1、7.2 基本不等式及其应用,-2-,知识梳理,考点自诊,1.基本不等式: (1)基本不等式成立的条件: . (2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号.,2.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,a0,b0,a=b,x=y,小,x=y,大,-3-,知识梳理,考点自诊,-4-,知识梳理,考点自诊,-5-,知识梳理,考点自诊,-6-,知识梳理,考点自诊,2.设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为( ) A.80 B.77 C.81 D.82,C,D,-7-,知识梳理,考点自诊,D,5.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x
2、万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .,30,-8-,考点1,考点2,考点3,利用基本不等式证明不等式 例1(2018贵州凯里二模,23)已知a、b、c均为正实数. (1)若ab+bc+ca=3,求证:a+b+c3; (2)若a+b=1,求证:,-9-,考点1,考点2,考点3,证明 (1)a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca, 三式相加可得a2+b2+c2ab+bc+ca, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=9. 又a、b、c均为正整数,a+b+c3成立. (2)
3、a、bR*,a+b=1, a2+2ab+b2=1,-10-,考点1,考点2,考点3,思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些? 解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.,-11-,考点1,考点2,考点3,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,利用基本不等式求最值(多考向) 考向1 求不含等式条
4、件的最值问题,思考依据题目特征,如何求不含等式条件的函数最值?注意事项是什么?,4,C,B,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,考向2 求含有等式条件的最值问题,C,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,思考利用已知等式如何配凑基本不等式使用的条件? 思路分析(1)由题意首先求得a-3b的值,然后结合基本不等式的结论整理计算即可求得最终结果,注意等号成立的条件.(2)利用等比数列性质,求出m+n的值,然后结合基本不等式求得最小值.,-18-,考点1,考点2,考点3,考向3 基本(均值)不等式与函数的综合问题 例4已知函数 (aR),
5、若对于任意xN+,f(x)3恒成立,则a的取值范围是 . 思考已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是什么?,-19-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.若条件中不含等式,在利用基本不等式求最值时,则先根据式子的特征灵活变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用基本不等式. 2.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值. 3.(1)已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离参数法,且有af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒
6、成立af(x)min; (2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.,-20-,考点1,考点2,考点3,4.应用基本不等式应注意:(1)在应用基本不等式求最值时,判断是否具备了应用基本不等式的条件,即“一正各项均为正;二定积或和为定值;三相等等号能否取得”. (2)若不直接满足基本不等式的条件,需要通过配凑进行恒等变形,构造成满足条件的形式,常用的方法有:“1”的代换作用,对不等式进行分拆、组合、添加系数等. (3)多次使用基本不等式求最值时,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.,-21-,考点1,考点2,考点3,4,-22-,考点1,考点2
7、,考点3,9,1,-23-,考点1,考点2,考点3,变式发散3若将训练2中的“a+b=1”换为“a+2b=3”,如何求解?,-24-,考点1,考点2,考点3,3,6,B,-25-,考点1,考点2,考点3,当且仅当x=3y时等号成立. 设x+3y=t0,则t2+12t-1080, (t-6)(t+18)0, t0,t6.故当x=3,y=1时,(x+3y)min=6.,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,基本不等式的实际应用 例5某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,
8、单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为 (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/时.,1 900,100,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?需注意什么事项? 思路分析将 变形,构造利用基本不等式的条件,利用基本不等式求解最值. 解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解. 2.在用基本不等式
9、求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解. 3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.,-30-,考点1,考点2,考点3,对点训练3某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足 (k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销
10、费用m万元的函数; (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?,-31-,考点1,考点2,考点3,-32-,考点1,考点2,考点3,1.应用基本不等式求最值的常用方法有: (1)若直接满足基本不等式的条件,则直接应用基本不等式. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等. 2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.,-33-,考点1,考点2,考点3,-34-,易错警示忽视条件,-35-,-36-,-37-,
