1、 4.6 函数y=Asin(x+)的图象及简单应用,教材研读,1.y=Asin(x+)的有关概念,2.用五点法画y=Asin(x+)在一个周期内的简图,3.三角函数的图象变换,考点突破,考点一 “五点法”作图和图象变换,考点二 函数y=Asin(x+)的图象与解析式,考点三 函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用,考点四 三角函数模型的简单应用,1.y=Asin(x+)的有关概念,教材研读,2.用五点法画y=Asin(x+)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(x+)在一个周期内的简图时,要找五个关键点,一般 先列表,后描点,连线,其中列表如下:,3.三角函数的图象变换 由函数y
2、=sin x的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象的步骤:,1.y=2sin 的振幅、频率和初相分别为 ( A ) A.2, , B.2, , C.2, , D.2, ,-,2.函数y=cos x|tan x| 的大致图象是 ( C ),3.(2018金华东阳二中高三调研)为得到函数y=cos 的图象,只需 将函数y=sin 2x的图象 ( A ) A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度,4.下图是函数f(x)=Asin(x+)+2(A0,0,|)的图象的一部分,则函 数f(x)的解析式为 f(x)=sin +2 .
3、,解析 由题中图象知,A= =1, = - = ,则T= ,= ,由 + = +2k,kZ,得=- +2k,kZ.又|,=- . f(x)=sin +2.,5.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所 得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析 式是 y=sin .,“五点法”作图和图象变换 典例1 已知函数f(x)=Asin(x+) 的最小正周期 是,且当x= 时, f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式; (2)作出f(x)在0,上的图象(要求列表).,考点突破,解析 (1)因为函数f(x)的最小正周期是, 所以=2. 又因为x=
4、 时, f(x)取得最大值2. 所以A=2, 同时2 +=2k+ ,kZ, =2k+ ,kZ,因为- ,所以= , 所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=2sin .,(2)因为x0,所以2x+ , 列表如下:,描点、连线得图象,如图.,探究 在本例条件下,若将函数f(x)的图象向右平移m(m0)个单位长 度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.,解析 由已知得y=g(x)=f(x-m)=2sin =2sin 是 偶函数, 所以2m- = (2k+1),kZ,m= + ,kZ, 又因为m0, 所以m的最小值为 .,方法指导 作三角函数的图象的方法 (1)用“五点
5、法”作图应抓住四条:将原函数化为y=Asin(x+)(A0, 0)或y=Acos(x+)(A0,0)的形式;求出最小正周期T= ;求出 振幅A;列出一个周期内的五个特殊点,当要画出某指定区间上的图象 时,应列出该区间内的特殊点. (2)图象变换法 平移变换,沿x轴平移,遵循“左加右减”法则; 沿y轴平移,遵循“上加下减”法则. 伸缩变换 沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(01)为原来的 (纵坐标不 变); 沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标不 变).,1-1 将函数f(x)=2sin 的图象向右平移个单位,再将图象上每一 点的横坐标缩短到原来的 ,所得图象关于直线
6、x= 对称,则的最小正 值为 ( B ) A. B. C. D. ,解析 将函数f(x)=2sin 的图象向右平移个单位,所得图象对应 的解析式为y=2sin =2sin ,再将图象上每一点的 横坐标缩短到原来的 ,所得图象对应的解析式为y=2sin ,令 4x-2+ =k+ ,kZ,得其对称轴方程为x= + + ,kZ.把x= 代入 上式得=- + ,kZ,则的最小正值为 .,1-2 若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移个单位,所得图象关 于y轴对称,则的最小正值是 ( C ) A. B. C. D.,解析 函数f(x)=sin 2x+cos 2x= sin 的图象向右
7、平移个单位, 所得图象对应的函数解析式是y= sin ,由题意可得 -2=k + ,kZ,即=- - ,kZ,当k=-1时,的最小正值是 .故选C.,典例2 (1)(2016课标全国文,3,5分)函数y=Asin(x+)的部分图象如 图所示,则 ( A ),函数y=Asin(x+)的图象与解析式,A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin (2)函数f(x)=sin 2x和函数g(x)的部分图象如图所示,则函数g(x)的解析式 可以是 ( C ),A.g(x)=sin B.g(x)=sin C.g(x)=cos D.g(x)=cos,解析 (1)由题图可知A=2,
8、= - = ,则T=,所以=2,则y=2sin(2x+ ),因为题图经过点 ,所以2sin =2,所以 +=2k+ ,k Z,即=2k- ,kZ,当k=0时,=- ,所以y=2sin ,故选A. (2)f =sin = ,由图象可得g(x)的图象经过点 ,代入验证:选 项A,g =sin ,故不符合题意;选项B,g =sin ,故,不符合题意;选项D,g =cos =-cos ,故不符合题意;选项C,g=cos =cos = ,故选C.,方法指导 确定y=Asin(x+)+b(A0,0)的解析式的步骤和方法 (1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,则A= ,b= . (2)求,确定函数的
9、最小正周期T,则可得= . (3)求,常用的方法: 代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A,b已知)或代入图 象与直线y=b的交点的坐标求解(此时要注意交点在上升区间上还是在,下降区间上). 五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口. 具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点):x+=0;“第二点”(即图象的“峰点”):x+= ;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点):x+=;“第四点”(即图象的“谷点”):x+= ;“第五点”:x+=2.,2-1 函数f(x)=Asin(x+) 的图象如图所示,为了 得到g(x)=cos 3x的图象,只需将f(x)的图象 (
