1、第四讲 圆锥曲线的综合应用,考情精解读,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,A考法帮题型全突破,考法1 与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题 考法2 与圆锥曲线有关的定点、定值问题 考法3 与圆锥曲线有关的存在性问题,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,C方法帮素养大提升 易错 求解圆锥曲线综合问题时忽视“相交”的限制,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,命题规律,1.命题分析预测 直线与圆锥曲线的综合应用问题(特别是一些经典问题,如:定值与定点、最值与取值范围、探索性问题)一直是高考热点问题.常常与向量、圆等知识交汇在一起命题,多以解答题形式出现,难
2、度较大. 2.学科核心素养 本讲通过圆锥曲线的综合应用考查考生的数学运算、逻辑推理素养,以及函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用.,聚焦核心素养,2.求曲线方程的基本步骤,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,B考法帮题型全突破,考法1 与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题 考法2 与圆锥曲线有关的定点、定值问题 考法3 与圆锥曲线有关的存在性问题,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法1 与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题,示例1 2017浙江,21,15分如图,已知抛物线x2=y,点A(- 1 2 , 1 4 ),B( 3 2 , 9 4 ),抛物线上的点P(x,y)(- 1 2
3、x 3 2 ). 过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. ()求直线AP斜率的取值范围; ()求|PA|PQ|的最大值.,思路分析,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 ()设直线AP的斜率为k,k= 2 1 4 + 1 2 =x- 1 2 , 因为- 1 2 x 3 2 ,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).()解法一 联立直线AP与BQ的方程,得 + 1 2 + 1 4 =0, + 9 4 3 2 =0, 解得点Q的横坐标是xQ= 2 +4+3 2( 2 +1) . 因为|PA|= 1+ 2 (x+ 1 2 )= 1+ 2 (k+1),|PQ|= 1+ k 2 (xQ-x)=- (1)
4、(+1 ) 2 2 +1 , 所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,令f(k)=-(k-1)(k+1)3, 因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2, 所以f(k)在区间(-1, 1 2 )上单调递增,( 1 2 ,1)上单调递减, 因此当k= 1 2 时,|PA|PQ|取得最大值 27 16 . 解法二 连接BP,则|AP|PQ|=|AP|PB|cosBPQ= ( - )= - 2 . 易知P(x,x2)(- 1 2 x 3 2 ), 则 =2x+1+2x2- 1 2 =2x2+2x+ 1 2 ,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程, 2 =(x+ 1
5、 2 )2+(x2- 1 4 )2=x2+x+ 1 4 +x4- 1 2 x2+ 1 16 =x4+ 1 2 x2+x+ 5 16 . 所以|AP|PQ|=-x4+ 3 2 x2+x+ 3 16 (- 1 2 x 3 2 ). 设f(x)=-x4+ 3 2 x2+x+ 3 16 (- 1 2 x 3 2 ), 则f(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2, 所以f(x)在(- 1 2 ,1)上为增函数,在(1, 3 2 )上为减函数, 所以f(x)max=f(1)= 27 16 .故|AP|PQ|的最大值为 27 16 .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结 1.圆锥曲线
6、中的最值问题的求解 (1)建立函数模型,利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值. (2)建立不等式模型,利用基本不等式求最值. (3)数形结合,利用相切、相交的几何性质求最值. 2.圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法 (1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解. (2)不等式法:根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求参数取值范围. (3)判别式法:建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式求参数的取值范围. (4)数形结合法:研究该参数所表示的几何意义,利用数形结合思想求解.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式1 2019辽宁五校联考如
7、图,已知离心率为 2 2 的椭圆C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)经过点A(-2,0),斜率为k(k0)的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点E,点P为线段AB的中点. (1)求椭圆C的方程; (2)若点E关于x轴的对称点为H,过点E且与OP垂直的直线交直线AH于点M,求MAP面积的最大值.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 (1)由已知得 2 = 2 + 2 , = = 2 2 , 4 2 + 0 2 =1, 解得 =2, = 2 , 所以椭圆C的方程为 2 4 + 2 2 =1. (2)椭圆C的左顶点A(-2,0),设l的方程:y=k(x+2), 则E(0,2k),H(0,-2
8、k), 由 2 4 + 2 2 =1, =(+2), 得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-4=0, =64k4-4(2k2+1)(8k2-4)=160. 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,则x1+x2=- 8 2 2 2 +1 ,x1x2= 8 2 4 2 2 +1 , 则x0= 1 2 (x1+x2)=- 4 2 2 2 +1 ,y0=k(x0+2)=k(- 4 2 2 2 +1 +2)= 2 2 2 +1 , kOP= 0 0 =- 2 4 2 =- 1 2 , 直线EM的斜率kEM=- 1 =2k, 所以直线EM的方程为y=2k
