1、第2讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题,第七章 不等式,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 二元一次不等式（组）与平面区域 考点2 简单的线性规划问题,考法1 平面区域问题 考法2 求目标函数的最值（范围） 考法3 含参线性规划问题 考法4 线性规划的实际应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易混易错 对目标函数中的参数把握不准致误,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的命题情况来看,本讲是高考的重点,命题稳定,难度适中.主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值(范围
2、)以及实际应用,目标函数大多是线性的,偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数,主要以选择题和填空题的形式出现. 2.学科核心素养 本讲通过线性规划问题及其应用考查考生的数学运算、直观想象和数学建模素养及数形结合思想的应用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 二元一次不等式（组）与平面区域 考点2 简单的线性规划问题,考点1 二元一次不等式（组）与平面区域,1.二元一次不等式(组)表示的平面区域,说明 直线同侧同号,异侧异号.,2.画二元一次不等式(组)表示的平面区域的步骤可简记为:直线定界,虚实分明;特殊点定域,优选原点;阴影表示.注意不等式中有无等号.,考点2 简单的线性规划问题,线性
3、规划的有关概念,说明 如果目标函数存在一个最优解,那么最优解通常在可行域的顶点处取得;如果目标函数存在多个最优解,那么最优解一般在可行域的边界上取得.注意 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时有多个.,B考法帮题型全突破,理科数学 第七章：不等式,考法1 平面区域问题 考法2 求目标函数的最值（范围） 考法3 含参线性规划问题 考法4 线性规划的实际应用,考法1 平面区域问题,示例1 若不等式组 0， 2+2， 0， + 表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 A.a 4 3 B.0a1 C.1a 4 3 D.0a1或a 4 3,思维导引 先正确作出不含参数
4、a的不等式构成的二元一次不等式组所表示的平面区域,然后通过平移直线x+y=0来观察原不等式组所围成平面区域的形状是否为三角形,从而得出参数a的取值范围.,解析 不等式组 0 2+2 0 所表示的平面区域如图7-2-1所示(阴影部分).,图7-2-1,由 = 2+=2 得A( 2 3 , 2 3 ); 由 =0 2+=2 得B(1,0).若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值范围是0a1或a 4 3 . 答案 D,拓展变式1 (1)已知不等式 +1, 1, 0, 组所表示的平面区域为D,若直线y=kx-3与平面区域D有公共点,则k的取值范围为( ) A.-3,3 B
5、.(-,- 1 3 1 3 ,+) C.(-,-33,+) D.- 1 3 , 1 3 ,(2)不等式组 2+60, +30, 2, 表示的平面区域的面积为( ) A.4 B.1 C.5 D.无穷大,解析 1.(1)C 满足约束条件的平面区域如图D 7-2-3中阴影部分所示.因为直线y=kx-3过定点(0,-3),所以当y=kx-3过点C(1,0)时,k=3;当y=kx-3过点B(-1,0)时,k=-3,所以当k-3或k3时,直线y=kx-3与平面区域D有公共点.故选C.,图D 7-2-3 图D 7-2-4,(2)B 不等式组 2+60, +30, 2 , 表示的平面区域如图D 7-2-4所示
6、(阴影部分),ABC的面积为所求.求出点A,B,C的坐标,分别为A(1,2),B(2,2),C(3,0),则ABC的面积为S= 1 2 (2-1)2=1.,考法2 求目标函数的最值（范围）,1.求线性目标函数的最值 示例2 2016天津,2,5分理设变量x,y满足约束条件 +20, 2+360, 3+290, 则目标函数z=2x+5y的最小值为 A.-4 B.6 C.10 D.17,思维导引 思路一 先根据不等式组画出可行域,然后平移直线2x+5y=0,再根据目标函数的几何意义确定出其最小值. 思路二 先求出可行域各顶点的坐标,然后分别计算出各顶点处的目标函数值,再找出最小值.,解析 解法一
