1、8.7 空间几何中的向量方法,-2-,知识梳理,考点自测,1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线l上的非零向量e以及与 的非零向量叫做直线l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线 平面,那么称向量n垂直于平面,记作 .此时把 叫做平面的法向量.,e共线,垂直于,n,向量n,-3-,知识梳理,考点自测,2.线面关系的判定 设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面的法向量为n2=(x2,y2,z2). (1)若l1l2,则e1e2 . (2)若 l1l2,则e1e2 .
2、(3)若l1,则e1n1e1n1=0 . (4)若l1,则e1n1e1=kn1 . (5)若,则n1n2n1=kn2 . (6)若,则n1n2n1n2=0 .,e2=e1,a2=a1,b2=b1,c2=c1,e1e2=0,a1a2+b1b2+c1c2=0,a1x1+b1y1+c1z1=0,a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1,x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2,x1x2+y1y2+z1z2=0,-4-,知识梳理,考点自测,3.利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 范围:两条异面直线所成的角的取值范围是 . 向量求法:设异面直线a,b的方向向量为a,b,直线a与b的夹角为,
3、a与b的夹角为,则有cos = . (2)直线与平面所成的角 范围:直线与平面所成的角的取值范围是 . 向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线l与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有sin = 或cos =sin .,|cos |,|cos |,-5-,知识梳理,考点自测,(3)二面角 范围:二面角的取值范围是 . 向量求法: 若AB,CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图). 设n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则图中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图中向量n1与n2的夹角的大
4、小就是二面角的平面角的大小.,0,-6-,知识梳理,考点自测,4.利用空间向量求距离 (1)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离为 (2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.,-7-,知识梳理,考点自测,-8-,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.( ) (4)若空间向量a垂直于平面,则a所在直线与平面垂直.( ) (5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成
5、的角.( ) (6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面的法向量,若cos = ,则直线l与平面所成的角为120.( ) (7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45.( ),-9-,知识梳理,考点自测,2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内,B,-10-,知识梳理,考点自测,-11-,知识梳理,考点自测,3.(2018湖南长沙三模,8)如图,在所有棱长均为a
6、的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BB1,A1C1的中点,则异面直线AD,CE所成角的余弦值为( ),C,-12-,知识梳理,考点自测,-13-,知识梳理,考点自测,4.(2018黑龙江海林一模,7)在矩形ABCD中,AB=1,BC= 2 ,P为平面ABCD外一点,若PA平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是( ) A.30 B.45 C.60 D.90,A,-14-,知识梳理,考点自测,5.已知P是二面角-AB-棱上的一点,分别在平面,上引射线PM,PN,如果BPM=BPN=45,MPN=60,那么二面角-AB-的大小为 .,90,-15-,考点一,考点二,考点三
7、,考点四,利用空间向量证明平行、垂直,例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30.求证:(1)CM平面PAD; (2)平面PAB平面PAD.,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,证明: 以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角. PBC=30.,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,-18-,考点一,考点二,考点三,考点四,-
8、19-,考点一,考点二,考点三,考点四,思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法? 解题心得1.用向量证明平行的方法 (1)线线平行:证明两直线的方向向量共线. (2)线面平行:证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行. (3)面面平行:证明两平面的法向量为共线向量;转化为线面平行、线线平行问题. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. (2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练1
9、如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN平面A1B1C1; (2)平面MBC1平面BB1C1C.,-21-,考点一,考点二,考点三,考点四,证明: 由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1). (1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1底面A1B1C1.,-22-
10、,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1). 因为n1n2=20+11+(-1)1=0,所以n1n2,所以平面MBC1平面BB1C1C.,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,用向量法求空间角(多考向) 考向1 求异面直线所成的角 例2(2018江西上饶三模,10)已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AB=AA1=2,则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为( )思考如何利
11、用向量法求异面直线所成的角?,C,-24-,考点一,考点二,考点三,考点四,解析:以A为原点,在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴,以AC为y轴,以AA1为z轴,建立空间直角坐标系, 正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长为2,-25-,考点一,考点二,考点三,考点四,考向2 求直线与平面所成的角 例3(2018浙江高考)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2. (1)证明:AB1平面A1B1C1; (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 思考如何利用向量法求直线与平面所成的角?,
12、-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,-27-,考点一,考点二,考点三,考点四,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,(方法二) (1)证明 如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,-30-,考点一,考点二,考点三,考点四,考向3 求二面角的大小 例4(2018湖南长沙一中七模,19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知四边形ABB1A1是菱形,AB1与A1B交于点O,且ABB1=60,AB=BC=2,CA=CB1,CACB1. (1)连接CO,证明:直线CO平面ABB1. (2