9、x+2k,即y=2k(x+1), 直线AH的方程为y=-k(x+2), 所以点M(- 4 3 ,- 2 3 k), 点M(- 4 3 ,- 2 3 k)到直线l:kx-y+2k=0的距离d= | 4 3 + 2 3 +2| 2 +1 = | 4 3 | 2 +1 ,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,|AB|= 1+ 2 |x1-x2|= 1+ 2 ( 1 + 2 ) 2 4 1 2 = 4 1+ 2 2 2 +1 , |AP|= 1 2 |AB|= 2 1+ 2 2 2 +1 , MAP的面积S= 1 2 |AP|d= 1 2 2 1+ 2 2 2 +1 | 4 3 k| 2 +1 = 4 3
10、 |k| 2 2 +1 = 4 3 2|+ 1 | 4 3 2 2 = 2 3 ,当且仅当|k|= 2 2 时取等号. 所以MAP面积的最大值为 2 3 .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法2 与圆锥曲线有关的定点、定值问题,1.与圆锥曲线有关的定点问题示例2 2018湖北武汉部分重点中学联考过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)若A关于x轴的对称点为D,求证:直线BD过定点,并求出该点的坐标.,解析 (1)由y2=4x知焦点F的坐标为(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1), 代入抛物线方程y2=4x
11、,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 由题意知k0,(若k=0,则直线即x轴,与抛物线只有一个交点) 且=-(2k2+4)2-4k2k2=16(k2+1)0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= 2 2 +4 2 ,x1x2=1. 由抛物线的弦长公式知|AB|=x1+x2+2=8,则 2 2 +4 2 =6,(由抛物线的弦长公式建立关于k的等式) 即k2=1,解得k=1. 所以直线l的方程为y=(x-1).,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,(2)由(1)及抛物线的对称性知,点D的坐标为(x1,-y1), 直线BD的斜率kBD= 2 + 1 2 1 = 2 + 1 2
12、2 4 1 2 4 = 4 2 1 ,(用“点差法”求斜率) 所以直线BD的方程为y+y1= 4 2 1 (x-x1),即(y2-y1)y+y2y1- 1 2 =4x-4x1. 因为 1 2 =4x1, 2 2 =4x2,x1x2=1,所以(y1y2)2=16x1x2=16, 即y1y2=-4(y1,y2异号).(点A,B在x轴两侧) 所以直线BD的方程为4(x+1)+(y1-y2)y=0, 对任意y1,y2R,有 +1=0, =0, (直线过定点的基本解题“套路”) 解得 =1, =0, 即直线BD恒过点(-1,0).,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结 求解定点问题常用的方法 (1
13、)“特殊探路,一般证明”,即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目标的一般性证明; (2)“一般推理,特殊求解”,选择一个参数建立方程,一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量,将变量x,y当成常数,将原方程转化为kf(x,y)+g(x,y)=0的形式;根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立),得到方程组 (,)=0, (,)=0; 以中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点,若定点具备一定的限制条件,可以特殊解决. (3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)来证明.,文科数学 第十章：圆锥曲线与
14、方程,2.与圆锥曲线有关的定值问题 示例3 已知点M是椭圆C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且|F1F2|=4,F1MF2=60,F1MF2的面积为 4 3 3 . (1)求椭圆C的方程; (2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于异于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,思维导引,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 (1)在F1MF2中,由 1 2 |MF1|MF2|sin 60= 4 3 3 ,得|MF1|MF2|= 16 3 . 由余弦定理,得
15、|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|MF2|cos 60=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1|MF2|(1+cos 60), 解得|MF1|+|MF2|=4 2 . 从而2a=|MF1|+|MF2|=4 2 ,即a=2 2 . 由|F1F2|=4得c=2,从而b=2, 故椭圆C的方程为 2 8 + 2 4 =1. 故以PQ为直径的圆过定点(1,0)和(7,0).,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,(2)当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则其方程为 y+2=k(x+1), (对直线l的斜率是否存在进行讨论) 由 2 8 + 2 4 =1, +2=(+1), 得(1+2k
16、2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- 4(2) 1+2 2 ,x1x2= 2 2 8 1+2 2 . 从而k1+k2= 1 2 1 + 2 2 2 = 2 1 2 +(4)( 1 + 2 ) 1 2 =2k-(k-4) 4(2) 2 2 8 =4.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,当直线l的斜率不存在时,可得A(-1, 14 2 ),B(-1,- 14 2 ),得k1+k2=4. 综上,k1+k2为定值.点评 本题的突破口是设出A,B两点坐标,利用消参后的方程得出两根之和、两根之积,并整理斜率之和的表达式,化简后即可得到结果.
