1、第二节 命题及其关系、 充分条件与必要条件,1.命题的概念,2.四种命题及其关系,3.充分条件、必要条件与充要条件的概念,教材研读,考点一 命题及其相互关系,考点二 充分、必要条件的判断,考点三 充分、必要条件的应用,考点突破,1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做 真命题 ,判断为假的语句叫做 假命题 . 点拨 一个命题要么是真命题,要么是假命题,不能模棱两可.,教材研读,2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系,(i)两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性; (ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 没
2、有关系 .,(2)四种命题的真假关系,3.充分条件、必要条件与充要条件的概念,点拨 (1)A是B的充分不必要条件是指AB且B A;(2)A的充分不 必要条件是B是指BA且A B.在解题时要弄清它们的区别,以免出现 错误.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)“x2+2x-30”是命题. ( ) (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”. ( ) (3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有 一个为真. ( ) (4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. ( ) (5)q不是p的必要条件时,“p q”成立. ( ),2.设p:x3,q:-1x3,则p
3、是q的 ( C ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 令A=x|x3,B=x|-1x3.BA,p是q的必要不充分条 件.故选C.,3.命题“若ab,则a+cb+c”的否命题是 ( A ) A.若ab,则a+cb+c B.若a+cb+c,则ab C.若a+cb+c,则ab D.若ab,则a+cb+c,答案 A 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若ab,则a +cb+c”的否命题是“若ab,则a+cb+c”,故选A.,4.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,则“sin Asin B”是 “ab”的 条件.,答案 充要
4、,解析 设ABC外接圆的半径为R,若sin Asin B,则2Rsin A2Rsin B, 即ab;若ab,则 ,即sin Asin B,所以在ABC中,“sin Asin B” 是“ab”的充要条件.,5.设mR,命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 .,答案 若方程x2+x-m=0没有实根,则m0,解析 命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x 2+x-m=0没有实根,则m0”.,典例1 (2018抚顺调研)有以下命题: “若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题; “面积相等的两个三角形全等”的否命题;,命题及其相互关系,考点突破,“若m1,则
5、x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题; “若AB=B,则AB”的逆否命题. 其中正确的命题为 ( D ) A. B. C. D.,解析 原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;原 命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”,是真命题;若m 1,则=4-4m0,所以原命题为真命题,故其逆否命题也是真命题;由 AB=B,得BA,所以原命题为假命题,故其逆否命题也是假命题.,方法技巧 判断命题真假的两种方法,易错警示 写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.,1-1 (20
6、18山西联考)“若a2或a-2,则a24”的否命题是 ( C ) A.若a2,则a24 B.若a2,则a24 C.若-2a2,则a24 D.若a2,则a24,答案 C 将原命题的条件和结论同时否定之后可得否命题,故原命题 的否命题为“若-2a2,则a24”.故选C.,1-2 (2019山西太原模拟)已知集合P= ,Q= x x= ,k Z ,记原命题:“xP,则xQ”,那么,在原命题及其逆命题、否命 题、逆否命题中,真命题的个数是 ( C ) A.0 B.1 C.2 D.4,答案 C 因为P= = x x= ,kZ ,Q=,所以PQ,所以原命题“xP,则xQ”为真命题,则原 命题的逆否命题为真
7、命题.原命题的逆命题“xQ,则xP”为假命题, 则原命题的否命题为假命题,所以真命题的个数为2.,典例2 (1)(2018天津文,3,5分)设xR,则“x38”是“|x|2”的 ( A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,充分、必要条件的判断,(2)(2018北京文,4,5分)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成 等比数列”的 ( B ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 (1)由x38得x2,由|x|2得x2或x8”是“|x|2”的充分而不必要条件.故选
8、A. (2)由a,b,c,d成等比数列,可得ad=bc,即必要性成立;当a=1,b=-2,c=-4,d=8 时,ad=bc,但a,b,c,d不成等比数列,即充分性不成立,故选B.,方法技巧 充分、必要条件的判断方法,2-1 设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得AC,BUC”是 “AB=”的 ( C ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 由韦恩图易知充分性成立.反之,AB=时,不妨取C=UB, 此时AC,故必要性成立.故选C.,2-2 (2018湖南岳阳模拟)已知条件p:x+y-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q 的 ( A
9、 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A 因为p:x+y-2,q:x-1,或y-1, 所以p:x+y=-2,q:x=-1,且y=-1, 易知qp,但p/ q,所以q是p的充分不必要条件,即p是q的充分 不必要条件.,典例3 已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若“x P”是“xS”的必要条件,求m的取值范围.,充分、必要条件的应用,解析 由x2-8x-200得-2x10, P=x|-2x10, 由“xP”是“xS”的必要条件,知SP. 则 0m3. m的取值范围是0,3.,规律总结 根据充分、必要条件求解参数范围
10、的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合 之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. (2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用 两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决 定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.,同类练 已知p:(x-m)23(x-m)是q:x2+3x-40的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.,解析 p对应的集合A=x|xm+3,q对应的集合B=x|-4x1,由p 是q的必要不充分条件可知BA,m1或m+3-4,即m1或m-7. 即实数m的取值范围为(-,-71
11、,+).,变式练 若将本例中的条件“必要条件”变为“充要条件”,则是否存 在满足条件的实数m?,解析 不存在. 理由:若“xP”是“xS”的充要条件,则P=S, 无解, 不存在实数m,使“xP”是“xS”的充要条件.,深化练 设命题p:|4x-3|1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是q的必 要不充分条件,则实数a的取值范围是 ( A ) A. B. C.(-,0 D.(-,0),答案 A 设A=x|4x-3|1,B=x|x2-(2a+1)x+a(a+1)0. 解|4x-3|1,得 x1, 故A= ; 解x2-(2a+1)x+a(a+1)0,得axa+1,故B=x|axa+1. 所以p所对应的集合为RA= ,q所对应的集合为RB= x|xa+1. 由p是q的必要不充分条件,知RBRA,所以 或 解得0a . 故实数a的取值范围是 .,
