1、第一讲 椭 圆,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,考点1 椭圆的定义和标准方程 考点2 椭圆的几何性质,聚焦核心素养,考法1 椭圆定义的应用 考法2 椭圆的标准方程 考法3 椭圆的几何性质 考法4 直线与椭圆的位置关系 考法5 弦长与弦中点问题,B考法帮题型全突破,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,命题规律,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的命题热点,其中标准方程和几何性质考查比较频繁;直线与椭圆的位置关系常与
2、向量、圆、三角形等知识综合考查,多以解答题的形式出现,难度中等偏上. 2.学科核心素养 本讲主要考查考生的数学运算、直观想象素养及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 椭圆的定义及标准方程 考点2 椭圆的简单几何性质,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,1.定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 集合语言:P=M|MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|,|F1F2|=2c,其中ac0,且a,c为常数.,考点1 椭圆的定义和标准方程（重点
3、）,注意 若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是线段F1F2;若2a|F1F2|,则动点的轨迹不存在.,2.标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 2 2 + 2 2 =1(ab0); (2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 2 2 + 2 2 =1(ab0).,名师提醒 焦点位置的判断焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大;焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考点2 椭圆的几何性质（重点）,1.椭圆的几何性质,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,B考法帮题型全突破,考法1 椭圆定义的应用 考法2 椭圆的标准方程 考法3
4、 椭圆的几何性质 考法4 直线与椭圆的位置关系 考法5 弦长与弦中点问题,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,示例1 （1）已知ABC的顶点B,C在椭圆 2 3 +y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是 A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 (2)若F1,F2是椭圆 2 9 + 2 7 =1的两个焦点,A为椭圆上一点,且AF1F2=45,则AF1F2的面积为 A.7 B. 7 4 C. 7 2 D. 7 5 2,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 （1）由椭圆的方程得a= 3 .设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|C
5、A|+|CF|=2a,所以ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=4 3 . (2)由题意得a=3,b= 7 ,c= 2 , |F1F2|=2 2 ,|AF1|+|AF2|=6. |AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|F1F2|cos 45=|AF1|2+8-4|AF1|, (6-|AF1|)2=|AF1|2+8-4|AF1|,解得|AF1|= 7 2 . AF1F2的面积S= 1 2 2 2 7 2 2 2 = 7 2 . 答案 （1）C （2） C,理科数学 第十
6、章：圆锥曲线与方程,感悟升华 （1）椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为 2 2 ,通径是最短的焦点弦. （2）P是椭圆上一点,F为椭圆的焦点,则|PF|a-c,a+c,即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a-c. （3）椭圆的焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,如图10-1-1所示,设F1PF2=. 当P为短轴端点时,最大. 1 2 = 1 2 |PF1|PF2|sin =b2 sin 1+cos =b2tan 2 =c|y0|,当|y0|=b,即P为短轴端点时, 1 2 取最大值,最大值为bc.
7、 焦点三角形的周长为2(a+c).,图10-1-1,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.椭圆定义应用的类型及方法,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式1 (1)已知椭圆C: 2 4 + 2 3 =1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=( ) A.4 B.8 C.12 D.16 (2)已知F1,F2是椭圆C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且 1 2 .若PF1F2的面积为9,则b=.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 (1)B 设MN的中点为D,椭圆
8、C的左、右焦点分别为F1,F2,如图D 10-1-1,连接DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是MAN的中位线,则|DF1|= 1 2 |AN|,同理可得|DF2|= 1 2 |BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|).因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.故选B. (2)3 由题意知|PF1|+|PF2|=2a, 1 2 , 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2, 所以2|PF1|PF2|=4a2-4c2=4