13、)求平面AB1C和平面A1B1C1所成的角(锐角)的余弦值.,-31-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明 因为平行四边形ABB1A1是菱形,所以BA1AB1,且O是AB1的中点. 又因为CA=CB1,CACB1, 所以COAB1且AO=CO. 又因为BA=BC,BO为公共边, 所以BOCBOA,所以BOC=BOA,故OCOB,从而OA,OB,OC两两垂直,所以CO平面ABB1.,-32-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)解 由(1)可知,以O为坐标原点,OB,OB1,OC所在直线分别为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,-33-,考点一,考点二,考点三,考点四,思考如
14、何利用向量法求二面角? 解题心得(1)利用向量法求异面直线所成的角时,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异面直线所成角的范围是 两向量的夹角的范围是0,所以要注意二者的区别与联系,应有cos =|cos |. (2)利用向量法求线面角的方法 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角); 通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.,-34-,考点一,考点二,考点三,考点四,(3)利用空间向量求二面角的方法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向
15、量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小; 通过平面的法向量来求,即设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于(或-).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.,-35-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练2(1)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,-36-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2018江苏盐城中学仿真模拟)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA平面ABCD,且PA=AD=2,点M,N分别在P
16、D,PC上,PM=MD.求证:PC平面AMN; 求二面角B-AN-M的余弦值.,-37-,考点一,考点二,考点三,考点四,-38-,考点一,考点二,考点三,考点四,-39-,考点一,考点二,考点三,考点四,-40-,考点一,考点二,考点三,考点四,求空间距离 例5,-41-,考点一,考点二,考点三,考点四,-42-,考点一,考点二,考点三,考点四,-43-,考点一,考点二,考点三,考点四,思考如何用向量求解空间距离问题?,解题心得利用空间向量求距离的基本方法: (1)两点间的距离 设点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则(2)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面的一条斜线段
17、,n为平面的法向量,则B到平面的距离为,-44-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练3在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( ),A,-45-,考点一,考点二,考点三,考点四,-46-,考点一,考点二,考点三,考点四,用向量方法求解存在性问题 例6(2018河南一模,18)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ABCD,BAD=90,DC=DA=2AB=2 ,点E为AD的中点,BDCE=H,PH平面ABCD,且PH=4. (1)求证:PCBD; (2)线段PC上是否存在一点F,使二面角B-DF-C的余弦值是 ?
18、若存在,请找出点F的位置;若不存在,请说明理由.,-47-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明 ABCD,BAD=90, EDC=BAD=90. DC=DA=2AB,E为AD的中点, AB=ED,BADEDC, DBA=DEH. DBA+ADB=90, DEH+ADB=90,BDEC. 又PH平面ABCD,BD平面ABCD,BDPH. 又PHEC=H,且PH,EC平面PEC,BD平面PEC. 又PC平面PEC,PCBD.,-48-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)解 由(1)可知DHEDAB,EH=1,HC=4,DH=2,HB=3, PH、EC、BD两两垂直, 建立以H为坐标原点
19、,HB、HC、HP所在直线分别为x,y,z轴的坐标系,H(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,4). 假设线段PC上存在一点F满足题意.,-49-,考点一,考点二,考点三,考点四,-50-,考点一,考点二,考点三,考点四,思考用向量法求解存在性问题的基本思路是什么? 解题心得对于“是否存在”型问题的解答方式有两种:一种是根据条件作出判断,再进一步论证;另一种是利用空间向量,假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据假设和已知条件进行计算求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.,-51-,考点一,考点二,考
20、点三,考点四,对点训练4(2018江西南昌一模,19)等边三角形ABC的边长为3,点D、E分别是边AB、AC上的点,且满足 (如图1).将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使二面角A1-DE-B为直二面角,连接A1B、A1C(如图2).(1)求证:A1D平面BCED; (2)在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60?若存在,求出线段PB的长;若不存在,请说明理由.,-52-,考点一,考点二,考点三,考点四,因为AD2+DE2=AE2,所以ADDE. 折叠后有A1DDE,因为二面角A1-DE-B是直二面角,所以平面A1DE平面BCED, 又平面A1DE平面BCED=DE
21、, A1D平面A1DE,A1DDE, 所以A1D平面BCED.,-53-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)解 由(1)的证明,可知EDDB,A1D平面BCED.以D为坐标原点,以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,作PHBD于H,如图,设PB=2a(02a3),则BH=a,PH= a,DH=2-a,-54-,考点一,考点二,考点三,考点四,-55-,考点一,考点二,考点三,考点四,1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断.另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向
22、量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题. 2.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 3.利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面,的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.,-56-,考点一,考点二,考点三,考点四,1.不能灵活运用共线向量定理设出与动点M相关的向量的坐标,导致变量较多,运算量过大而致误; 2.线面角与直线方向向量和平面法向量的夹角之间的关系要弄清,即sin =|cos |; 3.对于点的探究型问题,要善于根据点的位置结合向量的有关定理灵活设出未知量,尽量使未知量个数最少.,
