1、第五讲 对数与对数函数,第二章 函数概念与基本初等函数,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 对数与对数运算 考点2 对数函数的图象与性质,考法1 对数式的运算 考法2 对数函数的图象及应用 考法3 对数函数的性质及应用 考法4 指数函数、对数函数的综合问题,B考法帮题型全突破,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,C方法帮素养大提升,专题 有关对数运算的创新应用问题,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考的一个热点,主要考查对数式的大小比较、对数函数的图象和性质
2、,也常与其他函数、方程、不等式等综合命题,以选择题和填空题为主,也可能在解答题中出现,难度中等. 2.学科核心素养 本讲通过对数运算、对数函数的图象及性质考查分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的运用以及考生的数学运算素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 对数与对数运算 考点2 对数函数的图象与性质,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数. 由此可得对数式与指数式的互化:ax=NlogaN=x(a0,且a1).,考点1 对数与对数运算（重
3、点）,说明 几种常见的对数,2.对数的性质、运算法则及重要公式,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,说明 (1)应用换底公式时,一般选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立.,考点2 对数函数的图象与性质（重点）,1.对数函数的图象和性质,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,2.对数函数图象的特点 (1)当a1时,对数函数的图象呈上升趋势;当00,且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),( 1 ,-1),函数图象只在第一、四象限. (3)在直线x=1的右侧:当a1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0a1时,底数越小,图象越靠近x轴,
4、即“底大图低”.,注意 当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a1和0a1两种情况进行讨论.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,3.反函数 指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称(如图所示).,规律总结 (1)函数y=loga|x|的图象关于y轴对称. (2)函数y=ax与y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称. (3)函数y=logax与y=lo g 1 x的图象关于x轴对称. (4)反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域,互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.,理科数学 第二章
5、：函数概念与基本初等函数,B考法帮题型全突破,考法1 对数式的运算 考法2 对数函数的图象及应用 考法3 对数函数的性质及应用 考法4 指数函数、对数函数的综合问题,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例1计算:(1)lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2; (2) (lg3 ) 2 lg9+1 (lg 27 +lg8lg 1 000 ) lg0.3lg1.2 ; (3)(log32+log92)(log43+log83).,考法1 对数式的运算,思维导引,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,化为2与5的常用对数,利用lg 2+lg 5=1化简求值,化为2与3的常用对数,
6、开方后整理求值,(1),(2),(3),用换底公式化为常用对数,整理求值,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+ 1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2. (2)原式= (lg3 ) 2 2lg3+1 ( 3 2 lg3+3lg2 3 2 ) (lg31)(lg3+2lg21) = (1lg3) 3 2 (lg3+2lg21) (lg31)(lg3+2lg21) =- 3 2 . (3)原式=( lg2 lg3 + lg2 lg9 )( lg3 lg
7、4 + lg3 lg8 )=( lg2 lg3 + lg2 2lg3 )( lg3 2lg2 + lg3 3lg2 )= 3lg2 2lg3 5lg3 6lg2 = 5 4 .,归纳总结,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,对数运算的一般思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算. (3)利用式子lg 2+lg 5=1进行化简.,示例2 函数y=logax与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可
8、能是,考法2 对数函数的图象及应用,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,思维导引,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 当a1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a1,选项B,D中的图象都不符合要求; 当0a1时,函数y=logax的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数y= -x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0a1,选项A中的图象符合要求,选项C中的图象不符合要求.,答案 A,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例3当x(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,
9、则a的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2 D.(0, 1 2 ),思维导引 将不等式恒成立转化为判断两个函数图象在同一平面直角坐标系中的位置关系来求解.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x(1,2)时,不等式(x-1)21时,如图所示,要使在区间(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的图象的下方,只需f1(2)f2(2),即(2-1)2loga2,所以loga21,即1a2.,答案 C,归纳总结,对数型函数图象的考查类型及解题思路 1.对有关对数型函数图象的识别问题,主
10、要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解. 2.对有关对数型函数的作图问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 3.与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决,即数形结合法.应用时要准确地画出图象,把方程的根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的关系问题.,拓展变式1 函数y=2log4(1-x)的图象大致是( ),理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,1. C 函数y=2log4(1-x)的定义域为(-,1),排除A,B;函数y=2
