1、考点一 导数的概念与几何意义,考点清单,考向基础1.导数的概念:称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y ,即f (x0)=. 2.导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)就是曲线y=f(x)在点P (x0,y0)处的切线的斜率,即k= f (x0) .相应地,切线方程为 y-f(x0)=f (x0)(x-x0) .,考向突破,考向 利用导数求曲线的切线方程,例 (1)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 ; (2)经过原点(0,0)作函数f(x)=x3+3x2的图象的切线,则切线方程为 .,解析 (1
2、)y=-5ex,则曲线在点(0,-2)处的切线的斜率k=y|x=0=-5e0=-5, 故所求切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0. (2)f (x)=3x2+6x.当(0,0)为切点时, f (0)=0,故切线方程为y=0. 当(0,0)不为切点时,设切点为P(x0, +3 ),则切线方程为y-( +3 )=(3 +6x0)(x-x0),又点(0,0)在切线上,所以- -3 =-3 -6 ,解得x0=0(舍去)或x0 =- ,故切线方程为9x+4y=0.综上,切线方程为y=0或9x+4y=0.,答案 (1)5x+y+2=0 (2)y=0或9x+4y=0,考点二 导数的运算
3、,考向基础 1.基本初等函数的导数公式,2.导数的运算法则,考向突破,考向 导数的运算,例 已知函数f(x)的导函数为f (x),且满足f(x)=2xf (1)+ln x,则f (1)= ( ) A.-e B.-1 C.1 D.e,解析 因为f(x)=2xf (1)+ln x,所以f (x)=2f (1)+ ,令x=1,可得f (1)=-1.,答案 B,方法1 求函数的导数的方法 1.用导数定义求函数的导数的步骤: (1)求函数值的增量y=f(x0+x)-f(x0); (2)求平均变化率 = ; (3)取极限,得导数f (x0)= = . 2.用导数运算法则求导数应注意的问题: (1)求函数的
4、导数时,先要把函数拆分为基本初等函数的和、差、积、 商的形式,再利用导数的运算法则求导数.,方法技巧,(2)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,而且还要注意 不要混用公式,如(ax)=axln a,a0且a1,而不是(ax)=xax-1,a0且a1.还 要特别注意:(uv)uv, . 3.总原则:先化简,再求导.,例1 已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则 的值为 ( ) A.10 B.-10 C.-20 D.20 解题导引,解析 依题意有f (x)= +8, 则 = =-2f (1)=-2(2+8)=-20,故选C.,答案 C,方法2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 1
5、.若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0, y0)是切点和不是切点两种情况求解: (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0). (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P(x1, f(x1); 第二步:写出过P(x1, f(x1)的切线方程y-f(x1)=f (x1)(x-x1);,(1)若点P(x0,y0)不在曲线y=f(x)上,则点P一定不是切点; (2)若点P(x0,y0)在曲线y=f(x)上,当是在点P(x0,y0)处的切线时,点P(x0,y0)是 切点,当是过点P
6、(x0,y0)的切线时,点P(x0,y0)不一定是切点.,第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f (x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程. 2.判断点P(x0,y0)是不是切点的方法:,例2 (1)曲线f(x)=x2过点P(-1,0)的切线方程是 ; (2)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值是 . 解题导引,解析 (1)由题意,得f (x)=2x.设直线与曲线相切于点(x0,y0),则所求切线 的斜率k=2x0, 由题意知2x0= = , 又y0= ,联立解得x0=0或x0=-2,所以k=0或k=-4,所以所求切线方程 为y=0或y=-4(x+1),即y=0或4x+y+4=0. (2)y=3x2+a, 点(1,3)为切点, b=3.,答案 (1)y=0或4x+y+4=0 (2)3,
