1、第三节 导数与函数的极值与最值,1.函数的极值与导数,2.函数的最值与导数,教材研读,考点一 利用导数研究函数的极值,考点二 利用导数研究函数的最值,考点三 函数极值与最值的综合问题,考点突破,1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数 值 都小 , f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f (x)0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极 小值.,教材研读,(2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数 值 都大 , f (b)=
2、0,而且在点x=b附近的左侧 f (x)0 ,右侧 f (x)0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x) 的极大值, 极大值 和 极小值 统称为极值.,2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a,b上有最值的条件: 一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤: (i)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ; (ii)将函数y=f(x)的各极值与 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,1.函数
3、f(x)的定义域为R,导函数y=f (x)的图象如图所示,则函数f(x) ( C ) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点,C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点,解析 设f (x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、 x2、x3、x4.当x0, f(x)为增函数, 当x1xx2时, f (x)0, f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C.,2.函数y=xex的最小值是 ( C ) A.-1 B.-e C.- D.不存在,解析 y=xex,y=ex+xex=(1+
4、x)ex.当x-1时,y0;当x-1时,y0.当 x=-1时函数取得最小值,且ymin=- .故选C.,3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ( D ) A.-4 B.-2 C.4 D.2,解析 由题意可得f (x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f (x)=0,得x=-2或x=2,则f (x), f(x)随x的变化情况如下表:,函数f(x)在x=2处取得极小值,则a=2.故选D.,4.函数f(x)=x-aln x(a0)的极小值为 .,答案 a-aln a,解析 f(x)的定义域为(0,+),易知f (x)=1- . 由f (x)=0,解得x=a(a0). 又当
5、x(0,a)时, f (x)0, 函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a.,5.(2017北京海淀期中)已知函数y=f(x)的导函数有且仅有两个零点,其图 象如图所示,则函数y=f(x)在x= 处取得极值.,答案 -1,解析 由题图知,x-1时, f (x)0, 所以函数y=f(x)在x=-1处取得极值.,6.已知函数f(x)=x3-6x2+9x,则f(x)在闭区间-1,5上的最小值为 , 最大值为 .,答案 -16;20,解析 f (x)=3x2-12x+9,令f (x)=0,即x2-4x+3=0,得x=1或x=3,当-10,f(x)在(-1,1),(3,5)上
6、为增函数, 当1x3时, f (x)0,f(x)在(1,3)上为减函数,f(-1)=-16, f(3)=0, f(1)=4, f(5)=20,故f(x)在闭区间-1,5上的最小值为-16,最大值为20.,考点一 利用导数研究函数的极值 典例1 已知函数f(x)= -aln x(aR). (1)当a=-1时, 求f(x)在(1, f(1)处的切线方程; 设g(x)=xf(x)-1,求函数g(x)的极值; (2)若函数f(x)在区间 内有两个零点,求实数a的取值范围.,考点突破,解析 (1)当a=-1时, f(x)= +ln x, f(1)=1, f (x)= + .则f (1)=0.故所求切线方
7、程为y=1. g(x)=xln x,定义域为(0,+),g(x)=ln x+1,令g(x)=0,得x= , g(x),g(x)随x的变化情况如下表:故g(x)的极小值为g =- ,无极大值.,(2)由题意a=0时, f(x)= ,在 上是减函数, f(x)不可能有两个零点. 解法一:令f(x)= -aln x=0,得 =xln x. f(x)在区间 内有两个零点等价于函数y= 与函数y=xln x的图象 在 上有两个不同的交点. 由(1)可知,g(x)在 上单调递减,在 上单调递增,又g =- , g =- ,故 解得- a0时,因为在定义域内ax+10,所以f (x)=- 0在 上恒成立,
8、所以f(x)在 上是减函数, f(x)不可能有两个零点;,(ii)a0时,令f (x)=- =0,得x=- .f(x), f (x)随x的变化情况如下表:,当- ,即a-e2时, f(x)在 上是增函数, 所以f(x)不可能有两个零点; 当- ,即-e2a0时, f(x)在 上是减函数,即 解得,综上可知,a的取值范围是 .,在 上是增函数. 所以若f(x)在 内有两个零点,则只需,方法技巧 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程,2.已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解. (2)验证:因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点
