1、第二讲 变量间的相关关系与统计案例,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 回归分析 考点2 独立性检验,考法1 相关关系的判断 考法2 线性回归方程的求解与运用 考法3 独立性检验,B考法帮题型全突破,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,命题规律,1.命题分析预测 对于回归分析,高考考查较多,主要考查求线性回归方程、利用回归方程进行预测,一般以解答题的形式出现,难度中等,有时也会以小题的形式考查变量的相关性;对于独立性检验,一般以解答题的一问进行考查,常与概率知识相交汇
2、命题. 2.学科核心素养 本讲通过回归分析、独立性检验考查考生的数学运算、直观想象、数据分析、逻辑推理、数学建模等核心素养,以及分析解决问题的能力.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 回归分析 考点2 独立性检验,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,考点1 回归分析（重点）,1.两个变量的线性相关 (1)正相关:在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关. (2)负相关:在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为负相关. (3)线性相关关系:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,称两
3、个变量具有线性相关关系,这条直线叫作回归直线.,2.线性回归方程 (1)最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程:若变量x与y具有线性相关关系,有n个样本数据(x,yi)(i=1,2,n),则回归方程 = x+ 中 = =1 ( )( ) =1 ( ) 2 = =1 =1 2 2 , = - .其中 = 1 =1 ， = 1 =1 , ( , )称为样本点的中心. 回归直线 = x+ 必过样本点的中心( , ),这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据,也是求参数的一个依据.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(3)相相关系数来定
4、量地衡量两个变量之间的线性相关关系,其计算公式为r= ,|r|1. 当r0时,表明两个变量正相关; 当r0时,表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常,当r的绝对值大于0.75时,认为两个变量之间有很强的线性相关性. (4)相关指数:R2=1- .其中 (yi- )2是残差平方和,其值越小,则R2关系数:我们可以利用越大(接近1),模型的拟合效果越好.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,1.分类变量 可以用不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 2.22列联表 设X,Y为两个
5、分类变量,它们的取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表(22列联表)如下:,考点2 独立性检验（重点 ）,3.独立性检验 利用随机变量K2(也可表示为2)= ( ) 2 (+)(+)(+)(+) (其中n=a+b+c+d为样本容量)来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. 4.独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据列出22列联表. (2)计算随机变量K2的观测值k,查下表确定临界值k0.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(3)如果kk0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过P(K2k0);否则,就认为在犯错误的概率不超过P(K2k0)的前提下不能推断
6、“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,注意 (1)查表时不是查最大允许值,而是先根据题目要求的百分比找到第一行数据对应的数值,再将该数值对应的k值与求得的K2相比较.(2)K2的观测值k越大,两变量有关联的可能性越大;|ad-bc|越大,两变量有关联的可能性越大.(3)表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性为P,所以其有关联的可能性为1-P.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,B考法帮题型全突破,考法1 相关关系的判断 考法2 回归分析 考法3 独立性检验,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,考法1 相关关
7、系的判断,(1)下列四个散点图中,变量x与y之间具有负的线性相关关系的是,思维导引 根据点的分布情况可得.,答案 D 解析 观察散点图可知,只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得线性回归方程,分别得到以下四个结论: y与x负相关且 =-2.756x+7.325;y与x负相关且 =3.476x+5.648;y与x正相关且 =-1.226x-6.578;y与x正相关且 =8.967x+8.163. 其中不正确的结论的序号是 A. B. C. D.,文科数学 第十二章：
8、 统计与统计案例,思维导引 线性回归方程 = x+ 中,回归系数 的正、负说明两个变量成正、负相关关系.,答案 B 解析 对于,线性回归方程符合负相关的特征,此结论正确; 对于,由线性回归方程知,y与x的关系是正相关,此结论错误; 对于,由线性回归方程知,y与x的关系是负相关,此结论错误; 对于,线性回归方程符合正相关的特征,此结论正确.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,感悟升华 判定两个变量相关性的方法 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角,两个变量负相关. (2)相关系数:r0时,正相关;r0时,正相关; 0时,负相关.,文科数学 第十二
9、章： 统计与统计案例,考法2 回归分析,示例2 2016全国卷,18,12分理如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码17分别对应年份20082014.,()由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明; ()建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据: yi=9.32, tiyi=40.17, =0.55, 2.646. 参考公式:相关系数r= ,回归方程 = + t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = , = - .,文科数学 第十二章： 统计与统计案例
10、,解析 ()由折线图中数据和附注中参考数据及公式得 =4, (ti- )2=28, =0.55,(ti- )(yi- )= tiyi- yi=40.17-49.32=2.89, r= 0.99. 因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系. ()由 = 1.331及()得 = = 0.103,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,= - 1.331-0.10340.92. 所以y关于t的回归方程为 =0.92+0.10t. 将2016年对应的t=9代入回归方程得 =0.92+0.109=1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无