17、注意讨论直线的斜率不存在的情况.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结 求圆锥曲线中定值问题常用的方法,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式2 已知椭圆C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F2(1,0),点B(1, 3 2 )在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)若直线l:y=k(x-4)(k0)与椭圆C由左至右依次交于 M,N两点,已知直线A1M与A2N相交于点G,证明:点G在定直线上,并求出定直线的方程.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,(1)由右焦点为F2(1,0),知c=1. 由题意知 1 2 + 9 4 2 =1, 2 =
18、 2 +1, 解得 =2, = 3 , 所以椭圆C的方程为 2 4 + 2 3 =1. (2)由直线l的方程为y=k(x-4)知,直线l过定点(4,0), 由椭圆的对称性知,点G在直线x=x0(x0R)上. 当直线l过椭圆C的上顶点时,M(0, 3 ),此时直线l的斜率k=- 3 4 , 由 = 3 4 (4), 2 4 + 2 3 =1, 解得 =0, = 3 或 = 8 5 , = 3 3 5 , 所以N( 8 5 , 3 3 5 ). 由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,所以直线 1 :y= 3 2 (x+2),直线 2 :y=- 3 3 2 (
19、x-2), 故G(1, 3 3 2 ),可知点G在定直线x=1上. 当直线l不过椭圆C的上顶点时,设M(x1,y1),N(x2,y2), 由 =(4), 2 4 + 2 3 =1, 消去y并整理,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0, 则=(-32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)0, 解得- 1 2 k 1 2 , x1+x2= 32 2 3+4 2 ,x1x2= 64 2 12 3+4 2 , 直线 1 的方程为y= 1 1 +2 (x+2), 直线 2 的方程为y= 2 2 2 (x-2),文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,当x=1时,由 3 1 1 +2 =
20、2 2 2 ,得2x1x2-5(x1+x2)+8=0, 而 2(64 2 12) 3+4 2 - 532 2 3+4 2 + 8(3+4 2 ) 3+4 2 =0显然成立, 所以点G在定直线x=1上. 综上所述,点G在定直线x=1上.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法3 与圆锥曲线有关的存在性问题,示例4 2019昆明市调研测试已知椭圆C:x2+2y2=a2(a0),过原点O且斜率不为0的直线与椭圆C交于P,Q两点. (1)若F(1,0)为椭圆C的一个焦点,求椭圆C的标准方程; (2)若经过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时直线OP
21、的方程;若不能,请说明理由.,思维导引 (1)结合题意,利用a,b,c间的关系解方程求得a,进而得所求;(2)根据题意设出直线l的方程为x=my+ 2 2 a,联立直线l的方程与椭圆的方程,消元,利用根与系数的关系和向量间的关系表示出点P的横、纵坐标,再根据点P在椭圆上即可求出m的值,进而得直线OP的方程.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 (1)因为F(1,0)为椭圆C的一个焦点,所以a2- 2 2 =1,得a= 2 , 所以椭圆C的标准方程为 2 2 +y2=1. (2)设椭圆C的右焦点为F1,则F1( 2 2 a,0). 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 当
22、直线l为x轴时,A,O,B三点共线,四边形OAPB不存在, 故可设直线l的方程为x=my+ 2 2 a, 由 =+ 2 2 , 2 +2 2 = 2 , 得(m2+2)y2+ 2 amy- 2 2 =0, 显然0,则y1+y2=- 2 2 +2 .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,若四边形OAPB为平行四边形,则 = + , 即y0=y1+y2=- 2 2 +2 ,x0=x1+x2=m(y1+y2)+ 2 a= 2 2 2 +2 . 因为点P在C上,所以 0 2 +2 0 2 =a2, 即 8 2 ( 2 +2 ) 2 + 4 2 2 ( 2 +2 ) 2 =a2,化简得m4=4,m= 2
23、. 综上,四边形OAPB能为平行四边形, 此时kOP= 0 0 =- 2 = 2 2 , 直线OP的方程为y= 2 2 x,即x 2 y=0.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,技巧点拨有关存在性问题的求解策略 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定的问题明朗化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法. (3)解决存在性问题时要注意解题的规范性,一般先作出结论,后给出证明(理由).