10、D )A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度,C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度,解析 由图象可知,A=1, = - = , 故T= = ,所以=3, 所以f(x)=sin(3x+). 又f =sin =sin =-1, 所以 += +2k,kZ, 即= +2k,kZ,又| ,所以= , 故f(x)=sin . 因为g(x)=cos 3x=sin , 所以只需将f(x)的图象向左平移 个单位长度,即可得到g(x)的图象,故 选D.,2-2 (2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+) 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,
11、如下 表:,(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到y=g(x)的 图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为 ,求的最小值.,解析 (1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=- . 补全数据如下表:,且函数表达式为f(x)=5sin . (2)由(1)知 f(x)=5sin , 得g(x)=5sin . y=sin x的对称中心为(k,0),kZ. 令2x+2- =k,kZ,解得x= + -,kZ. 由于函数y=g(x)的图象关于点 中心对称,所以 + -= ,kZ,解得= - ,kZ. 由0可知,当k=
12、1时,取得最小值 .,典例3 设函数f(x)=sin +sin ,其中03.已知f =0. (1)求; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变), 再将得到的图象向左平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.,函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用 命题方向一 三角函数图象变换与性质的综合问题,解析 (1)因为f(x)=sin +sin , 所以f(x)= sin x- cos x-cos x = sin x- cos x= = sin . 由题设知f =0,所以 - =k,kZ. 故=6k+2,kZ,又03,所以=2.,(2)
13、由(1)得f(x)= sin , 所以g(x)= sin = sin . 因为x ,所以x- , 当x- =- ,即x=- 时,g(x)取得最小值- .,方法技巧 三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路 先将y=f(x)化为y=Asin(x+)+b的形式,再借助y=Asin(x+)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.,典例4 若关于x的方程2sin =m在 上有两个不相等的实数 根,则m的取值范围是 ( C ) A.(1, ) B.0,2 C.1,2) D.1, ,命题方向二 与三角函数有关的方程、不等式问题,解析 2sin =m在 上有两个不相等
14、的实数根等价于函数f(x) =2sin 的图象与直线y=m有两个交点.如图,在同一坐标系中作出y =f(x)与y=m的图象,由图可知m的取值范围是1,2).,探究 若本例中两个实数根为x1,x2,则x1+x2= .,解析 由题意知x1,x2分别为函数f(x)=2sin 2x+ 的图象与 直线y=m的交点A,B的横坐标,如图所示.由2x+ = +k(kZ)可得f(x)的 图象的对称轴的方程为x= + (kZ),故A,B两点关于直线x= 对称,则 x1+x2= 2= .,方法技巧 三角函数的零点、不等式问题 (1)把函数表达式转化为正弦型函数形式y=Asin(x+)+b(A0,0). (2)画出函
15、数在一个周期上的图象. (3)利用图象解决与三角函数有关的方程、不等式问题.,3-1 已知函数f(x)=sin x- cos x(0),若方程f(x)=-1在(0,)上有且只有四个实数根,则实数的取值范围是 .,解析 由题意可得f(x)=2sin , 作出f(x)的函数图象如图所示:,令2sin =-1,得x- =- +2k(kZ)或x- = +2k(kZ), x= + (kZ)或x= + (kZ). 设直线y=-1与y=f(x)的图象在(0,+)上从左到右的第4个交点为A,第5个 交点为B, 则xA= + ,xB= + , 方程f(x)=-1在(0,)上有且只有四个实数根, xAxB,即 +
16、 + ,解得 .,3-2 设f(x)=sin x(sin x+cos x)+2cos2x.求使不等式f(x) 成立的x的取值 集合.,解析 因为f(x)=sin2x+sin xcos x+2cos2x =1+ sin 2x+ (1+cos 2x) = sin + , 所以 f(x) + sin sin 02k2x+ 2k +,kZk- xk+ ,kZ. 即使f(x) 成立的x的取值集合是 .,三角函数模型的简单应用,典例5 某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足 函数关系:f(t)=10- cos t-sin t,t0,24).则实验室这一天的最大温差 为 4 .,解析
17、 f(t)=10-2 =10-2sin ,因为0t24,所 以 t+ , 所以-1sin 1. 于是f(t)在0,24)上的最大值为12,最小值为8. 故实验室这一天最高温度为12 ,最低温度为8 ,最大温差为4 .,易错警示 三角函数模型的实际应用类型及解题关键 (1)已知函数解析式,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确 理解自变量的意义及函数的对应关系. (2)函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函 数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.,4-1 电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(t+) 的图象如图所示,则当t= 时,电流强度是 ( A ),A.-5安 B.5安 C.5 安 D.10安,解析 由题图知A=10, = - = ,T= , = =100,I=10sin(100t+). 由 为图象的一个最高点,得100 +=2k+ ,kZ, =2k+ ,又0 ,= , I=10sin ,当t= 时,I=-5.,
