1、第二节 函数的单调性与最值,1.函数的单调性,2.函数的最值,3.函数最值的有关结论,教材研读,考点一 确定函数的单调性(区间),考点二 求函数的最值(值域),考点三 函数单调性的应用,考点突破,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,教材研读,(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的) 单调性 ,区间D叫做函数y=f(x)的 单调区间 . 点拨 1.函数的单调性定义中的x1,x2有三个特征:一是任意性;二是有 大小,即x1x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.,2.单调性的两种等价形式 设任意x1,x2a,
2、b且x10f(x)在a,b上是增函数; 0f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)- f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.,2.函数的最值,3.函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上 单调时,最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数y= 的单调递减区间是(-,0)(0,+). ( ) (2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调 性. ( ) (3)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)f(3),则函数f(x)在R上为增函
3、数.( ) (4)函数y=f(x)在1,+)上是增函数,则函数的单调递增区间是1,+). ( ),(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函 数在定义域上是增函数. ( ) (6)所有的单调函数都有最值. ( ),2.下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是 ( A ) A.y=ln(x+2) B.y=- C.y= D.y=x+,答案 A 函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+),所以在(0,+)上一定是增 函数.,3.(2019广东广州期末)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是 ( A ) A.1,2 B.-1,0 C.0,2 D.2,+),答案 A f(x
4、)=|x-2|x= 其图象如图,由图象可知函数的单调递减区间是1,2.,4.函数f(x)=(2a-3)x+a在R上是减函数,则实数a的取值范围为 .,答案,解析 由f(x)=(2a-3)x+a在R上是减函数,得2a-30,即a .,5.已知f(x)= ,x2,6,则f(x)的最大值为 ,最小值为 .,答案 2;,解析 易知函数f(x)= 在x2,6上为减函数,故f(x)max=f(2)=2, f(x)min= f(6)= .,典例1 (1)求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间; (2)试讨论函数f(x)= (a0)在(-1,1)上的单调性.,确定函数的单调性(区间),考点突破,解析
5、(1)易知f(x)= = 画出函数图象如图所示,可知函数f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(0,1), 单调递减区间为(-1,0)和(1,+).,(2)f (x)= - = =- . 当a0时,在(-1,1)上, f (x)0,函数f(x)在(-1,1)上递增.,探究 若将本例(2)中的函数变为f(x)=|-x2+2x+1|,如何求解?,解析 函数y=f(x)=|-x2+2x+1|的图象如图所示.由图象可知,函数y=|-x2+2x +1|的单调递增区间为(1- ,1)和(1+ ,+),单调递减区间为(-,1- ) 和(1,1+ ).,方法技巧 判断函数单调性的常用方法 (1)定义法和导数法
6、:注意证明函数在某区间上具有单调性只能用定义 法和导数法. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的升、降判断函数的单调性.,易错警示 求函数的单调区间要注意的问题 (1)单调区间是定义域的子集,故求单调区间应以“定义域优先”为 原则. (2)图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用 “”连接.,1-1 下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是 ( C ),A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- D.f(x)=-|x|,答案 C 当x0时, f(x)=3-x为减函数;当x 时, f(x)=x2-3x为减函
7、数;当x 时, f(x)=x2-3x为增函数;当x(0,+)时, f(x)=- 为增 函数;当x(0,+)时, f(x)=-|x|为减函数.,1-2 判断函数y= 的单调性.,解析 因为f(x)= =2x- , 且函数的定义域为(-,0)(0,+), 而函数y=2x和y=- 在区间(-,0)上均为增函数, 根据单调函数的运算性质可得, f(x)=2x- 在区间(-,0)上为增函数. 同理可得, f(x)=2x- 在区间(0,+)上也是增函数. 故函数f(x)= 在区间(-,0)和(0,+)上均为增函数.,典例2 (1)函数y=x+ 的最小值为 ; (2)函数f(x)=|x-1|+x2的值域是
8、.,求函数的最值(值域),答案 (1)1 (2),解析 (1)令 =t,则t0,x=t2+1, 所以y=t2+t+1= + , t0,由二次函数的性质可知,当t=0时,ymin=1. (2)因为f(x)=|x-1|+x2= 所以f(x)=,作出函数图象如图,由图象知f(x)=|x-1|+x2的值域为 .,方法技巧 求函数最值的五种常用方法 单调性法 先确定函数的单调性,再由单调性求最值 图象法 先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值 基本不等式法 先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条 件后用基本不等式求出最值 导数法 先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求
9、出最值,换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应 的方法求最值,2-1 函数f(x)= 在区间a,b上的最大值是1,最小值是 ,则a+b= .,答案 6,解析 易知f(x)在a,b上为减函数, 即 a+b=6.,2-2 (2019湖北武汉期末)已知函数f(x)= 则f(x)的最小值是.,答案 2 -6,解析 因为y=x2在(-,0)上单调递减,在0,+)上单调递增,所以当x1 时, f(x)min=f(0)=0. 当x1时,y=x+ 2 ,当且仅当x= 时等号成立,此时f(x)min=2 -6. 又2 -60,所以f(x)min=2 -6.,命题方向一 比较函数值大小,函数
10、单调性的应用,典例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2x11 时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ab B.cba C.acb D.bac,解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+)上是 减函数. 所以a=f =f , f(2)f f(3),所以bac.,方法技巧 利用函数的单调性比较函数值大小的求解思路 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用函 数的性质转化到同一个单调区间内,只需比较自变量的大小即可,根据 单调性比较函数值大小.,命题方向二 解函数不等式 典例4 已知函数f(x)为(0,+)上的增函数,若f(
11、a2-a)f(a+3),则实数a的 取值范围为 .,答案 (-3,-1)(3,+),解析 由已知可得 解得-33,所以实数a的取值范 围为(-3,-1)(3,+).,规律总结 利用函数单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数 不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意函数的定义域的限制.,命题方向三 求参数的取值范围(值) 典例5 已知函数f(x)= (a0)在(2,+)上递增,则实数a的取值范围 为 .,答案 (0,4,解析 任取x1,x2(2,+),且x1a恒成立. 又x1x24,a0,所以0a4. 即实数a的取值范围是(0,4.,方法技巧 根据
12、函数的单调性求参数的取值范围(值)的常用方法 (1)数形结合法:将函数的单调性转化为函数图象的升(降),再转化为其 参数满足的不等式(组)进行求解. (2)导数法:将函数的单调性转化为导函数在某单调区间上恒正(负)的问 题求解.,3-1 (2019湖南常德调研)已知函数f(x)= 是R上的增函 数,则实数a的取值范围是 ( C ) A.-3,0) B.(-,-2 C.-3,-2 D.(-,0),答案 C 若f(x)为R上的增函数,则应满足 解得-3a -2.故选C.,3-2 已知函数f(x)= 则不等式f(6-x2)f(x)的解集为 .,答案 (-3,2),解析 易知函数f(x)在R上单调递增,则不等式f(6-x2)f(x)等价于6-x2x, 解得-3x2.,