24、 注意 当条件和结论不唯一时要分类讨论.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式4 2019惠州高三摸底考试已知椭圆C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的离心率为 2 2 ,且椭圆C过点( 3 ,- 2 2 ).过点(1,0)作两条相互垂直的直线l1,l2,分别与椭圆C交于P,Q,M,N四点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若 = , = ,探究:直线ST是否过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 (1)由题意知, 3 2 + 1 2 2 =1, 2 = 2 + 2 , = 2 2 , 解得 =2, = 2 , = 2 , 故椭圆
25、C的方程为 2 4 + 2 2 =1. (2) = , = ,S,T分别为MN,PQ的中点.当两直线的斜率都存在且不为0时,设直线l1的方程为y=k(x-1), 则直线l2的方程为y=- 1 (x-1), 设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),联立,得 2 4 + 2 2 =1, =(1), 得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,=24k2+160, x1+x2= 4 2 2 2 +1 ,x1x2= 2 2 4 2 2 +1 , PQ中点T的坐标为( 2 2 2 2 +1 , 2 2 +1 ). 同理,MN中点S的
26、坐标为( 2 2 +2 , 2 +2 ),kST= 3 2( 2 1) , 直线ST的方程为y+ 2 2 +1 = 3 2( 2 1) (x- 2 2 2 2 +1 ), 即y= 3 2( 2 1) (x- 2 3 ),直线ST过定点( 2 3 ,0). 当两直线的斜率分别为0和不存在时,直线ST的方程为y=0,也过点( 2 3 ,0). 综上所述,直线ST过定点( 2 3 ,0).,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,C方法帮素养大提升,易错 求解圆锥曲线综合问题时忽视“相交”的限制,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,易混易错,示例5 2019江西南昌一中模拟已知椭圆C: 2 2 + 2 2
27、=1(ab0)的离心率为 3 2 ,短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOMkON= 5 4 ,求原点O到直线l的距离的取值范围.,易错分析 解本题容易出现的问题是忽略斜率不存在,即直线与圆相切的情况,而导致错误.,解析 (1)由题意知e= = 3 2 ,2b=2,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2, 所以椭圆C的标准方程为 2 4 +y2=1.(由条件可直接求出a,b的值,得到椭圆的标准方程) (2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 由 =+, 2 4 + 2 =1, 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2
28、-4=0.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,则=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,化简得m20) x1+x2=- 8 4 2 +1 ,x1x2= 4 2 4 4 2 +1 ,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2, 若kOMkON= 5 4 ,则 1 2 1 2 = 5 4 ,即4y1y2=5x1x2,所以4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,则(4k2-5)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0, 所以(4k2-5) 4( 2 1) 4 2 +1 +4km(- 8 4 2 +1 )+4m2=0,化简得m2+k2= 5 4 . (由kOMkON= 5 4 得到m,k间的等量关系),文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,由 得0m2 6 5 , 1 20 k2 5 4 .(分别求出参数m,k的范围) 因为原点O到直线l的距离d= | 1+ 2 ,所以d2= 2 1+ 2 = 5 4 2 1+ 2 =-1+ 9 4(1+ 2 ) , 又 1 20 k2 5 4 ,所以0d2 8 7 ,解得0d 2 14 7 .(由参数k的取值范围求出距离d的取值范围) 所以原点O到直线l的距离的取值范围为0, 2 14 7 ).,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,