7、(图解法)已知约束条件 +20, 2+360, 3+290, 所表示的平面区域为图7-2-2中的阴影部分(包含边界),其中A(0,2),B(3,0),C(1,3).根据目标函数的几何意义,可知当直线y=- 2 5 x+ 2 5 过点B(3,0)时,z取得最小值23+50=6.(由截距定最优解),图7-2-2,解法二 (界点定值法)由题意知,约束条件 +20, 2+360, 3+290, 所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2),B(3,0),C(1,3).将A,B,C三点的坐标分别代入z=2x+5y,得z=10,6,17,故z的最小值为6. 答案 B,2.求非线性目标函数的最值 示例3 201
8、9洛阳市联考若实数x,y满足 +10, 0, 2, 则z= 2 2+1 的取值范围是 A. 4 3 ,4 B. 4 3 ,4) C.2,4 D.(2,4,思维导引 作出不等式组对应的平面区域,将目标函数化简变形,利用目标函数的几何意义,进而可得目标函数的取值范围.,解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB)所示,其中A(1,2),B(0,2).,(注意点B是空心点),z= 2 2+1 = + 1 2 = 0 ( 1 2 ) ,则z的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点M(- 1 2 ,0)所连直线的斜率.(斜率型) 可知kMA= 20 1( 1 2 ) = 4 3 ,k
9、MB= 20 0( 1 2 ) =4,结合图形可得 4 3 z4. 故z= 2 2+1 的取值范围是 4 3 ,4). 答案 B,拓展变式2 2019江西名校高三质检(一)已知实数x,y满足 25, +0, 340, 则z=x-2y的最大值为 .,解析 2.5 作出不等式组所表示的平面区域如图D 7-2-5中阴影部分所示,观察可知,当直线z=x-2y过点A( 5 3 ,- 5 3 )时,z=x-2y取得最大值,最大值为5.,图D 7-2-5 图D 7-2-6,拓展变式3 (1)设x,y满足约束条件 +50, +0, 3, 则z=(x+1)2+y2的最大值为( ) A.80 B.4 5 C.25
10、 D. 17 2 (2)实数x,y满足不等式组 +20, 250, +40, 则z=|x+2y-4|的最大值为 .,解析 3.(1)A 作出不等式组 +50, +0, 3 表示的平面区域,如图D 7-2-6中阴影部分所示.(x+1)2+y2可看作可行域内的点(x,y)到点P(-1,0)的距离的平方,由图可知可行域内的点A到点P(-1,0)的距离最大. 解方程组 =3, +5=0, 得 =3, =8, 即点A的坐标为(3,8),代入z=(x+1)2+y2,得zmax=(3+1)2+82=80.,(2)21 解法一 作出不等式组表示的平面区域,如图D 7-2-7中阴影部分所示.z=|x+2y-4|
11、= |+24| 5 5 ,其几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的 5 倍.由 +2=0, 25=0, 得点B的坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时zmax=21.,图D 7-2-7 解法二 作出可行域如图D 7-2-7所示,由图可知,阴影区域内的点都在直线x+2y-4=0的上方,显然此时有x+2y-40,于是目标函数等价于z=x+2y-4,即转化为简单的线性规划问题.显然当直线经过点B时,目标函数取得最大值,此时zmax=21.,考法3 含参线性规划问题,示例4 已知z=2x+y,其中实数x,y满足 , +2, , 且z的最大值是最小值的4倍,则a
12、的值是A. 2 11 B. 1 4 C.4 D. 11 2,思维导引 作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,结合z的最大值是最小值的4倍建立方程,即可得出结果.,解析 作出不等式组对应的平面区域如图7-2-4中阴影部分(包括边界)所示. (把参数当成常数),图7-2-4,由z=2x+y,得y=-2x+z. 由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z最大. 由 +=2, =. 解得 =1, =1. 即A(1,1),故zmax=21+1=3, 当直线y=-2x+z经过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z最小. 由 = = 解得 = = 即B(a,a),故zm
