1、第四节 导数与函数的极值、最值,1.函数的极值与导数,2.函数的最值与导数,教材研读,考点一 运用导数解决函数的极值问题,考点二 运用导数解决函数的最值问题,考点三 用导数解决实际生活中的优化问题,考点突破,1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 都小 , f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f (x)0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.,教材研读,(2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 都大 , f
2、 (b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f (x)0 ,右侧 f (x)0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x) 的极大值. 注: 极大值 和 极小值 统称为极值. 提醒 (1)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多 个极大值或极小值. (2)极大值与极小值之间无确定的大小关系.,2.函数的最值与导数 一般地,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ; (2)将函数y=f(x)的各极值与 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 点拨
3、 如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的. ( ) (2)导数为零的点不一定是极值点. ( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (4)函数的极大值一定是函数的最大值. ( ) (5)开区间上的单调连续函数无最值. ( ),2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所 示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有 ( A )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 A 导函数f (x)的
4、图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧 图象在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内有1个极小值点.,3.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为 ( B ) A.1-e B.-1 C.-e D.0,答案 B 因为f (x)= -1= ,当x(0,1)时, f (x)0;当x(1,e时, f (x) 0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e,所以当x=1时,f(x)取得最大值-1.,4.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= .,答案 2,5.函数y=xex的最小值是 .,答案 -,解析 y=xex,y=ex+xex=(1+
5、x)ex.当x-1时,y0;当x-1时,y0.当x= -1时,函数取得最小值,且ymin=- .,典例1 (2019吉林长春模拟)已知函数f(x)=ln x-ax(aR). (1)当a= 时,求f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.,命题方向一 已知函数求极值(点),运用导数解决函数的极值问题,考点突破,解析 (1)当a= 时, f(x)=ln x- x,函数的定义域为(0,+)且f (x)= - =, 令f (x)=0,得x=2, 于是当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值. (2)由(
6、1)知,函数的定义域为(0,+), f (x)= -a= (x0), 当a0时, f (x)0在(0,+)上恒成立, 即函数在(0,+)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点; 当a0时, 若x ,则f (x)0,若x ,则f (x)0时,函数在x= 处有 一个极大值点.,易错警示 已知函数求极值(点)需注意两点 (1)先求定义域; (2)导数为零的点不一定是极值点,所以求出导数为零的点后,还要判断 该点两侧导数值的符号.,命题方向二 已知极值(点)的情况,求参数的值(范围) 典例2 (2018北京,18,13分)设函数f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex. (1)若曲线y=f(x)
7、在点(1, f(1)处的切线与x轴平行,求a; (2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.,解析 (1)因为f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex, 所以f (x)=ax2-(2a+1)x+2ex. f (1)=(1-a)e. 由题设知f (1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1. 此时f(1)=3e0. 所以a的值为1. (2)由(1)得f (x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(ax-1)(x-2)ex. 若a ,则当x 时, f (x)0;,当x(2,+)时, f (x)0. 所以f(x)在x=2处取得极小值. 若a ,则当x(0,2)时,x-20, 所以2不是f
8、(x)的极小值点. 综上可知,a的取值范围是 .,方法技巧 已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解. (2)验证:因为一点处的导数等于零不是此点为极值点的充要条件,所以 求解后须对所求结果进行验证.,1-1 (2017课标全国,11,5分)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点, 则f(x)的极小值为 ( A ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1,答案 A 由题意可得f (x)=ex-1x2+(a+2)x+a-1.x=-2是函数f(x)=(x2+ax -1)ex-1的极值点,f (-2)=0,
9、 a=-1,f(x)=(x2-x-1)ex-1, f (x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x-1)(x+2),x(-,-2),(1, +)时, f (x)0, f(x)单调递增;x(-2,1)时, f (x)0, f(x)单调递减. f(x)极小值=f(1)=-1.故选A.,1-2 已知函数f(x)= . (1)求函数f(x)的单调区间; (2)设g(x)=xf(x)-ax+1,若g(x)在(0,+)上存在极值点,求实数a的取值范 围.,解析 (1)f(x)= ,x(-,0)(0,+), f (x)= . 当f (x)=0时,x=1. f (x)与f(x)随x的变化情况如下表:,故f(
