1、第二节 导数与函数的单调性,函数的导数与单调性的关系,教材研读,考点一 利用导数判断(证明)函数的单调性,考点二 利用导数求函数的单调区间,考点三 已知函数的单调性求参数的范围,考点突破,函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f (x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内 单调递增 ; (2)若f (x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内 单调递减 ; (3)若f (x)=0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内是 常数函数 .,教材研读,1.已知函数f(x)的导函数f (x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可 能是 ( D )
2、,解析 由题图可知,当xx1时,由导函数f (x)=ax2+bx+c0知相应的函数f(x)在该区间上单调递增.,2.函数f(x)是定义域为R的可导函数,若f (x)0,设a=f ,b=f ,c=f(-1), 则a,b,c的大小关系是 ( A ) A.bac B.abc C.cba D.acb,解析 f (x)0,函数f(x)在R上是增函数, -1, f f f(-1), 即bac,故选A.,3.函数f(x)=ex-x的单调递增区间是 ( D ) A.(-,1 B.(1,+) C.(-,0 D.(0,+),解析 f(x)=ex-x,f (x)=ex-1, 由f (x)0,得ex-10,即x0.函
3、数f(x)的单调递增区间是(0,+).,4.(2016北京临川学校期末,11)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是 ( D ) A.(-,-2 B.(-,-1) C.2,+) D.1,+),解析 f (x)=k- . 函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)上单调递增, f (x)0在区间(1,+)上恒成立, 即k 在区间(1,+)上恒成立. y= 在(1,+)上单调递减, k1,故选D.,5.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为 ( A ) A.(0,1) B.(0,+) C.(1,+) D.(-,0)(1,+),解析 函数f(x)的定义域是(
4、0,+),f (x)=1- = ,令f (x)0, 0x1,函数f(x)的单调递减区间是(0,1),故选A.,考点一 利用导数判断(证明)函数的单调性 典例1 (2018北京海淀一模,20)已知函数f(x)=exsin x-ax. (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(0, f(0)处的切线方程; (2)当a0时,判断f(x) 在 上的单调性,并说明理由; (3)当a1时,求证:x ,都有f(x)0.,考点突破,解析 (1)当a=0时, f(x)=exsin x, f (x)=ex(sin x+cos x),xR. 则f (0)=1. 又f(0)=e0sin 0=0, 所以曲线y=f(x)在
5、(0, f(0)处的切线方程为y=x. (2)当a0时, f(x)在 上单调递增. 解法一:因为f(x)=exsin x-ax, 所以f (x)=ex(sin x+cos x)-a,= exsin -a. 因为x , 所以x+ , 所以 exsin 0. 所以当a0时, f (x)0, 所以f(x)在区间 上单调递增.,解法二:因为f(x)=exsin x-ax, 所以f (x)=ex(sin x+cos x)-a. 令g(x)=ex(sin x+cos x)-a, 则g(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x, g(x),g(x)随x的变化情况
6、如下表:,当a0时,g(0)=1-a0,g =-a0. 所以x 时,g(x)0,即f (x)0, 所以f(x)在区间 上单调递增. (3)证明:由(2)可知,当a0时, f(x)在区间 上单调递增, 所以x 时, f(x)f(0)=0. 当0a1时,设g(x)=f (x),则g(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x, g(x),g(x)随x的变化情况如下表:所以f (x)在 上单调递增,在 上单调递减. 因为f (0)=1-a0, f =-a0,所以存在唯一的实数x0 ,使得f (x0)=0, 故当x0,x0)时, f (x)0,当x 时, f
7、 (x) -3 0,所以当0a1时,对任意的x , f(x)0. 综上所述,当a1时,对任意的x ,都有f(x)0.,方法技巧 用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 求f (x).确定f (x)在(a,b)内的符号.作出结论:f (x)0时为增函数； f (x)0时为减函数. 提醒 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.,1-1 (2018北京海淀二模,19)已知函数f(x)= ex,aR. (1)求f(x)的零点; (2)当a-5时,求证: f(x)在区间(1,+)上为增函数.,解析 (1)f(x)的定义域为(-,0)(0,+), 令f(
8、x)=0,得x2+a=0,则x2=-a. 当a0时,方程无解, f(x)无零点;当a1),则g(x)=3x2+2x+a,其对称轴为直线x=- ,所以g(x)在(1,+)上单调递增. 所以g(x)g(1)=312+21+a=5+a.当a-5时,g(x)0恒成立, 所以g(x)在(1,+)上为增函数.,考点二 利用导数求函数的单调区间 典例2 (2018北京东城二模,19)设函数f(x)=2ln x-x2+ax+2. (1)当a=3时,求f(x)的单调区间和极值; (2)若直线y=-x+1是曲线y=f(x)的切线,求a的值.,解析 f(x)的定义域为(0,+). (1)当a=3时, f(x)=2l
9、n x-x2+3x+2, 所以f (x)= -2x+3= . 令f (x)= =0,得-2x2+3x+2=0,因为x0,所以x=2. f(x)、 f (x)随x的变化情况如下表:,所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+). f(x)有极大值2ln 2+4,无极小值. (2)因为f(x)=2ln x-x2+ax+2, 所以f (x)= -2x+a. 设直线y=-x+1与曲线y=f(x)的切点为(x0, f(x0), 则f (x0)= -2x0+a= =-1, 即2 -(a+1)x0-2=0.,设g(x)=2ln x+x2-1,则g(x)= +2x, 因为g(x)= 0(x