11、log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.选C.,考法3 对数函数的性质及应用,1.比较大小 示例4 2018天津,5,5分理已知a=log2e,b=ln 2,c= log 1 2 1 3 ,则a,b,c的大小关系为 A.abc B.bac C.cba D.cab,解析解法一因为a=log2e1,b=ln2(0,1),c= log 1 2 1 3 =log23log2e1, 所以cab,故选D.,解法二 log 1 2 1 3 =log23,如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,由图,知cab,故选D.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,答案 D,
12、归纳总结 比较对数值大小的类型及相应方法,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例5 已知a0且a1,若函数f(x)=loga(ax2-x)在3,4上是增函数,则a的取值范围是 .,思维导引 对底数a按a1和0a1进行讨论,分别求出f(x)=loga(ax2-x)在3,4上单调递增时a的取值范围,然后取并集即可.,2.对数型函数的单调性问题,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 当a1时,要使f(x)=loga(ax2-x)在3,4上单调递增,则y=ax2-x在3,4上单调递增,且y=ax2-x0恒成立,即 1, 1 2 3, 930,
13、 解得a1. 当00恒成立,即 00, 此时无解.综上可知,a的取值范围是(1,+).,突破攻略,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,对数型复合函数的单调性问题的求解策略 1.对于y=loga f(x)型的复合函数的单调性,有以下结论:函数y=loga f(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)0)的单调性在a1时相同,在0a1时相反. 2.研究y=f(logax)型的复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.,注意 研究对数型复合函数的单调性,一定要坚持“定义域优先”原则,否则所得范围易出错.,拓展变式2 设函数f(x)=
14、 lo g 2 ,0, lo g 1 2 (),f(-a),则实数a的取值范围是 A.(-1,0)(0,1) B.(-,-1)(1,+) C.(-1,0)(1,+) D.(-,-1)(0,1),理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,2. C 由题意得 0, lo g 2 lo g 2 或 lo g 2 (), 解得a1或-1a0.故选C.,示例6 设点P在曲线y= 1 2 ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为 A.1-ln 2 B. 2 (1-ln 2) C.1+ln 2 D. 2 (1+ln 2),考法4 指数函数、对数函数的综合问题,理科数学 第二章：函数概念与基
15、本初等函数,解析 根据函数y= 1 2 ex和函数y=ln(2x)的图象可知两函数图象关于直线y=x对称, (y= 1 2 ex与y=ln(2x)互为反函数),答案 B,故要求|PQ|的最小值可转化为求与直线y=x平行且与两曲线相切的直线间的距离,设曲线y= 1 2 ex上的切点为A(m,n),则A到直线y=x的距离的2倍即所求最小值.因为y=( 1 2 ex)= 1 2 ex,则 1 2 em=1,所以m=ln 2,所以切点A的坐标为(ln 2,1),切点到直线y=x的距离为d= |ln21| 2 = 1ln2 2 ,所以2d= 2 (1-ln 2).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函
16、数,示例7 已知x(0, 1 3 ),8xlogax+1恒成立,则实数a的取值范围是 A.(0, 2 3 ) B.(0, 1 2 C. 1 3 ,1) D. 1 2 ,1),思维导引 对任意的x(0, 1 3 ),总有8xlogax+1恒成立,则当0x 1 3 时, y=logax+1的图象恒在y=8x的图象的上方,在同一平面直角坐标系中,分别画出两函数的图象,由此列不等式组求出实数a的取值范围.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 令f(x)=8x,g(x)=logax+1,由x(0, 1 3 )时,f(x)g(x)恒成立知,x(0, 1 3 )时,f(x)的图象一定在g(x)的
17、图象的下方,作出函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象,如图所示. 由图可知 01, lo g 1 3 +1 8 1 3 , 解得 1 3 a1.,答案 C,感悟升华 1.解决指数函数与对数函数综合问题的注意点 (1)解决指数函数与对数函数的综合问题时,要注意运用指数、对数函数的图象与性质等知识和研究函数的性质的思想方法来分析解决问题. (2)解决与指数函数、对数型函数有关的问题时,要注意数形结合思想的应用. (3)在给定条件下,求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式的知识及函数单调性在这类问题中的应用.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,2. 解决与指数、对数型函数有关的恒成立问
18、题的基本思路 (1)与指数型函数有关的恒成立问题,通常采取转化与化归的思想,即当a1时,af(x)ag(x)恒成立f(x)g(x)恒成立f(x)-g(x)0恒成立f(x)-g(x)min0,再构造函数h(x)=f(x)-g(x),求出h(x)的最小值即可.当00在R上恒成立;若函数y=loga f(x)的值域为R,则函数f(x)能取所有正实数.,C方法帮素养大提升,专题 有关对数运算的创新应用问题,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,专题 有关对数运算的创新应用问题,示例82017北京,8,5分理根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约
19、为1080.则下列各数中 与 最接近的是 (参考数据:lg 30.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093,思维导引 要先读懂题意,搞清其本质就是利用对数来比较两个数的大小,然后根据相关公式计算.,素养提升在解决对数的化简与求值问题时,要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式,同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化,有助于提升学生的转化能力和数学运算能力.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析因为lg 3361=361lg 33610.48173,所以M10173, 则 10 173 10 80 =1093. 答案D,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式3 里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的 地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪 记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的 倍.,3.(-,4 令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在 2 ,+)上单调递增,在(-, 2 上单调递减.因为f(x)=2t在R上为增函数,所以若函数f(x)=2|2x-m|在2,+)上单调递增,则 2 2,即m4,所以m的取值范围是(-,4.,
