1、高考数学（浙江专用）,4.4 三角函数的最值与综合应用,考点 三角函数的最值与综合应用,考点清单,考向基础 1.用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 (1)y=asin x+bcos x= sin(x+),其中cos = ,sin = . (2)y= 或y= 可转化为只有分母含sin x或cos x的函数式, 或转化为sin x=f(y)或cos x=f(y)的形式,由正、余弦函数的有界性求解. 2.用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 (1)y=asin2x+bcos x+c(a0)可转化为关于cos x的二次函数. (2)y=asin x+ (a,b,c0),令sin x=t,则转
2、化为求y=at+ (-1t1且t 0)的最值,一般可利用图象求解.,3.用解析法求三角函数的最值常见的函数形式 y= 或y= (ab0)可转化为椭圆上的动点与定点连线斜 率的最值问题. 4.三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生 活中的实际问题. 三角函数应用题的特点:(1)实际问题的意义反映在三角形中的边角关 系上,这样的三角形有直角三角形、斜三角形,有时一个问题中既有直 角三角形又有斜三角形;(2)函数的模型多种多样. 5.解答三角函数应用题的一般步骤 (1)阅读理解材料:三角函数应用题的语言形式多为文字语言、图形语 言、符号语言并用.阅读理解中要读懂题目所反映的实际问
3、题的背景, 领悟其中的数学本质,把题目中出现的边角关系和三角形联系起来,确,定以什么样的三角形(直角三角形、斜三角形)为模型,用哪些定理(勾股 定理、正弦定理、余弦定理)或边角关系列出等量或不等量关系. (2)建立变量关系:根据(1)的分析,把实际问题抽象成数学问题,建立变量 关系,这一步一般是通过解直角三角形或解斜三角形实现的,其中要充 分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方法. (3)讨论变量性质:根据(2)中建立的变量关系,结合题目的要求,与已知数 学模型的性质对照,讨论变量的有关性质,从而得到所求问题的理论参 数值. (4)作出结论:根据(3)中得到的理论参数值,按题目要
4、求作出相应的结论.,方法1 求三角函数的值域(最值)的方法 求三角函数的值域或最值,除了判别式、基本不等式、单调性等方法之 外,结合三角函数的特点,还有如下常用方法: 1.涉及正、余弦函数以及asin +bcos = sin(+) 的 都可考虑利用有界性处理. 2.y=asin2x+bsin xcos x+cos2x+c y=Asin 2x+Bcos 2x+C=sin(2x+)+C ,再利用有界性处理. 3.形如y=asin2x+bcos x+c或y=acos2x+bsin x+c(a0)的函数求最值时都,方法技巧,可进行适当变换,通过配方来求解. 4.sin xcos x,sin xcos
5、x在关系式中出现时,可考虑用换元法处理,如令t= sin x+cos x,则sin xcos x= .把三角问题转化为代数问题解决. 5.形如y= (ab0)的函数,可考虑数形结合(常用到直线斜率的 几何意义). 6.形如y=x+ 或能确定在所给区间上单调性的函数,可考虑利用单调性 求解.,例1 (2017浙江名校协作体,18)已知0,函数f(x)= cos(2x+)+sin2 x. (1)若= ,求f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)的最大值是 ,求的值.,解题导引 (1) (2),解析 (1)由题意可知,f(x)= cos 2x- sin 2x+ (3分) = cos + . (5分
6、) 由2k-2x+ 2k,kZ,得k- xk- ,kZ. 所以f(x)的单调递增区间为 ,kZ. (8分) (2)由题意可知,f(x)= (cos 2xcos -sin 2xsin )+ , 所以f(x)= cos 2x- sin sin 2x+ , (10分) 由于函数f(x)的最大值为 ,所以 + =1, (12分),从而cos =0,又0,故= . (14分),方法2 三角函数的综合应用问题的方法 1.三角函数模型在实际中的应用 主要体现在两个方面:一是已知函数模型,确定相应参数和自变量的范 围问题;二是需要先将实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模 型,再利用三角函数的相关知识解决
7、问题,最后需要检查此问题容易被 疏忽的地方,注意所得结果要符合实际意义. 2.三角函数的综合应用 主要是利用三角函数的周期性、奇偶性、单调性和三角函数图象的对 称性等知识,解决函数的零点、恒成立问题等. 3.解决此类问题的基本步骤:(1)用降幂公式降次,例如将sin2x变为 (1-,cos 2x),cos2x变为 (1+cos 2x);(2)用二倍角公式将乘积项转化,例如将sin xcos x变为 sin 2x;(3)用辅助角公式将函数式化为f(x)=Asin(x+)+k的 形式;(4)求解所需结果.,例2 (2018浙江教育绿色联盟高三5月适应性考试,18,14分)已知函数f (x)=sin
8、 x(cos x+ sin x). (1)求f(x)的最小正周期; (2)若关于x的方程f(x)=t在区间 内有两个不相等的实数根,求实数t 的取值范围.,解题导引 (1) (2),解析 (1)f(x)=sin xcos x+ sin2x= sin 2x+ (1-cos 2x)=sin +. 所以f(x)的最小正周期为T= =. (2)因为x ,所以2x- ,因为函数y=sin x在区间 上是增函数,在区间 上是减函数,所以y=f(x)在区间 上是增 函数,在区间 上是减函数,且f(0)=0, f =1+ , f = ,关于x 的方程f(x)=t在区间 内有两个不相等的实数根,等价于函数y=f(x)与 y=t的图象在区间 内有两个不同的交点,结合图象可得 t1+,.,评析 函数的性质以及函数的零点问题是高考的高频考点,要求考生对 初高中阶段学习的基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称 性非常熟悉;另外,函数零点的几种等价说法如下:函数y=f(x)-g(x)有零点 函数y=f(x)-g(x)的图象与x轴有交点方程f(x)-g(x)=0有实数根函数 y=f(x)与y=g(x)的图象有交点.本题是借助三角函数考查上述等价转化思 想.,