10、x)的增区间为(1,+),减区间为(-,0)和(0,1). (2)易得g(x)=ex-ax+1, g(x)=ex-a, 当a1时,在(0,+)上,g(x)=ex-a0,即g(x)在(0,+)上递增,此时g(x)在 (0,+)上无极值点. 当a1时,令g(x)=ex-a=0,得x=ln a. 由g(x)=ex-a0,得x(ln a,+); 由g(x)=ex-a0,结合x(0,+),得x(0,ln a).,故g(x)在(0,ln a)上递减,在(ln a,+)上递增, g(x)在(0,+)上有极小值无极大值,且极小值点为x=ln a. 故实数a的取值范围是a1.,典例3 已知函数f(x)= (1)
11、求f(x)在区间(-,1)上的极小值和极大值点; (2)求f(x)在-1,e(e为自然对数的底数)上的最大值.,运用导数解决函数的最值问题,解析 (1)当x1时, f (x)=-3x2+2x=-x(3x-2), 令f (x)=0,解得x=0或x= . 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,故当x=0时,函数f(x)取得极小值f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x= . (2)当-1x1时,由(1)知, 函数f(x)在-1,0)和 上单调递减, 在 上单调递增. 因为f(-1)=2, f = , f(0)=0, 所以f(x)在-1,1)上的最大值为2. 当1xe时, f(x)
12、=aln x,当a0时, f(x)0; 当a0时, f(x)在1,e上单调递增, 则f(x)在1,e上的最大值为f(e)=a. 故当a2时, f(x)在-1,e上的最大值为a; 当a2时, f(x)在-1,e上的最大值为2.,方法技巧 求函数f(x)在a,b上的最值的方法 (1)若函数在区间a,b上单调递增或递减, 则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值. (2)若函数在区间a,b内有极值,则先求出函数在a,b上的极值,再与 f(a), f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成. (3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此
13、结论在导数的实际应用中经常用到.,2-1 (2018云南统一检测)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)因为f(x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x. 当x 时,h(x)0, 所以h(x)
14、在区间 上单调递减. 所以对任意x 有h(x)h(0)=0,即f (x)0.,所以函数f(x)在区间 上单调递减. 因此f(x)在区间 上的最大值为f(0)=1,最小值为f =- .,典例3 (2018江苏改编)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为4 0米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大 棚内的地块形状为矩形ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求A, B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.若大棚内,用导数解决实际生活中的优化问题,种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,
15、且甲、乙两种蔬菜的单位面积 年产值之比为43.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值 最大.,解析 设PO的延长线交MN于H,则PHMN,所以OH=10米.过O作OEBC于E,则OEMN,所以COE=, 故OE=40cos 米,EC=40sin 米, 则矩形ABCD的面积为240cos (40sin +10),=800(4sin cos +cos )平方米, CDP的面积为 240cos (40-40sin )=1 600(cos -sin cos )平方 米. 过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10米. 令GOK=0,则sin 0= ,0 . 当 时,才能作
16、出满足条件的矩形ABCD, 所以sin 的取值范围是 .,因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43, 所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k0). 则年总产值为4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 0 00k(sin cos +cos ), . 设f()=sin cos +cos , . 则f ()=cos2-sin2-sin =-(2sin2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +1), 令f ()=0,得= ,当 时, f ()0,所以f()为增函数; 当 时, f ()0,所以f()为减函数.
17、 因此,当= 时, f()取到最大值. 答:当= 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.,规律总结 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实 际问题中变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求函数的导数f (x),解方程f (x)=0; (3)比较函数在区间端点和使f (x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)写出答案.,3-1 某厂家生产一种精密仪器,已知该工厂每天生产的产品最多不超 过30件,且在生产过程中产品的正品率p与每日生产产品件数x(xN*)间 的关系为p(x)= ,每生产一件正品盈利
18、2 000元,每出现一件次品亏 损1 000元,已知生产10件该产品,其中正品只有7件.(注:正品率=产品的 正品件数产品总件数100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数; (2)求该厂的日产量为多少件时,日利润最大,并求出日利润的最大值.,解析 (1)由已知得,当x=10时,p(10)= ,即p(10)= = , 解得m=2 200. 所以p(x)= . 故日利润y=2 000xp(x)-1 000x1-p(x)=3 000xp(x)-1 000x=3 000x -1 000x=-x3+1 200x. 故所求的函数关系式是y=-x3+1 200x(xN*,1x30).,当x1,20)时,y0,函数单调递增; 当x(20,30时,y0,函数单调递减. 所以当x=20时,y取最大值,最大值为-203+1 20020=16 000. 所以该厂的日产量为20件时,日利润最大,最大值为 16 000元.,(2)y=-3x2+1 200,令y=0,解得x=20(x=-20舍去).,