10、0), 所以g(x)在区间(0,+)上单调递增. 所以g(x)在区间(0,+)上有且只有一个零点. 因为g(1)=0,故x0=1,所以a=-1.,又因为f(x0)=2ln x0- +ax0+2=-x0+1, 即2ln x0- +(a+1)x0+1=0, 所以2ln x0+ -1=0.,方法技巧 利用导数求函数单调区间的两个方法 方法一: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y=f (x); (3)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.,(1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y=f (
11、x),令f (x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根 按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成 若干个小区间; (4)确定f (x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数f(x)在每个相应区 间内的单调性.,方法二:,2-1 (2018北京东城期末,19)已知函数f(x)=xln x. (1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程; (2)求f(x)的单调区间; (3)若对于任意x ,都有f(x)ax-1,求实数a的取值范围.,解析 (1)因为函数f(x)=xln x,
12、所以f (x)=ln x+x =ln x+1. 则f (1)=ln 1+1=1,又因为f(1)=0, 所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=x-1. (2)函数f(x)=xln x的定义域为(0,+), 由(1)可知, f (x)=ln x+1. 令f (x)=0,得x= .,令f (x)0,得x ;令f (x)0,得0x . 所以, f(x)的单调递增区间是 , f(x)的单调递减区间是 . (3)当 xe时,“f(x)ax-1”等价于“aln x+ ”. 令g(x)=ln x+ ,x , 则g(x)= - = ,x . 当x 时,g(x)0,所以g(x)在区间 上单调递
13、减.,当x(1,e时,g(x)0,所以g(x)在区间(1,e上单调递增. 而g =ln +e=e-11.5,g(e)=ln e+ =1+ 1.5, 所以g(x)在区间 上的最大值为g =e-1. 所以当ae-1时,对于任意x ,都有f(x)ax-1, 则实数a的取值范围是e-1,+).,考点三 已知函数的单调性求参数的范围 典例3 (2018北京朝阳高三期中)已知函数f(x)=kx- -(k+1)ln x, kR. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当k0时,若函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,求k的取值范围.,解析 (1)函数f(x)的定义域为x|x0. f (x)=k+ - =
14、 = . 当k0时,令f (x)0,解得01,此时函数f(x)为单调递减函数. 当k0时,当 1时, 令f (x)0,解得01,此时函数f(x)为单调递增函数; 令f (x)0,解得 x1,此时函数f(x)为单调递减函数.,当k=1时, f (x)0恒成立,函数f(x)在(0,+)上为单调递增函数; 当 1,即00,解得0 ,此时函数f(x)为单调递增函数; 令f (x)0,解得1x ,此时函数f(x)为单调递减函数. 综上所述,当k0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1, +);当0k1时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1), ,单调递减区间为,;,当k=1时,
15、函数f(x)的单调递增区间为(0,+); 当k1时,函数f(x)的单调递增区间为 ,(1,+),单调递减区间为. (2)f (x)= ,因为函数f(x)在(1,2)内单调递减,所以不等式 0在(1,2)上恒成立.令g(x)=(kx-1)(x-1), 则 即 解得0k .,方法技巧 1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f (x)0(或f (x) 0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,求 出参数的取值范围. (2)可导函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f (x)0(或f (x)0(或f (x)min
16、0)在该区间上有解,从而转 化为不等式问题,求出参数的取值范围.,(3)若已知f (x)在区间I上的单调性,区间I上含有参数时,可先求出f(x)的 单调区间,令I是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.,2.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为 先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.,3-1 (2016北京海淀期中)已知函数f(x)= x3+x2+ax+1,曲线y=f(x)在点(0, 1)处的切线为l. (1)若直线l的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间-2,a上是单调函
17、数,求实数a的取值范围.,解析 (1)因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1), 又f (x)=x2+2x+a, 所以f (0)=a=-3, 所以f (x)=x2+2x-3. 令f (x)=0,解得x1=-3,x2=1. 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,-3),(1,+), 单调递减区间为(-3,1). (2)当函数f(x)在区间-2,a上单调递减时, f (x)0对x-2,a恒成立, 即f (x)=x2+2x+a0对x-2,a恒成立, 所以 即 解得-3a0. 又-2a,所以-2a0.,当函数f(x)在区间-2,a上单调递增时, f (x)0对x-2,a恒成立, 只要f (x)=x2+2x+a在-2,a上的最小值大于或等于0即可, 易知函数f (x)=x2+2x+a图象的对称轴为x=-1, 当-2a-1时, f (x)在-2,a上的最小值为f (a), 即f (a)=a2+3a0,解得a0或a-3,此种情形不成立. 当-1a时, f (x)在-2,a上的最小值为f (-1),即f (-1)=1-2+a0,解得a1. 综上,实数a的取值范围是-2a0或a1.,
