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当72,183f- 3 -，且 时， ，则1295,6
5、x12x12fxf12fxA. B. C. D.312. 在棱长为 4 的正方体 中， 是 中点，点 是正方形 内1ABCDMBCP1DC的动点(含边界)，且满足 ，则三棱锥 的体积最大值是54PA. B. C. D. 694363329二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量 , 的夹角为 ， ， ，则 _ ab602a1b3ab14.已知 满足 则 最大值为_,xy,2.xyzxy15.在 中， 是 边上一点，ABC,5,6ADB的 ,D面积为 ， 为锐角，则 2C16.已知实数 ， ， 满足 ，其中 是自然对数的底数，那么abc21aecbde的22c
6、d最小值为_三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.17. (本小题满分 12 分)已知数列 的前 n 项和为 ,且 .anS21na(1)求数列 的通项公式；na(2)设 ，求数列 的前 100 项和 .21()nbnb10T- 4 -18. (本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 中， 平面 ， PABCDBCP平面 ， ，/CDABP2C,4（1）证明：平面 平面 ；（2）若直线 与平面 所成角为 ，求 的值. sin19(本小题满分 12 分)已知椭圆2
7、:1(0)xyCab的长轴长为 6，且椭圆 C与圆9402:yxM的公共弦长为 34（1）求椭圆 的方程；（2）过点 P（0，1） 作斜率为 )0(k的直线 l与椭圆 C交于两点 A， B，试判断在x轴上是否存在点 D，使得 AB 为以 为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由20. (本小题满分 12 分)随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给 5 千米范围内配送） ，为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取 80 名点外卖的用户进行统
8、计，按送餐距离分类统计结果如下表：以这 80 名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。（1）若某送餐员一天送餐的总距离为 120 千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数）（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定 2 千米内为短距离，每份 3 元，2 千米到 4 千米为中距离，每份 5 元，超过 4 千米为远距离，每份 10 元。(i)记 X 为送餐员送一份外卖的收入（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望；(ii)若送餐员一天的目标收入不低于 180 元，试估计一天至少要送多少份外卖？- 5 -21. (本小题满分 12 分)已知函数 .
9、lnfxaxR(1)讨论函数 的单调性；fx(2)若函数 存在极大值，且极大值为 1，证明： .lnfa 2xfe22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已 知曲线 （ 为参数） ，在以原点 为极点，xOy2cos:inxaCyO轴的非x负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 .l 1)4cos(2（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；C（2）过点 且与直线 平行的直线 交 于 ， 两点，求点 到 ， 两点(1,0)Ml1lCABMAB的距离之积.23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 ()21,fxxR（1）
10、解不等式 ；0（2）若方程 在区间 有解，求实数 的取值范围.2()fxa,2a数学（理科）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D A B C C D D A C B C D- 6 -13 144 15 16 19852517.解：（1) 中令 得 ，na-2S1 1a -由 可得， ，整理得 ， 1nnS2na n1a -所以 是首项为1，公比为1 的等比数列，故 . 5 分an n(2)由题意， .7 分211nnnb. 12 分10 0T30 - 18.解：（1） 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，/CDABPCABDCABP ，分别取 中点 ，连接/,EO,E则
11、， ，所以四边形 为平行四边形.EO ， ，/, 平面 ， 平面CABPDABP 平面 ，平面 平面 6 分DE（2）由（1）可得 两两垂直，,OE以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图，则由已知条件有：xyz(3,0)(,2)C14(0,)(3,10)(,24)PACDPA平面 的一个法向量记为 ，则,nxyzxy (1,30)n从而 12 分2315sico,0PAn19 （1）由题意可得 6a，所以 由椭圆 C与圆 M： 24()9xy的公共弦长为 4103，恰为圆 M的直径，- 7 -可得椭圆 C经过点 210(,)3，所以 24019b，解得 28所以椭圆 的方程为 98xy5 分（2
12、）直线 l的解析式为 ，设 1(,)Axy， 2(,)B， A的中点为 0(,)Exy假设k存在点 (,0)Dm，使得 AB 为以 为底边的等腰三角形，则 DB由 得2198kxy，28918630kx故 ，所以 ， 7 分229k298kx02819yxk因为 DEAB，所以 1DEk，即 ，29m所以 9 分2889km当 0k时， 12k ，所以 11 分204综 上 所 述 ， 在 x轴 上 存 在 满 足 题 目 条 件 的 点 D， 且 点 的 横 坐 标 的 取 值 范 围为 12 分024m20.(1)估计每名外卖用户的平均送餐距离为：=2.35 千米3 分180 .5.4.5
13、163.84.5所以送餐距离为 120 千米，送餐份数为： 份；5 分201.（2） （）由题意知 X 的可能取值为：3，5，10， ，2(3)80pX4()802p8()0pX所以 X 的分布列为：X 3 5 10- 8 -P 2512107 分所以 E（ X）= 9 分21304.75（）180 份478.0所以估计一天至少要送 39 份外卖。12 分- 9 -21解:（1）由题意 ， 1 分0x()1lnfax 当 时， ，函数 在 上单调递增； 2 分0a()f 0, 当 时，函数 单调递增，lxx，故当 时， ，当1()1ln00afxae10,ae()0fx时， ，所以函数 在 上
14、单调递减，函数1,ae()fx ()fx1,a在 上单调递增；4 分()fx1,a 当 时，函数 单调递减，0()lnfxax，故当 时， ，当1()1ln00fxae10,ae()0fx时， ，所以函数 在 上单调递增，函数1,ae()fx()fx1,a在 上单调递减5 分()fx1,a（2）由（1）可知若函数 存在极大值，则 ，且 ，解得()lnfxax0a1ae，故此a时 ，6 分()lnfx要证 ，只须证 ，及证 即可，2xe2lnxxe2ln0xex设 ， lh0，令2nxe ()gxh，所以函数 单调递增，10g2lnxe又 ， ，eh10h- 10 -故 在 上存在唯一零点 ，2
15、lnxhe1,e0x即 9 分00lx所以当 ， ，当 时， ，所以函数 在,()hx0,x()0hx()hx上单调递减，函数 在 上单调递增，0x故 ，0200lnxhex所以只须证 即可，0 由 ，得 ，002lnxex 002lxex所以 ，又 ，所以只要 即可，001lh10lnx当 时，lx00xxxe所以 与 矛盾，0e0ln002ln故 ，得证12 分0lnx（另证）当 时，0l000lxxxe所以 与 矛盾；0xen002ln当 时，0ln00lxxxe所以 与 矛盾；0xe 00l当 时，0l00lxxxe得 ，故 成立，02nxe 0ln得 ，所以 ，即 01lhxhx2(
16、)xfe22. 解：（ 1）曲线 化为普通方程为： ,2 分C214y由 ，得 ，4 分)4cos(2sinco- 11 -所以直线 的直角坐标方程为 .5 分l 02yx（2）直线 的参数方程为 （ 为参数） ，7 分1l1,2.ty代入 化简得： ，9 分24xy2530t设 两点所对应的参数分别为 ，则 ， . BA, 21,t1265t126|5MABt10 分23.解析：（1） 可化为 10()0fx或 或 ；23x125130x2x 或 或 ；7不等式的解集为 ； 5 分1,3（2）由题意： 2()fxa25,02x故方程 在区间 有解 函数 和函数 图象在区间0,ya25yx上有交点0,当 时，,2x2195,74yx10 分1974a- 12 -
