1、11-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质1已知关于 x 的二项式 n展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则 a(x a3x)的值为( )A1 B1 C2 D2解析 由条件知 2n32 即 n5，在通项公式 Tr1 C ( )5 r rC arx 中，令r5 x (a3x) r5 155 r0 得 r3，C a380，解得 a2.35答案 C2在( x y)n的展开式中，第 4 项与第 8 项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )A第 6 项 B第 5 项C第 5、6 项 D第 6、7 项解析 由题意，得第 4 项与第 8 项的系数相等，则其二项式系数也相等，C C ，由组合数
2、的性质，得 n10.展开式中二项式系数最大的项为第 6 项，它也是3n 7n系数最大的项答案 A3已知(2 x1) n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小 38，则C C C C 的值为( )1n 2n 3n nA2 8 B2 81C2 7 D2 71解析 设(2 x1) n a0 a1x a2x2 anxn，且奇次项的系数和为 A，偶次项的系数和为 B.则 A a1 a3 a5， B a0 a2 a4 a6.由已知可知： B A3 8.令 x1，得： a0 a1 a2 a3 an(1) n(3) n，即：( a0 a2 a4 a6)( a1 a3 a5 a7)(3) n，即： B
3、A(3) n.(3) n3 8(3) 8， n8.由二项式系数性质可得：C C C C 2 nC 2 81.1n 2n 3n n 0n答案 B4若(12 x)2017 a0 a1x a2017x2017(xR)，则 的值为( )a12 a222 a201722017A2 B0 C2 D1解析 (12 x)2017 a0 a1x a2017x2017，令 x ，则 2017 a0 12 (1 212) a122 0，其中 a01，所以 1.a222 a201722017 a12 a222 a201722017答案 D课内拓展 课外探究1利用二项式定理证明恒等式利用二项式定理证明有关恒等式的关键在
4、于灵活运用“构造法”的思想解题求证(C )2(C )2(C )2(C )2 .0n 1n 2n n 2n ！ n！ 2证明 构造等式(1 x)n(1 x)n(1 x)2n，则 C 是二项式(1 x)2n中 xn的系数，n2于是我们考虑(1 x)n(1 x)n中 xn的系数若第一个因式取常数项( x0)，系数为 C ，则第二个因式应取 xn，系数为 C ，此时 xn0n n的系数为 C C (C )2；若 xr取自第一个因式，其系数为 C ， xn r取自第二个因式，0nn 0n rn其系数为 C ，此时(1 x)n(1 x)n的展开式中 xn的系数为 C C (C )2，n rn rn n r
5、n rn(1 x)n(1 x)n中 xn的系数为 C C C C C C C C (C )0nn 1nn 1n rnn rn n0n 0n2(C )2(C )2(C )2.1n 2n n(C )2(C )2(C )2(C )2C .0n 1n 2n n n2 2n ！n！ n！ 2n ！ n！ 2点评 本例的证明方法称为“构造法” ，构造了等式(1 x)n(1 x)n(1 x)2n，然后利用二项式定理等有关知识解决事实上，当分析出 C 之后，也可以构 2n ！n！ n！ n2造组合模型，利用两个基本原理和组合的概念完成2证明不等式证明有关不等式的处理方法(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通
6、常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证(2)应用时应注意巧妙地构造二项式(3)证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉求证：对一切 nN *，都有 2 n3.(11n)证明 nC C C 2C 3 C n11 (11n) 0n 1n 1n 2n (1n) 3n (1n) n (1n) 12！ .(n 1n ) 13！ (n 1n )(n 2n ) 1n！ (n 1n ) (n 2n ) (1n)2 n2 2 2(11n) 12！ 13！ 1n！ 112 123 1 n 1 n3 3 3，(112) (12 13) ( 1n 1 1n) 1n当且仅当 n1 时， n2；当 n2 时，2 n3.(11n) (1 1n)点评 本例证明不等式运用了放缩法，将二项展开式适当变形，恰当放缩，从而得证