9、b2, 所以|PF1|PF2|=2b2, 所以 1 2 = 1 2 |PF1|PF2|= 1 2 2b2=b2=9, 所以b=3.,图D 10-1-1,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法2 求椭圆的标准方程,示例2 过点( 3 ,- 5 ),且与椭圆 2 25 + 2 9 =1有相同焦点的椭圆的标准方程为 A. 2 20 + 2 4 =1 B. 2 2 5 + 2 4 =1 C. 2 20 + 2 4 =1 D. 2 4 + 2 2 5 =1,思维导引,作判断,设方程,找关系,定结果,解析 解法一 (定义法)椭圆 2 25 + 2 9 =1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4. 由椭
10、圆的定义知,2a= ( 3 0 ) 2 +( 5 +4 ) 2 + ( 3 0 ) 2 +( 5 4 ) 2 , 解得a=2 5 . 由c2=a2-b2,可得b2=4. 所以所求椭圆的标准方程为 2 20 + 2 4 =1.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解法二 (待定系数法)设所求椭圆方程为 2 25 + 2 9 =1(k9),将点( 3 ,- 5 )的坐标代入,可得 ( 5 ) 2 25 + ( 3 ) 2 9 =1,解得k=5或k=21(舍去),所以所求椭圆的标准方程为 2 20 + 2 4 =1.答案 C,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结 1.用定义法求椭圆的标准方程 先
11、根据椭圆的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置求出椭圆的方程.其中常用的关系有: (1)b2=a2-c2; (2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a;(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a. 2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,注意 1.当椭圆焦点位置不明确时,有两种解决方法:(1)分类讨论;(2)设椭圆方程为 2 + 2 =1(m0,n0,且mn)或Ax2+By2=1(A0,B0,且AB). 2.与椭圆 2 2 + 2 2 =1共焦点的椭圆方程可设为 2 2 +k + 2 2 +k =1(k-m2,k-n2). 3.与椭圆 2 2
12、 + 2 2 =1(ab0)有相同离心率的椭圆方程可设为 2 2 + 2 2 =k1(k10,焦点在x轴上)或 2 2 + 2 2 =k2(k20,焦点在y轴上).,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式2 2014大纲全国,6,5分理已知椭圆C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为 3 3 ,过F2的直线l交C于A,B两点.若AF1B的周长为4 3 ,则C的方程为 A. 2 3 + 2 2 =1 B. 2 3 +y2=1 C. 2 12 + 2 8 =1 D. 2 12 + 2 4 =1 (2)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆
13、的标准方程为( ) A. 2 5 +y2=1 B. 2 5 + 2 4 =1 C. 2 5 +y2=1或 2 5 + 2 4 =1 D.以上答案都不对,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 2.(1)A 由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4 3 ,即4a=4 3 ,解得a= 3 .又e= 3 3 ,c=1.b2=a2-c2=2,C的方程为 2 3 + 2 2 =1.故选A. (2)C 直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0), 由题意知,当焦点在x轴上时,c=2,b=1
14、, 所以a2=5,故所求椭圆的标准方程为 2 5 +y2=1; 当焦点在y轴上时,b=2,c=1, 所以a2=5,故所求椭圆的标准方程为 2 5 + 2 4 =1.故选C.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法3 椭圆的几何性质,示例3 2017全国卷,11,5分文已知椭圆C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 (2)2017全国卷,12,5分设A,B是椭圆C: 2 3 + 2 =1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,
15、则m的取值范围是 A.(0,19,+) B.(0, 3 9,+) C.(0,14,+) D.(0, 3 4,+),思维导引 (1)根据已知求出圆的方程,根据直线与圆相切列等式,结合a2=b2+c2求出离心率;(2)焦点位置不确定,分情况讨论.解析 (1)以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,由原点到直线bx-ay+2ab=0的距离d= 2 2 + 2 =a,得a2=3b2,所以C的离心率e= 1 2 2 = 6 3 . (2)依题意得 3 tan 2 , 03, 所以 3 tan60, 03, 解得0m1或m9. 答案 (1)A (2)A,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结
16、 1.求椭圆离心率或其范围的方法 (1)求出a,b或a,c的值,代入e2= 2 2 = 2 2 2 =1-( )2直接求; (2)根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围); (3)通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形. (2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及
