1、第一节 变化率与导数、导数的计算,1.导数的概念,2.基本初等函数的导数公式,3.导数的运算法则,教材研读,考点一 导数的运算,考点二 导数的几何意义,考点突破,1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y ,即f (x0)= = .,教材研读,(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处 的 切线的斜率 .相应地,切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0) .,(3)函数f(x)的导函数 函数f
2、(x)= 为f(x)的导函数.,2.基本初等函数的导数公式,3.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)= f (x)g(x) ; (2)f(x)g(x)= f (x)g(x)+f(x)g(x) ; (3) = (g(x)0).,1.下列求导运算正确的是 ( B ) A. =1+ B.(log2x)= C.(3x)=3xlog3e D.(x2cos x)=-2sin x,解析 =x+ =1- ;(3x)=3xln 3;(x2cos x)=(x2)cos x+x2(cos x)= 2xcos x-x2sin x.,2.曲线y=x3+1在点(-1,0)处的切线方程为 ( B ) A.3x+y+3=0
3、 B.3x-y+3=0 C.3x-y=0 D.3x-y-3=0,解析 y=x3+1,y=3x2,曲线y=x3+1在点(-1,0)处的切线的斜率为 y|x=-1=3,切线方程为3x-y+3=0.,3.若f(x)=ax4+bx2+c满足f (1)=2,则f (-1)= ( B ) A.-4 B.-2 C.2 D.4,解析 f(x)=ax4+bx2+c,f (x)=4ax3+2bx,又f (1)=2,4a+2b=2,f (-1)=-4a-2b=-2.,4.(2016北京东城期中)若曲线f(x)=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .,解析 f (x)=2ax- ,则f (1)=
4、2a-1,由题意得2a-1=0,所以a= .,答案,5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f (5)= .,解析 由题意知f (5)=-1, f(5)=-5+8=3,f(5)+f (5)=3-1=2.,答案 2,6.若曲线f(x)=xln x在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 . 答案 (e,e),解析 设切点P(m,n). f(x)=xln x的导数为f (x)=1+ln x,在点P处的切线的斜率为1+ln m=2,解得m=e,可得n=mln m=eln e=e,点P的坐标为(e,e).,考点一 导数的运算 典例1 求下列函数的导数: (1)y=
5、x ; (2)y=cos ; (3)y=exln x.,考点突破,解析 (1)y=x3+1+ , y=3x2- . (2)y=cos =cos sin -cos2 = sin x- (1+cos x) = (sin x-cos x)- , y= (cos x+sin x)= sin .,(3)y=exln x+ex =ex .,1.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要 重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在化简时,要注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.,方法技巧 函数的求导原则,2.利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn
6、)=nxn-1 中,nN*,(cos x)=-sin x,还要注意公式不要用混,如(ax)=axln a,而不是(ax)=xax-1.,1-1 已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为 .,答案 3,解析 f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,f (0)=3.,1-2 求下列函数的导数:,(1)y=(3x3-4x)(2x+1); (2)y= ; (3)y=exln x+2x+e.,解法二:y=(3x3-4x)(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)2=24x3+ 9x2-16x-4.
7、 (2)y= = = . (3)y=(ex)ln x+ex(ln x)+(2x)+0 =exln x+ +2xln 2.,解析 (1)解法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,y=24x3+9x2-16x-4.,考点二 导数的几何意义 命题方向一 求切线方程 典例2 (1)(2016北京东城期中,8)曲线f(x)= 在点(1, f(1)处的切线 方程是 ( B ) A.y=1 B.y= C.x+y=1 D.x-y=1 (2)已知曲线y= x3上一点P ,则过点P的切线方程为3x-3y+2=0或12 x-3y-16=0 .,解析 (1)由题意得f (x)= ,故曲线
8、f(x)= 在点(1, f(1)处的切线 斜率k=f (1)=0,易知切点为 ,所以切线方程为y= ,故选B. (2)设切点坐标为 ,由y= =x2,得y = ,即过点P的切线斜率 为 ,又切线过点P ,若x02,则 = ,解得x0=-1,所以过点P的切 线的斜率为1;若x0=2,则过点P的切线的斜率为4.故所求的切线方程是y- =x-2或y- =4(x-2),即3x-3y+2=0或12x-3y-16=0.,命题方向二 求切点坐标 典例3 设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线 垂直,则P的坐标为 .,答案 (1,1),解析 函数y=ex的导函数为y=ex, 曲
9、线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00),函数y= 的导函数为y=- , 曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- ,易知k1k2=-1,即1 =-1, 解得 =1. x00,x0=1.,又点P在曲线y= (x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1).,命题方向三 求参数的值(范围) 典例4 (1)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( D ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)=ln x+ax,若曲线y=f(x)存在与直线2x-y=0平行的切线,则 实数a的取值范围是 .,解析
10、(1)y=a- ,当x=0时,y=a-1=2,a=3,故选D. (2)f (x)= +a(x0).曲线y=f(x)存在与直线2x-y=0平行的切线,方程 +a=2在区间(0,+)上有解,即a=2- 在区间(0,+)上有解,a2.若直线 2x-y=0与曲线y=f(x)相切,设切点为(x0,2x0),则 解得x0=e,a= 2- .综上,满足题意的实数a的取值范围是 .,易错警示 求函数图象的切线方程的注意事项 (1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需将切点设出. (2)切点既在函数的图象上,也在切线上,可将切点代入两者的解析式建 立方程组. (3)在切点处的导数值对应切线的斜率,这是求切线
11、方程最重要的条件. (4)曲线上一点处的切线与该曲线并不一定只有一个公共点.如曲线y=x3 在(1,1)处的切线与曲线还有一个交点(-2,-8).,2-1 设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f (x),且f (x)是偶函 数,则曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 .,答案 9x-y-16=0,解析 f (x)=3x2+2ax+a-3, f (x)是偶函数,a=0,f(x)=x3-3x, f (x)=3x2-3,f(2)=8-6=2, f (2)=9, 曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y-2=9(x-2),即9x-y-16=0.,2-2 曲线y=x3-x2-x+1在点(0,1)处的切线方程是 .,答案 y=-x+1,解析 y=3x2-2x-1,所以y|x=0=-1,则切线的斜率k=-1,故切线程为y=-x+1.,2-3 曲线f(x)=ex在点(x0, f(x0)处的切线经过点P(1,0),则x0= .,答案 2,解析 因为f (x)=ex,所以f (x0)= ,所以f(x)在点(x0, f(x0)处的切线方程为y- = (x-x0),将点P(1,0)代入y- = (x-x0),解得x0=2.,