11、害化处理量为1.82亿吨.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,方法总结 1.线性回归分析问题的类型及解题方法,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,2.非线性回归方程的求法 (1)根据原始数据作出散点图; (2)根据散点图,选择恰当的拟合函数; (3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程; (4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,拓展变式1 2019辽宁五校联考近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活
12、动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次,统计数据如下表: 根据以上数据,绘制了散点图,如图.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=cdx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由)? (2)根据(1)的判断结果及上表中数据,建立y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次. 参考公式: 对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线=+的斜率
13、和截距的最小二乘估计公式分别为=,= - .,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,解析(1)根据散点图可以判断,y=cdx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型. (2)y=cdx,两边同时取常用对数,得lg y=lg(cdx)=lg c+xlg d,设lg y=v,则v=lg c+xlg d. =4, =2.54, =140, lg d= = =0.25,把(4,2.54)代入v=lg c+xlg d,得lg c=1.54, =1.54+0.25x, =101.54+0.25x=101.54(100.25)x. 把x=8代入上式,得 =101.54+0.258=103.5
14、4=103100.54=3 470. y关于x的回归方程为 =101.54(100.25)x,预测活动推出第8天使用扫码支付的人次为 3 470.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,考法2 独立性检验,示例3 2018全国卷,18,12分理某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如图所示的茎叶图:,(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求40名
15、工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2= ,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,思维导引 (1)根据茎叶图中的数据特征分析即可得出结论;(2)由茎叶图中的数据即可得出中位数,根据中位数补全列联表;(3)利用K2进行判断. 解析 (1)第二种生产方式的效率更高.理由如下: (i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二
16、种生产方式的效率更高. (ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高. (iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎
17、7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高. (以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.),文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(2)由茎叶图知m= =80. 列联表如下:(3)由于K2的观测值k= =106.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,方法总结 1.独立性检验的方法 (1)根据样本数据作出22列联表. (2)根据公式K2= 计算K2的观测值k.(
18、3)查表比较k与临界值的大小关系,作出统计推断. 2.两个分类变量X和Y是否有关系的判断标准: 统计学研究表明: 当K22.706时,认为没有充分证据显示X与Y有关系; 当K23.841时,有95%的把握认为X与Y有关系; 当K26.635时,有99%的把握认为X与Y有关系; 当K210.828时,有99.9%的把握认为X与Y有关系.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,注意 独立性检验应注意以下两点:(1)在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系的表述,表示结论成立的概率的大小;(2)对判断结果进行描述时,注意对象的选取要准确无误,且结论应是对假设结果进行的含概率的判断.,文科数学
19、第十二章： 统计与统计案例,拓展变式2 2018郑州市第三次质量预测在2018年3月郑州市第二次模拟考试中,某校共有100名文科学生参加考试,其中语文考试成绩低于130的占95%,数学成绩的频率分布直方图如图所示.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(1)如果成绩不低于130的为特别优秀,这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人? (2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人. (i)从(1)中的这些同学中随机抽取2人,求这2人两科成绩都特别优秀的概率. (ii)根据以上数据,完成列联表,并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀.,文科数学 第十二
20、章： 统计与统计案例,参考数据:K2= ;,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,解析 (1)某校共有100名文科学生参加考试,其中语文考试成绩低于130的占95%,所以语文成绩特别优秀的概率p1=1-0.95=0.05,故语文成绩特别优秀的学生约有1000.05=5(人).由频率分布直方图可知,数学成绩特别优秀的概率p2=0.00220=0.04,故数学成绩特别优秀的学生约有1000.04=4(人). (2)(i)语文和数学两科都特别优秀的有3人,单科特别优秀的有3人, 记两科都特别优秀的3人分别为A1,A2,A3,单科特别优秀的3人分别为B1,B2,B3,从中随机抽取2人,所有可能结果为(
21、A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共15种, 其中这2人两科成绩都特别优秀的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3种, 所以,这2人两科成绩都特别优秀的概率P= = .,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(ii)22列联表如下: 因为K2= = 42.9826.635,所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,
