1、高考数学（浙江专用）,专题十 圆锥曲线与方程 10.1 椭圆及其性质,考点一 椭圆的定义和标准方程,考点清单,考向基础 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨 迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦 距,符号表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|). 注意:(1)当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2; (2)当2a|F1F2|时,轨迹不存在.,2.椭圆的标准方程 (1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 + =1(ab0),焦点在y轴上的 椭圆的标准方程为 + =1(ab0).给定椭圆 + =1,m0,
2、n0(mn), 要根据m、n的大小来判断焦点在哪个坐标轴上,焦点在分母大的那个 坐标轴上. (2)若焦点位置不定,则可设椭圆方程为Ax2+By2=1(A0,B0,且AB).,考向突破,考向一 椭圆定义的应用,例1 (2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,14)已知椭圆的方程为 +=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则ABF2 的周长的最小值为 ,ABF2的面积的最大值为 .,解析 设F1为椭圆左焦点,连接AF1,BF1,则由椭圆的中心对称性可得 =AF2+BF2+AB=AF1+AF2+AB=6+AB6+4=10, = 2 2=2 .,答案 10;2,考向二 椭圆标准方程
3、的求法,例2 (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点 为F1、F2,离心率为 ,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为 4 ,则C的方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1,解析 由题意及椭圆的定义知4a=4 ,则a= ,又 = = ,c=1,b 2=2,C的方程为 + =1,选A.,答案 A,考点二 椭圆的几何性质,考向基础 1.椭圆的简单几何性质,2.点P(x0,y0)和椭圆 + =1(ab0)的关系 (1)P(x0,y0)在椭圆内 + 1 . 【知识拓展】 1.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与
4、两焦点构成的PF1F2称作焦点三角 形.如图,|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=.,(1)cos = -1. (2) = r1r2sin = b2=b2tan =c|y0|. 当|y0|=b,即P为短轴端点时, 最大,且最大值为bc. (3)其中r1=a+ex0,r2=a-ex0(e为椭圆的离心率)称为焦半径,简记为“左加 右减”,且r1a-c,a+c,r2a-c,a+c.,2.AB为椭圆 + =1(ab0)的弦.设直线AB的斜率存在且为k(k0),且 A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0).则 (1)弦长l=|x1-x2| =|y1-y2| . (2)k=-
5、 . (3)直线AB的方程:y-y0=- (x-x0). (4)线段AB的垂直平分线方程:y-y0= (x-x0). (5)如果AB过焦点(焦点弦),则弦长l=2ae(x1+x2)=2a2ex0(过左焦点取 “+”,过右焦点取“-”,简记为“左加右减”),进一步有lmin= .(此时,AB垂直x轴,线段AB称为通径) 3.椭圆 + =1与 + =k(其中ab0,k0)有相同的离心率. 4.设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB 的斜率之积为定值- .,考向突破,考向一 求离心率的值(范围),例1 (2018浙江温州适应性测试,7)正方形ABCD的四个顶点都在椭
6、圆 + =1(ab0)上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的 取值范围是 ( ) A. B. C. D.,解析 设A(x,y),由已知及椭圆的对称性得|x|=|y|c,把点A的坐标代入椭 圆方程得x2= ,由|x|c,得 c2,即a2(a2-c2)c2(2a2-c2),即1-e2e2(2 -e2),解得e2 或e2 .因为0e1,则e2 = ,则0e,故选B.,答案 B,考向二 求解焦点三角形问题,例2 (2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5月),21,15分)已知椭圆 C: +y2=1的左,右焦点分别是F1,F2,点P是椭圆C上除长轴端点外的任一 点,连接PF1,PF2,设F
7、1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M(m,0). (1)求实数m的取值范围; (2)求|PF1|PM|的最大值.,解析 (1)设P(x0,y0)(y00),则 + =1. 又F1(- ,0),F2( ,0), 所以直线PF1,PF2的方程分别为 :y0x-(x0+ )y+ y0=0,:y0x-(x0- )y- y0=0. (4分) 因为 = , 所以 = . 因为- m ,-2x02,所以 = ,所以m= x0,因此- 0,则-2x . 令f (x)0,则 x2.,所以f(x)f =48,所以|PF1|PM|= ,当且仅当x0= 时 取到等号. (15分),方法 求椭圆离心率(范围)的常用
8、方法 (1)椭圆的离心率是椭圆重要的一个基本量,在椭圆中有着特殊的作用, 也是高考常考的知识点,通常有两类问题:一类是求椭圆的离心率;另一 类是求椭圆离心率的取值范围. (2)求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法:若给定椭圆的方程,则根 据椭圆方程确定a2,b2,进而求出a,c的值,从而利用公式e= 直接求解; 若椭圆的方程未知,则根据条件及几何图形建立关于a,b,c的齐次等式 (或不等式),化为关于a,c的齐次方程(或不等式),进而化为关于e的方程 (或不等式)进行求解.,方法技巧,例 (2018浙江新高考调研卷四(金华一中),15)过原点O的直线l与椭圆 + =1(ab0)交于M,N两点,点P是椭圆上异于M,N的任一点,满足kPM kPN- ,则该椭圆的离心率的取值范围是 .,解析 设P(x0,y0),M(m,n),N(-m,-n),kPMkPN= = - ,又P(x 0,y0),M(m,n)在椭圆 + =1上,则 + =1, + =1,两式相减得 + =0,所以 =- ,则- - ,a23b2=3(a2-c2),3c22a2,所以e= ,又e1,所以离心率的取值范围是 e1.,答案,
