1、高考数学（浙江专用）,2.8 函数模型及其综合应用,考点 函数模型及其综合应用,考点清单,考向基础 1.几种不同的函数模型,2.指数函数、对数函数、幂函数增长比较 (1)三种增长型函数模型的性质,(2)三种增长型函数之间增长速度的比较 指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0) 在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但 由于y=ax的增长速度大于y=xn的增长速度,因而总存在一个x0,使xx0时 有axxn. 对数函数y=logax(a1)与幂函数y=xn(n0) 对数函数y=logax(a1)的增长速度,无论a与n值的大小如何,总会小于y= xn的增
2、长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有logaxx0时 有logax1,n0).,方法 函数应用题的解法 1.直线模型:即一次函数模型,其增长特点是直线上升(x的系数k0),通过 图象可以很直观地认识它. 2.指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型,其增长的特点是随着 自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(a1),常形象地称之为“指 数爆炸”. 3.对数函数模型:能用对数型函数表达的函数模型,其增长的特点是开始 阶段增长得较快(a1),但随着x的逐渐增大,其函数值变化越来越慢,常 称之为“蜗牛式增长”.,方法技巧,4.幂函数模型:能用幂函数型函数表达的函数模型,其增长情况
3、由xn中n 的取值而定,常见的有二次函数模型. 5.“对勾”函数模型:形如f(x)=x+ (a0,x0)的函数模型在现实生活中 也有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时利用函数的单调 性求解最值. 6.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题.,以上过程用框图表示如下:,例 (2018湖北荆州一模,19)某市环保研究所对市中心每天的环境污染 情况
4、进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的 关系为f(x)= + ,x0,24,其中a是与气象有关的参数,且a . (1)令t(x)= ,x0,24,求t(x)的最值; (2)若用每天的f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天 的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?,解题导引,解析 (1)由t(x)= ,x0,24, 得t(x)= = ,x0,24, 令t(x)0,得(x+2)(x-2)0,则0x2, 令t(x)0,则2x24, t(x)在0,2上递增,在(2,24上递减,又t(0)=0,t(2)= ,t(24)= , 当x=0时,t(x)min=t(0)=0;当x=2时,t(x)max=t(2)= . (2)令t= ,则由x0,24,得t , 令g(t)=f(x)=t|t-a|+ ,t ,则g(t)= g(t)在 和 上递增,在 上递减, 且g = + ,g =1- , g -g = + - , 令 + - 0,得 -1a ; 令 + - 0,得0a -1,f(x)max= f(x)max1, 目前市中心的综合污染指数没有超标.,
