1、高考数学（浙江专用）,12.3 离散型随机变量及其分布,考点一 离散型随机变量及其分布列,考点清单,考向基础1.离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做 随机变量;按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. (2)设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xn,取每一个值xi(i=1,2, ,n)的概率P(=xi)=pi,则称表,为离散型随机变量的概率分布,或称为离散型随机变量的分布 列,它具有性质:a.pi0,i=1,2,n;b.p1+p2+pi+pn=1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值 的概率之和.
2、2.如果随机变量X的分布列为,其中0p1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布. 3.超几何分布列 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件X=k 发生的概率为P(X=k)= (k=0,1,2,m),其中m=minM,n,且n N,MN,n、M、NN*,称分布列为超几何分布列.,考点二 离散型随机变量的均值与方差,考向基础1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为,(1)均值 称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映 了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称DX= (xi-EX)2pi为
3、随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值EX 的平均偏离程度,其算术平方根 为随机变量X的标准差,记作X. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= aE(X)+b . (2)D(aX+b)= a2D(X) .(a,b为实数) 3.两点分布的均值、方差 若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).,方法1 求离散型随机变量的分布列的方法 1.求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行: (1)明确随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义. (2)利用概率的有关知识,求出随机变量取每个值时的概率. (3)按规范形式写出分布列,并用分布列的性质进行验证. 2.在处理随机变
4、量的分布列时,先根据随机变量的实际意义,利用试验结 果,找出随机变量的取值,再求相应的概率是常用的基本方法. 3.注意分布列的性质在求分布列中的应用.,方法技巧,例1 (2017天津理,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路 口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为 , , . (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布 列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.,解析 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)= = , P(X=1)= 1- 1- + 1- 1- + = , P(
5、X=2)= + + = , P(X=3)= = . 所以随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = . (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数, 则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) = + = . 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为 .,技巧点拨 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以 取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意 义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要 前提.,方
6、法2 求离散型随机变量的均值与方差的方法注意:如果XB(n,p),可用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.,例2 (2017浙江湖州期末调研,17)甲、乙两人被随机分配到A,B,C三个 不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位),记分配到A岗位的人数为X, 则随机变量X的数学期望E(X)= ,方差D(X)= .,解题导引,解析 由条件知,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)= = ,P(X=1)= =,P(X=2)= = . X的分布列为,E(X)=0 +1 +2 = ,D(X)= + + = .,答案 ;,评析 本题考查古典概型概率、随机变量的分布列、随机变量的期望 和方差等基础知识,考查运算求解能力.,