17、一些不等式.例如,-axa,-byb,0e1,三角形两边之和大于第三边,在求椭圆相关量的范围或最值时,要注意应用这些不等关系. 注意：在解关于椭圆的离心率e的二次方程时,要注意根据椭圆的离心率e(0,1)进行根的取舍,否则将产生增根.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式3 设A1,A2分别为椭圆 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得 1 2 - 1 2 ,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A.(0, 1 2 ) B.(0, 2 2 ) C.( 2 2 ,1) D.( 1 2 ,1),文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 由题意知,椭圆 2 2 +
18、 2 2 =1(ab0)的左、右顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),设P(x0,y0),则 1 2 = 0 2 0 2 2 - 1 2 . 0 2 2 + 0 2 2 =1,a2- 0 2 = 2 0 2 2 , 2 2 2 2 ,又e1,故 2 2 e1,选C. 答案 C,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法4 直线与椭圆的位置关系,示例4 已知对kR,直线y-kx-1=0与椭圆 2 5 + 2 =1恒有公共点,则实数m的取值范围为 .,思维导引 思路一 将直线方程和椭圆方程联立,得一元二次方程组将直线与椭圆恒有公共点,转化为一元二次方程 恒有解的问题利用判别式0求解m的取值范围
19、思路二 由直线系方程得到直线所过的定点(0,1)由直线和椭圆恒有公共点可得,定点在椭圆上或在椭圆内得到关于参数m的不等式,解不等式求出m的取值范围,解析 解法一 由椭圆方程,可知m0,且m5, 将直线与椭圆的方程联立,得 1=0, 2 5 + 2 =1, 整理,得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0. 因为直线与椭圆恒有公共点,故=(10k)2-4(5k2+m)5(1-m)=20(5k2m-m+m2)0.因为m0,所以不等式等价于5k2-1+m0,即k2 1 5 ,由题意,可知不等式恒成立,则 1 5 0,解得m1. 综上m的取值范围为m1且m5.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,
20、解法二 因为直线y-kx-1=0过定点P(0,1), 要使直线和椭圆恒有公共点,则该点在椭圆上或椭圆内,即 0 2 5 + 1 2 1,整理,得 1 1,解得m1. 又方程 2 5 + 2 =1表示椭圆,所以m0且m5. 综上m的取值范围为m1且m5.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结 1.研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. 如把椭圆方程 2 2 + 2 2 =1与直线方程y=kx+m联立消去y,整理成Ax2+Bx+C=0的形式(这里的系数A一定不为零),设其判别式为. 0有两个交点相交; =0有一个交
21、点相切; 0无交点相离. (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系 (1)点P(x0,y0)在椭圆内 0 2 2 + 0 2 2 1.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式4 已知直线l:y=2x+m,椭圆C: 2 4 + 2 2 =1,试问,当m取何值时,直线l与椭圆C (1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 由 =2+, 2 4 + 2 2 =1, 得9x2+8mx+2m2-4=0. 其中=(8m
22、)2-49(2m2-4)=-8m2+144. (1)由0,得-3 2 3 2 ,此时直线与椭圆C没有公共点.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法5 弦长与弦中点问题,1.弦长问题 示例5 2019河北省六校联考已知椭圆E: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的焦距为2c,且b= 3 c,圆O:x2+y2=r2(r0)与x轴交于点M,N,P为椭圆E上的动点,|PM|+|PN|=2a,PMN面积的最大值为 3 . (1)求圆O与椭圆E的方程; (2)圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围.,思维导引 (1)由题意,结合几何关系即可求得a,b,c的值从而求出圆O的方程及椭圆E的方程
23、 (2)当直线l的斜率不存在时,计算出|AB|当直线l的斜率存在时,设出直线l的方程,利用圆心到直线l的距离等于半径可得m2=1+k2联立直线与椭圆方程可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由弦长公式表示出|AB|利用换元法及二次函数的性质可得|AB|的取值范围,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 (1)因为b= 3 c,所以a=2c. 因为|PM|+|PN|=2a,所以点M,N为椭圆的焦点,所以r2=c2= 1 4 a2. 设P(x0,y0),则-by0b,所以SPMN=r|y0|= 1 2 a|y0|, 当|y0|=b时,(SPMN)max= 1 2 ab= 3 , 所以
24、c=1,b= 3 ,a=2. 所以圆O的方程为x2+y2=1,椭圆E的方程为 2 4 + 2 3 =1. (2)当直线l的斜率不存在时,不妨取直线l的方程为x=1,则可取A(1, 3 2 ),B(1,- 3 2 ),|AB|=3. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m), 因为直线l与圆O相切,所以 1+k2 =1,即m2=1+k2, 联立得,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,联立得 2 4 + 2 3 =1, y=kx+m, 消去y可得(4k2+3)x2+8kmx+4m212=0, =64k2m24(4k2+3)(4m212) =4
