1、第 十九 章 一次函数,数学8年级下册 R,19.2 一次函数,19.2.3 一次函数与方程、不等式,思考:下面3个方程有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？(1)2x+1=3,(2)2x+1=0,(3)2x+1= -1.,三个方程等号的左边都是2x+1,结果不同.从图象上可以看出y=2x+1上纵坐标分别取3,0,-1的点的横坐标为1,-0.5,-1就是方程的解.再通过计算发现三个方程的解是函数图象上纵坐标为3,0,-1的对应点的横坐标的值.,学 习 新 知,解方程ax+b=0(a0)与求自变量x为何值时,一次函数y=ax+b的值为0有什么关系?,任何以x为未知数的一
2、元一次方程都可以变形为 ax+b=0(a0)的形式.因此,解方程ax+b=0 (a0)相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值.或在函数y=ax+b图象上找出与x轴的交点,该交点横坐标的值就是该方程的解.,想一想,探究:下面3个不等式有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗?(1)2x+13,(2)2x+10,(3)2x+1-1.,不等号的左边都是2x+1,而不等号的右边是不同的数.解这3个不等式相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为大于3,小于0,小于-1时,求自变量x的取值范围.从图象可以看出在直线y=2x+1上取纵坐标分别满足大于3,小于
3、0,小于-1的点,看点的横坐标满足什么条件.分别是x1,x-0.5,x-1.,讨论:由上面的几个问题你能否说出一次函数与一元一次不等式之间有何关系?,任何关于x的一元一次不等式都可以化成ax+b0或ax+b0的形式.因此,解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求x的取值范围.或者在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分,看这些点的横坐标满足什么条件.,探究:1号探测气球从海拔5 m处出发,以1 m/min的 速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15 m处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h.(1)用式子分别表示两个气球所在
4、位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系;,解:(1)两个气球所在位置的海拔高度y(m)与上升时间x(min)的函数关系分别是:1号气球:y=x+5;2号气球:y=0.5x+15.自变量x的范围是0x60.,追问:“在某个时刻两个气球位于同一高度”说明它们两个函数关系式中的x和y的值要满足什么关系?如何求出x和y的值?,在某时刻两个气球位于同一高度,就是说对于x的某个值,函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此容易想到解二元一次方程组.,(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?,解: 由题意得 解得 当上升20
5、 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.,在同一直角坐标系中,画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象,观察这两条直线有交点吗?并思考:交点坐标是不是 的解?为什么?,这两条直线的交点为(20,25),说明当上升20 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.也就是说交点坐标也就是方程组 的解.,想一想,课堂小结,(1)一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写成y=ax+b的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线,这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解. 同样,任意一个二元一次方程组都对应着两个一次函数和两条直线,这两
6、条直线的交点坐标是该二元一次方程组的解.,(2)从“数”的角度看:解二元一次方程组,相当于求自变量为何值时两个函数的函数值相等,以及这个函数值是多少.从“形”的角度看:解二元一次方程组,相当于确定两条相应直线的交点.,例： (补充)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;,解: 设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元,则有 解得 即每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.,(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进
7、货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.求y关于x的函数关系式;,解：根据题意,得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000.,解：根据题意,得100-x2x,解得x . y=-50x+15000中,-500, y随x的增大而减小. x为正整数,当x=34时, y取得最大值,此时100-x=66. 即商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大.,该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?,(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0m100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的
8、售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.,(3)根据题意,得y=(100+m)x+150(100-x), 即y=(m-50)x+15000. 由题意得 x70. 当0m50时,m-500,y随x的增大而减小. 当x=34时,y取得最大值. 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润;,当m=50时,m-50=0,y=15000. 即商店购进A型电脑数量满足33 x70的整数时,均获得最大利润; 当500,y随x的增大而增大. x=70时,y取得最大值. 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润.,归纳总结,一次函数
9、的最值问题:考虑一次函数y=kx+b在axb时的最大值和最小值的时候,要注意k的符号:当k0时,则在x=a处取最小值,在x=b处取最大值;当k0时,结论正好相反.,一次函数与方程、不等式的关系:,课堂小结,1.直线y=x+3与y轴的交点是( ) A.(0,3) B.(0,1) C.(3,0) D.(1,0),解析:把x=0代入解析式，得y=3, 故选A.,A,检测反馈,2.直线y=kx+b与两坐标轴的交点如图所示,当y2 B. x-1 D. x-1,解析:求y0时x的取值范围即是求图象上点的纵坐标小于0时横坐标所满足的条件.故选B.,B,3.如图所示的是函数y=- x+3的图象,根据图象回答下列问题: (1)求方程- x+3=0的解;,解:(1)由图象可知:当x=2时,y=0,即方程- x +3=0的解为x=2.,(2)求不等式- x+30的解集;,解:由图象可知:当x2时,y2.,(3)当x取何值时,y0.,解:由图象可知:当x2时,y0.,