13、in=2a+a=3a. (求线性目标函数的最值)由,z的最大值是最小值的4倍,得3=43a,即a= 1 4 . (构造方程求参数) 答案 B,方法总结 由目标函数的最值求参数的方法 1.把参数当常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数求出最值,通过构造方程或不等式求出参数的值或取值范围.,拓展变式4 2018山西省八校第一次联考若实数x,y满足不等式组 +20, +240, 2+50, 且3(x-a)+2(y+1)的最大值为5,则a= .,解析 4.2 设z=3(x-a)+2(y+1),作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-8中阴影部分所示.由z=3(x-a)+2(y+1
14、),得y=- 3 2 x+ 32+ 2 ,作出直线y=- 3 2 x,平移该直线,易知当直线过点A(1,3)时,z取得最大值,又目标函数的最大值为5,所以3(1-a)+2(3+1)=5,解得a=2.,图D 7-2-8,考法4 线性规划的实际应用,示例4 某共享汽车品牌在某市投放1 500辆宝马轿车,为人们的出行提供了一种新的交通方式.该市的市民小王喜欢自驾游,他在该市通过网络组织了一场“周日租车游”活动,招募了30名自驾游爱好者租车旅游,他们计划租用A,B两种型号的宝马轿车,已知A,B两种型号的宝马轿车每辆的载客量都是5人,每天的租金分别为600元/辆和1 000元/辆,根据要求租车总数不超过
15、12辆且不少于6辆,且A,B两种型号的宝马轿车至少各租用1辆,则租车所需的租金最少为 元.,思维导引 先确定变量,然后根据已知条件列出变量所满足的不等式组以及目标函数,进而根据目标函数的几何意义确定最优解,求得目标函数的最值,最后还原为实际问题即可.,解析 设分别租用A,B两种型号的宝马轿车x辆、y辆,所需的总租金为z元,则z=600x+1 000y,其中x,y满足不等式组 5+530, 6+12, 1, 1, , , 作出不等式组,+6, +12, 1, 1, 所表示的平面区域如图7-2-5中阴影部分所示,图725,目标函数可化为y=- 3 5 x+ 1000 ,由图可知当直线y=- 3 5
16、 x+ 1000 过点C时,目标函数z取得最小值.由 +=6 =1 , 解得C(5,1).所以 总租金z的最小值为6005+1 0001=4 000(元).,感悟升华 1.解线性规划应用题的3个步骤,拓展变式5 甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件;制作一等奖、二等奖所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异.甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,它们的具体收费如下表所示,则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.,解析 5. 4 900 设甲厂生产一等奖奖品x件,二等奖奖品y件,x,yN,则乙厂生
17、产一等奖奖品(3-x)件,二等奖奖品(6-y)件. 根据题意,可知x,y满足 +4, 30, 60, ,N. 设费用总和为z元,则z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y)=-300x-200y+6 000. 作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分(包括边界)中的整点.,由图象知当直线经过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z最小. 由 =3, +=4, 解得 =3, =1, 即A(3,1),故组委会定做该工艺品的费用总和最低为zmin=-3003-2001+6 000=4 900(元).,C方法帮素养大提升,易错 对目标函数中的参数把握不准致误,易混易错 示例6 已知变量x
18、,y满足约束条件 若使z=ax+y取得最小值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是 A.-2,0 B.-2,1 C.0,1 D.-2,0,1 易错分析 不能理解题目中“最优解有无穷多个”对目标函数所对应直线的要求,从而不能对直线的斜率进行正确地讨论,导致错误.,易混易错 对目标函数中的参数把握不准致误,解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图7-2-6中阴影部分所示.,图7-2-6,由z=ax+y,得y=-ax+z. 若a=0,则直线y=-ax+z=z,此时z取得最小值的最优解只有一个,不满足题意; 若-a0,则当直线y=-ax+z在y轴上的截距取得最小值时,z取得最小值,此时当直线y=-ax与直线2x-y-9=0平行时满足题意,则-a=2,解得a=-2; 若-a0,则当直线y=-ax+z在y轴上的截距取得最小值时,z取得最小值,此时当直线y=-ax与直线x+y-3=0平行时满足题意,则-a=-1,解得a=1. 综上可知,a=-2或a=1. 答案 B,
