1、高考数学（浙江专用）,2.5 对数与对数函数,考点一 空间几何体的结构,考点清单,考向基础 1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a0且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=lo gaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 2.积、商、幂的对数(M、N都是正数,a0且a1) (1)loga(MN)= logaM+logaN ; (2)loga = logaM-logaN ; (3)logaMn= nlogaM (nR).,3.对数的换底公式及对数恒等式(N是正数,a0且a1) (1) =N(对数恒等式); (2)logaan=n(nR);,(3)logaN= (b0且b1); (4)l
2、ogab= (b0且b1); (5)logaN=lo Nn(nR,n0).,4.对数函数的定义、图象及性质,5.两种重要的对数 (1)常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数记作lg N. (2)自然对数:以无理数e=2.718 28为底的对数叫做自然对数,N的自然 对数记作ln N. 6.对数函数的性质在比较对数值大小中的应用 (1)比较两个同底数的对数值的大小,例如比较loga f(x)与logag(x)的大小, 其中a0且a1. (i)若a1,f(x)0,g(x)0,则loga f(x)logag(x)f(x)g(x)0. (ii)若00,g(x)0,则loga f(x)lo
3、gag(x)0b0,且a1,b1.,(i)若ab1,如图1, 则当f(x)1时,logb f(x)loga f(x); 当0logb f(x).图1,图2 (ii)若1ab0,如图2, 则当f(x)1时,logb f(x)loga f(x); 当0logb f(x). (iii)若a1b0,如图3,则当f(x)1时,loga f(x)0logb f(x); 当0f(x)1时,loga f(x)0logb f(x).图3,考向突破,考向一 对数的运算,例1 (2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约 为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数
4、中与 最接近的是 ( ) (参考数据:lg 30.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093,解析 设 = =t(t0), 两边取对数,lg t=lg =lg 3361-lg 1080=361lg 3-80=93.28,所以t=1093.28,即最接近1093.28,故选D.,答案 D,考向二 对数函数的性质及应用,例2 (2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,6)已知函数f(x)= 的 定义域与函数g(x)=ln(x2-ax+1)的值域均为R,则实数a的取值范围是 ( ) A.1,2 B.(-,-2) C.-2,1 D.2,+),解析 由函数f(x)= 的定义域为R,得(
5、-2)2-4a0,即a1;由函 数g(x)=ln(x2-ax+1)的值域为R,得(-a)2-40,即a2或a-2,所以a2,故 选D.,答案 D,方法1 对数函数的图象及其应用 1.底数与1的大小关系决定了图象的升降,a1时,图象上升;00且a 1)的图象“底大图低”. 3.对一些可通过平移、对称作出其图象的对数函数型问题,在求解其单 调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法求解.,方法技巧,例1 (2017浙江镇海中学模拟卷一,12)已知函数f(x)= 则f(x) 的值域是 ;若方程f(x)-a=0恰有一个实根,则实数a的取值范围 是 .,解析 作出函数y=f(x)的图象(如
6、图所示).由函数图象可知,f(x)的值域为0,+). 方程f(x)-a=0恰有一个实根,等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a恰有一 个公共点,故a=0或a2,即a的取值范围是02,+).,答案 0,+);02,+),方法2 对数函数的性质及其应用 1.比较对数值大小的类型及相应方法:2.研究复合函数y=loga f(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,结合函 数u=f(x)及y=logau的单调性(最值)确定函数y=loga f (x)的单调性(最值) (其中a0,且a1). 3.当a1时,loga f(x)logag(x)f(x)g(x)0; 当0logag(x)0f(x)g(x).,4.f(x)=logaaf(x)(a0且a1). 5.f(x)= (f(x)0,a0且a1).,例2 (2018福建龙岩期中,19)已知对数函数f(x)的图象过点(4,1). (1)求f(x)的解析式; (2)若实数m满足f(2m-1)f(5-m),求实数m的取值范围.,解题导引,解析 (1)依题可设函数f(x)=logax(a0,a1), 函数f(x)的图象过点(4,1),f(4)=1loga4=1a=4, 函数的解析式为f(x)=log4x. (2)函数f(x)=log4x在定义域内单调递增, 不等式f(2m-1)f(5-m),要满足 m2, 实数m的取值范围是 .,