9、的充要条件,所 以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,1-1 (2018北京,19,13分)设函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex. (1)若曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线斜率为0,求a; (2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围. 解析 (1)因为f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex, 所以f (x)=ax2-(a+1)x+1ex. f (2)=(2a-1)e2. 由题设知f (2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a= .,(2)由(1)得f (x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex. 若a1,则当x 时, f
10、 (x)0. 所以f(x)在x=1处取得极小值.若a1,则当x(0,1)时,ax-1x-10.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+).,考点二 利用导数研究函数的最值,典例2 (2018北京西城二模,19)已知函数f(x)= -ax,曲线y=f(x)在x=1处 的切线经过点(2,-1). (1)求实数a的值; (2)设b1,求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)对f(x)求导得f (x)= ,所以f (1)=1-a. 依题意有 =1-a,即 =1-a,解得a=1. (2)由(1)得f (x)= .当00,-ln x0,所以f (x)0, 故f(x)在(0
11、,1)上单调递增;当x1时,1-x20,-ln x0,所以f (x)0, 故f(x)在(1,+)上单调递减.所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减. 因为0 1b,所以f(x)在 上单调递增,在(1,b)上单调递减,所以f(x)的最大值为f(1)=-1. 设h(b)=f(b)-f = ln b-b+ ,其中b1,则h(b)= ln b. 因为b1,所以h(b)0, 故h(b)在区间(1,+)上单调递增. 所以h(b)h(1)=0,即f(b)f , 故f(x)的最小值为f =-bln b- .,方法技巧 求函数f(x)在区间a,b上最值的方法 (1)若函数f(x)在区
12、间a,b上单调,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最 小值. (2)若函数f(x)在闭区间a,b上有极值,要先求出a,b上的极值,与f(a),f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值,可列表求解. (3)若函数f(x)在闭区间a,b上有唯一一个极值点,这个极值点就是最 大(小)值点.,2-1 (2017北京,20,13分)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最 值. (1)因为f(x)=excos x-x,所
13、以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.,当x 时,h(x)0,所以h(x)在区间 上单调递减. 所以对任意x 有h(x)h(0)=0,即f (x)0. 所以函数f(x)在区间 上单调递减. 因此f(x)在区间 上的最大值为f(0)=1,最小值为f =- .,典例3 已知函数f(x)= (a0)的导函数y=f (x)的两个零点为-3 和0.
14、(1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)上的最大值.,考点三 函数极值与最值的综合问题,解析 (1)f (x)= = , 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex0,所以y=f (x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f (x)与 g(x)符号相同. 因为a0,所以由题意知:当-30,即f (x)0; 当x0时,g(x)0,即f (x)0,所以f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+). (2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点, 所以有 =-e3
15、,结合g(0)=b-c=0,g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0, 解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)= . 因为f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+), 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,且f(x)在区间-5,+)上的最大值为f(-5)和 f(0)中的最大者.而f(-5)= =5e55=f(0), 所以函数f(x)在区间-5,+)上的最大值是5e5.,方法技巧 解决函数极值、最值问题的策略 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小. (2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较才能下 结论,即函数在
16、给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比 较才能确定最值.,3-1 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线f(x)在x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若 x= 时,y=f(x)有极值. (1)求a,b,c的值; (2)求y=f(x)在-3,1上的最大值和最小值.,解析 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f (x)=3x2+2ax+b. 当x=1时,切线l的斜率为3,所以2a+b=0.当x= 时,y=f(x)有极值, 所以f =0,所以4a+3b+4=0.由解得a=2,b=-4.因为切点的横坐标为x=1,所以f(1)=4.所以1+a+b+c=4,所以c=5.,(2)由(1)可得, f(x)=x3+2x2-4x+5,所以f (x)=3x2+4x-4. 令f (x)=0,解得x=-2或x= . f (x),f(x)随x的变化情况如下表:,所以y=f(x)在-3,1上的最大值为13,最小值为 .,
