1、第六节 导数的综合应用(二),考点一 与函数零点有关的证明问题,考点二 函数零点个数的探讨问题,考点三 已知零点个数求参数的取值范围,考点突破,典例1 (2018课标全国文,21,12分)已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.,与函数零点有关的证明问题,考点突破,解析 (1)当a=3时, f(x)= x3-3x2-3x-3, f (x)=x2-6x-3.,令f (x)=0,解得x=3-2 或x=3+2 .,当x(-,3-2 )(3+2 ,+)时, f (x)0;,当x(3-2 ,3+2 )时, f (x)0.,
2、故f(x)在(-,3-2 ),(3+2 ,+)上单调递增,在(3-2 ,3+2 )上单调递 减. (2)由于x2+x+10,所以f(x)=0等价于 -3a=0. 设g(x)= -3a,则g(x)= 0,仅当x=0时g(x)=0,所以g(x) 在(-,+)上单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点. 又f(3a-1)=-6a2+2a- =-6 - 0,故f(x)有一个零点.,综上, f(x)只有一个零点.,方法技巧 证明与零点有关的不等式,函数的零点本身就是一个条件,即零点对应 的函数值为0,证明的思路一般对条件等价转化,构造合适的新函数,利用 导数知识探讨该函数的性质(如
3、单调性、极值情况等),再结合函数图象 来解决.,1-1 设函数f(x)= x3-bx+c(b,cR). (1)若曲线f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=2x+1,求b,c的值; (2)若b=1,c= ,求证:f(x)在区间(1,2)内存在唯一零点.,解析 (1)由题意得f (x)=x2-b,所以f (1)=1-b=2,即b=-1. 又因为f(1)=2+1=3,所以 -b+c=3,得c= . 故b=-1,c= . (2)若b=1,c= ,则f(x)= x3-x+ . 因为f(1)f(2)=- 10,所以f(x)在区间(1,2)内存在零点.,又当x(1,2)时, f (x)=x2-10,
4、所以f(x)在(1,2)上单调递增. 所以f(x)在区间(1,2)内存在唯一零点.,典例2 已知f(x)= + -3,F(x)=ln x+ -3x+2. (1)判断f(x)在(0,+)上的单调性; (2)判断函数F(x)在(0,+)上零点的个数.,函数零点个数的探讨问题,解析 (1)f (x)=- + = , 令f (x)0,解得x1,令f (x)0,解得0x1, 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增. (2)F(x)=f(x)= + -3, 由(1)得x1,x2满足0x11x2, 使得f(x)在(0,x1)上大于0,在(x1,x2)上小于0,在(x2,+)大于0,即F(
5、x)在(0,x1) 上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+)上单调递增,而F(1)=0,x0时,F(x)-,x+时,F(x)+, 画出函数F(x)的草图,如图所示.故F(x)在(0,+)上的零点有3个.,方法技巧 判断函数零点的个数的方法 (1)直接法:令f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数. (2)画图法:转化为函数图象的交点个数问题. (3)定理法:利用零点存在性定理判定,可结合最值、极值去解决.,2-1 探讨函数F(x)=ln x- + 是否存在零点.若存在,求出函数F(x)的零 点;若不存在,请说明理由.,解析 令F(x)=0,得ln x- + =0, 即xln x
6、= - (x0). 易求得f(x)=xln x(x0)的最小值为f =- , 设(x)= - (x0),则(x)= , 当x(0,1)时,(x)0,(x)单调递增;当x(1,+)时,(x)0,(x)单调递减. (x)的最大值为(1)=- ,对x(0,+),有xln x - 恒成立,即F(x)0恒成立,函数F(x)无零点.,典例3 已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR). (1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程; (2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在 上有两个零点,求实数m的取值范围.,已知零点个数求参数的取值范围,解析 (1)当a=2时, f(x)=2ln x-
7、x2+2x, 则f (x)= -2x+2,由题意知切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f (1)=2,则函数 f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. (2)g(x)=f(x)-ax+m=2ln x-x2+m, 则g(x)= -2x= , 由g(x)=0,得x=1.x , 当 x0,函数g(x)单调递增,当1xe时,g(x)0,函数g(x)单调递减, 故当x=1时,函数g(x)取得极大值,g(1)=m-1, 又g =m-2- ,g(e)=m+2-e2, g(x)=f(x)-ax+m在 上有两个零点需满足条件 解得1m2+ .,故实数m的取值范围是 .,方法技巧
8、 已知函数(方程)零点的个数求参数的取值范围 (1)函数在定义域上单调,满足零点存在性定理. (2)若函数不是严格单调函数,则结合图象求最小值或最大值. (3)分离参数后,数形结合,讨论参数所在直线与函数图象交点的个数.,3-1 (2018新疆自治区适应性检测)已知函数f(x)=(2-a)x-2ln x+a-2. (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在 上无零点,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时, f(x)=x-2ln x-1,x(0,+), f (x)=1- ,由f (x)0,得x2, 由f (x)0恒成立,即 只需当x 时,a2- 恒成立.令l(x)=2- ,x ,则l(x)=,再令m(x)=2ln x+ -2,x , 则m(x)= 0,于是在 上,m(x)为减函数,故m(x)m =2-2ln 20, 所以l(x)0在 上恒成立, 所以l(x)在 上为增函数,所以l(x)l 在 上恒成立,又l =2-4ln 2,故a2-4ln 2,+).,