25、8(4k2+3m2) =48(3k2+2)0, x1+x2= 8 42+3 ,x1x2= 412 42+3 |AB|= 1+k2 (1+2)2412 =4 3 1+k2 42+32 42+3 = 4 3 (1+k2)(2+3k2) 42+3,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,= 4 3 k2+ 3 4 + 1 4 3 3 4 +k2 1 4 42+3 = 3 1 16 1 ( 3 4 +k2)2 + 1 2 1 3 4 +k2 +3 令t= 1 3 4 +k2 ,则0t 4 3 ,所以|AB|= 3 1 16 2+ 1 2 +3 ,0t 4 3 , 所以|AB
26、|= 3 1 16 (4)2+4 ,所以3|AB| 4 6 3 . 综上,|AB|的取值范围是3, 4 6 3 .,方法总结 求解直线被椭圆截得弦长的方法 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|= x1+x2 2(y1y2)2 = 1+k2 | x1x2 |= 1+ 1 k2 | y1y2 |(k0). (3)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长:若M(x0,y0)是椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(a0)上一点,则左焦半径r1=a+ex0,右
27、焦半径r2=a-ex0.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.弦中点问题示例6已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 =1(a0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为A. x2 45 + y2 36 =1 B. x2 36 + y2 27 =1C. x2 27 + y2 18 =1 D. x2 18 + y2 9 =1,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得 x12 a2 + y12 b2 =1 ， x22 a2 + y22 b2 =1 ， 得x12x22 a2 + y12
28、y22 b2 =0, x1+x2 a2 + y1y2 x1x2 y1+y2 b2 =0 x1+x2=2,y1+y2=-2,kAB= 10 13 = 1 2 , 2 2 + 1 2 2 2 =0,即a2=2b2. 又c=3= 2 2 ,a2=18,b2=9. 椭圆E的方程为 2 18 + 2 9 =1. 答案 D,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结1.对于弦中点问题,常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在用根与系数的关系时,要注意前提条件0;在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交. 2.用“点差法”求解弦中点问题的步骤 已知直线y=kx+b(k0)与椭圆的相交弦AB,弦AB中
29、点为M(x0,y0). (1)设弦的两端点坐标:A(x1,y1),B(x2,y2). (2)代入椭圆方程: 1 2 2 + 1 2 2 =1 , 2 2 2 + 2 2 2 =1 . (3)两式作差,用平方差公式展开: ( 1 + 2 )( 1 2 ) 2 + ( 1 + 2 )( 1 2 ) 2 =0. (4)转化为斜率与中点坐标的关系式: 2 0 ( 1 2 ) 2 =- 2 0 ( 1 2 ) 2 ,即kAB=- 2 2 0 0 . (5)结合条件求解. 3.椭圆 2 2 + 2 2 =1(ab0)以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率为k=- 2 0 2 0 .,文科数学
30、 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式5 已知椭圆C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,离心率为 2 2 ,点B是椭圆上的动点,ABF1面积的最大值为 2 1 2 . (1)求椭圆C的方程; (2)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N,线段MN的中垂线为l,若直线l与直线l相交于点P,与直线x=2相交于点Q,求 | | 的最小值.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 (1)由已知得e= = 2 2 ,即a2=2c2,由a2=b2+c2,得b=c. 设点B的纵坐标为y0(y00),则 1 = 1 2 (a-c)|y0| 1 2 (a-c)
31、b= 2 1 2 ,即( 2 b-b)b= 2 -1,解得b=1,所以a= 2 , 故椭圆C的方程为 2 2 +y2=1. (2)由题意知直线l的斜率不为0,可设直线l:x=my-1, 设M(x1,y1),N(x2,y2),P(xP,yP),Q(2,yQ). 由 =1, 2 2 + 2 =1, 消去x并整理,得(m2+2)y2-2my-1=0. 此时=(-2m)2-4(m2+2)(-1)=8(m2+1)0, y1+y2= 2 2 +2 ,y1y2=- 1 2 +2 .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,由弦长公式,得|MN|= 1+ 2 |y1-y2|= 1+ 2 4 2 +4 2 +8 2 +2 =2 2 2 +1 2 +2 . 又yP= 1 + 2 2 = 2 +2 ,所以xP=myP-1=- 2 2 +2 , 所以|PQ|= 1+ 2 |xP-2|= 1+ 2 2 2 +6 2 +2 , 于是 | | = 2 2 +6 2 2 2 +1 = 2 2 2 +3 2 +1 = 2 2 ( 2 +1 + 2 2 +1 )2, 当且仅当 2 +1 = 2 2 +1 ,即m=1时等号成立. 所以当m=1,即直线l的斜率为1时, | | 取得最小值,最小值为2.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,
