1、考点一 函数的模型及实际应用,考点清单,考向基础 1.三种增长型函数模型的图象与性质,2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax(a1)与幂函数y=x(0) 在区间(0,+)上,无论比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于x,但 由于y=ax的增长速度快于y=x的增长速度,因而总存在一个x0,使xx0时 有axx.,(2)对数函数y=logax(a1)与幂函数y=x(0) 不论a与值的大小如何,对数函数y=logax(a1)的增长速度总会慢于y=x 的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有logaxx.,由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数
2、,但它们的增长速 度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+)上,总会存在一个x0,使xx0 时有axxlogax. 3.几种常见的函数模型 (1)直线模型:一次函数模型y=kx+b(k0).图象增长的特点是直线式上升 (x的系数k0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=kx (k0). (2)反比例函数模型:y= (k0),增长特点是在单调区间内y随x的增大而,减小.,(3)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,且a0),其增长特点是随着自变量 的增大,函数值增大的速度越来越快(b1,且a0).常形象地称之为“指 数爆炸”. (4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0
3、,a1,且m0),增长特点是随着自变 量的增大,函数值增大的速度越来越慢(a1,且m0).常形象地称之为 “蜗牛式增长”. (5)幂函数模型:y=axn+b(a0),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx+ c(a0).其特点是随着自变量的增大,函数值先减小,后增大(a0). (6)“对勾”函数模型:形如f(x)=x+ (a0,且x0)的函数模型,在现实生 活中也有着广泛的应用,常利用“基本不等式”求最值,有时也利用函,数的单调性.,考向突破,考向 函数的实际应用,例 当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减 为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳
4、14含量 不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死 亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期” 个数至少是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11,解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期” 后的含量为 , 由题意得 ,解得n10, 所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少 需要经过10个“半衰期”.故选C.,答案 C,考点二 函数的综合应用问题,考向基础本考点把函数的三要素和函数的性质(奇偶性、单调性、周期 性、对称性等)以及函数的图象综合起来考查.同时把函数与方程、三 角函数、不等式、数列、解析
5、几何等知识联系起来,构造不等式求参数 范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等等.,例 已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意xR,有f(x+6)=f(x)+f(3)成 立,当x1,x20,3,且x1x2时,有 0.给出下列命题: f(3)=0; 直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴; 函数y=f(x)在-9,-6上为增函数; 函数y=f(x)在-9,9上有四个零点. 其中正确命题的序号为 .(把所有正确命题的序号都填上),考向 函数的综合应用,考向突破,解析 对于任意xR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,则f(-3+6)=f(- 3)+f(3
6、),故f(-3)=0.又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0. 由知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6, 又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x+6)=f(-x), 而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(-6+x), f(-x)=f(-x-6), 所以f(-6-x)=f(-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴. 因为当x1,x20,3,且x1x2时,有 0, 所以函数y=f(x)在0,3上为增函数,因为f(x)是R上的偶函数,所以函数y=f(x)在-3,0上为减函数,又f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在-9,-6上为减函数. 由f(
7、3)=0, f(x)的周期为6,得f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,所以函数y=f(x)在-,9,9上有四个零点.故答案为.,答案 ,方法 函数模型的实际应用问题 解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,并要 注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义 作出解答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础:,方法技巧,例 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初 始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta) ,其中Ta称为 环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡,放在24 的房间中,如果咖啡降到40 需要20分钟,那么此杯咖啡从40 降温到 32 ,还需要 分钟. 解题导引,解析 由已知可得Ta=24,T0=88,T=40,由40-24=(88-24) ,解得h=10, 当咖啡从40 降温到32 时,可列方程32-24=(40-24) ,解得t=10. 故还需要10分钟.,答案 10,
