1、第六节 指数与指数函数,1.根式,2.有理数指数幂,3.指数函数的图象与性质,教材研读,考点一 指数幂的运算,考点二 指数函数的图象及应用,考点三 指数函数的性质及应用,考点突破,1.根式 (1)根式的概念 (i)若 xn=a ,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.式子 叫 做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数. (ii)a的n次方根的表示: xn=a,教材研读,2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 (i)正数的正分数指数幂:= (a0,m,nN*,n1). (ii)正数的负分数指数幂:= = (a0,m,nN*,n1).,(i)( )n=a(nN*,n1). (ii) =
2、,(2)根式的性质,(iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义.,(2)有理数指数幂的运算性质 (i)aras= ar+s (a0,r,sQ). (ii)(ar)s= ars (a0,r,sQ). (iii)(ab)r= arbr (a0,b0,rQ).,3.指数函数的图象与性质,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1) =( )n=a(nN*). ( ) (2)分数指数幂 可以理解为 个a相乘. ( ) (3)函数y=32x与y=2x+1都不是指数函数. ( ) (4)若am0,且a1),则mn. ( ) (5)函数y=2-x在R上为单调减函数. ( ),2.化简(
3、-2)6 -(-1)0的结果为 ( B ) A.-9 B.7 C.-10 D.9,答案 B,3.函数f(x)=3x+1的值域为 ( B ) A.(-1,+) B.(1,+) C.(0,1) D.1,+),答案 B 3x0,3x+11,即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+).,4.若函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象经过点A ,则f(-1)= .,答案,解析 依题意可知a2= ,解得a= , 所以f(x)= ,所以f(-1)= = .,5.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为 .,答案 (2,3),解析 f(x)=(a-2)x为减函数,0a-21,即2a3.,
4、典例1 化简:,指数幂的运算,考点突破,(1) +2-2 -(0.01)0.5; (2) b-2(-3 b-1)(4 b-3 ; (3) .,解析 (1)原式=1+ - =1+ - =1+ - = . (2)原式=- b-3(4 b-3 =- b-3( )=- . (3)原式= = = .,方法技巧 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的, 先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的 运算性质来解答.,易
5、错警示 运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指 数,形式力求统一.,1-1 (a0)的值是 ( D ) A.1 B.a C. D.,答案 D = = = .,1-2 计算0.02 - + -( -1)0.,解析 原式=(0.33 -72+ -1= -49+ -1=-45.,典例2 (1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正 确的是 ( D )A.a1,b1,b0 C.00 D.0a1,b0,指数函数的图象及应用,(2)若曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个不同交点,则函数m的取值范围是 .,答案 (1)D (2)(0,1),解析 (1)由
6、f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递 减,所以0a1. 函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的图象的基础上向左平移得到的,所以b 0,故选D. (2)曲线y=|3x-1|是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于 x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线 y=m是平行于x轴的一条直线,它的图象如图所示,由 图象可得,如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个公共点, 则m的取值范围是(0,1).,探究1 若本例(2)条件变为“方程3|x|-1=m有两个不同实根”,则实数 m的取值范围是 .,答案 (0,+),解析 作出函数y=
7、3|x|-1与y=m的图象如图所示,数形结合可得.,探究2 若本例(2)条件变为“函数y=|3x-1|在(-,m上单调递减”,则 实数m的取值范围是 .,答案 (-,0,解析 函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再 把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.由图象知,其在(-,0上单调递减,所以m的取值范围是(-,0.,规律总结 根据函数图象的变换规律得到的结论 (1)函数y=ax+b(a0,且a1)的图象可由指数函数y=ax(a0,且a1)的图象 向左(b0)或向右(b0,且a1)的图象向上(b0) 或向下(b0, 且a1)在0,+)的
8、图象相同;当x0时,其图象与x0时的图象关于y轴 对称.,2-1 函数f(x)=1-e|x|的图象大致是 ( A ),答案 A 将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数, 且值域是(-,0,只有A满足上述两个性质.,2-2 若函数y=21-x+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围如何?,解析 y=21-x+m= +m,函数y= 的图象如图所示.则要使y= +m的图象不经过第一象限,则m-2.,典例3 已知a= ,b= ,c= ,则下列关系式中正确的是 ( B ) A.cab B.bac C.acb D.abc,指数函数的性质及应用,命题方向一 比较指数幂的大小,解析
9、 b= .y= 是减函数, ,即bac.故选B.,方法技巧 比较指数幂大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小; (2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.,典例4 (2019福建厦门模拟)设函数f(x)= 若f(a)1,则实数a 的取值范围是 ( C ) A.(-,-3) B.(1,+) C.(-3,1) D.(-,-3)(1,+),命题方向二 解简单指数型不等式,解析 当a-3,所以-3a0;当a0时,不等式f(a)1可化为 1, 所以0a1.故a的取值范围是(-3,1).故选C.,方法技巧 指数型不等式的类型及求解方法 (1)形如axab的不等式,
10、借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定, 需分a1与0b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借 助于函数y=ax的单调性求解.,命题方向三 指数函数性质的综合应用,典例5 (1)函数y= 的单调减区间为 . (2)函数y= - +1在区间-3,2上的值域是 .,答案 (1)(-,1 (2),解析 (1)设u=-x2+2x+1, y= 为减函数, 函数y= 的减区间即函数u=-x2+2x+1的增区间. 又u=-x2+2x+1的增区间为(-,1, 所求减区间为(-,1. (2)令t= ,因为x-3,2,所以t . 故y=t2-t+1= + . 当t= 时,ymin= ;
11、当t=8时,ymax=57. 故所求函数的值域为 .,方法技巧 与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤 (1)求复合函数的定义域; (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; (3)分层逐一求解函数的单调区间; (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).,3-1 已知函数f(x)=ax+b(a0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b= .,答案 -,解析 当a1时, f(x)在-1,0上单调递增,则 无解.当0a 1时, f(x)在-1,0上单调递减,则 解得 a+b=- .,3-2 已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间2,+)上是增函数,则实 数m的取值范围是 .,答案 (-,4,解析 令t=|2x-m|, 则t=|2x-m|在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减,而y=2t为R上的增函数, 所以要使函数f(x)=2|2x-m|在2,+)上单调递增, 则有 2,即m4,所以m的取值范围是(-,4.,
