1、1课时作业(十三) 第 13 讲 变化率与导数、导数的运算时间 / 45 分钟 分值 / 100 分基础热身1.函数 y= +cos x 的导数是 ( )1xA.y= -sin x1x2B.y=- -sin x1x2C.y= +cos x1x2D.y= -cos x1x22.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( )A.0 B.1C.2 D.33.如果曲线 y=x4-x 在点 P 处的切线垂直于直线 y=- x,那么点 P 的坐标为 ( )13A.(1,0)B.(0,-1)C.(0,1)D.(-1,0)4.2018焦作模拟 已知 f(x)=xln
2、x+ ,则 f(1)=( )f(1)xA.1B.12C.2D.e5.2019重庆巴蜀中学月考 已知函数 f(x)=x3+ax+1 的图像在点(1, f(1)处的切线过点(-1,1),则 a= . 能力提升6.如图 K13-1 为函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图像,那么 y=f(x),y=g(x)的图像可能是( )2图 K13-1A BC D图 K13-27.若直线 y=x+1 与曲线 y=x3+bx2+c 相切于点 M(1,2),则 b+2c= ( ) A.4 B.3C.2 D.18.过点(0,1)且与曲线 y= 在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为 ( )x+1x-1A.2x+
3、y-1=0 B.x-2y+2=0C.x+2y-2=0 D.2x-y+1=09.2018广东六校联考 设函数 f(x)=cos( x+ ),其中常数 满足 - 0.若函数3g(x)=f(x)+f(x)(其中 f(x)是函数 f(x)的导数)是偶函数,则 等于 ( )A.- B.- 3 56C.- D.- 6 2310.曲线 y=2ln x 上的点到直线 2x-y+3=0 的距离的最小值为 ( )A. B.25 5C.3 D.2511.2018四平质检 在等比数列 an中, a1=2,a8=4,若函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8),则 f(0)= . 312.已知函数 f(x)
4、=x+ +b(x0)的图像在点(1, f(1)处的切线方程为 y=2x+5,则 a-b= ax. 13.2018南昌二模 已知 f(x)=4ln x-x2,若曲线 y=f(x)在点(1, -1)处的切线与曲线y=x2-3x+m 相切,则 m 的值是 . 14.(12 分)已知函数 f(x)=x3-4x+2 及其图像上一点 M(1,-1).(1)若直线 l1与函数 f(x)的图像相切于点 M(1,-1),求直线 l1的方程;(2)若函数 f(x)的图像的切线 l2经过点 M(1,-1),但 M 不是切点,求直线 l2的方程 .15.(13 分)已知函数 f(x)= x3-2x2+3x(xR)的图
5、像为曲线 C.13(1)求曲线 C 上任意一点处的切线斜率的取值范围;(2)若曲线 C 存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围 .难点突破16.(5 分)已知函数 f(x)= 若函数 f(x)的图像与直线 y=kx+k 有 3ln(x+1),0x 4,1-2x,-2 x 0,个交点,则实数 k 的取值范围是 ( )A. B.(0,1e) (0,12e)C. D.(12e,ln55 ln55,1e)417.(5 分)已知 f(x)=aln x+x 的图像在 x=a 处的切线过原点,则 a= . 课时作业(十三)1.B 解析 函数 y= +cos x,1xy=
6、+(cos x)=- -sin x.(1x) 1x22.D 解析 对函数求导得 y=a- , 1x+1因为点(0,0)在曲线上,且切线方程为 y=2x,所以 a-1=2,所以 a=3.3.A 解析 设点 P(a,b),则 b=a4-a,由题得 y=4x3-1.因为曲线 y=x4-x 在点 P 处的切线垂直于直线 y=- x,所以 4a3-1=3,所以 a=1.13所以 b=14-1=0,所以点 P 的坐标为(1,0) .4.B 解析 f(x)=1+ln x- ,令 x=1,得 f(1)=1-f(1),解得 f(1)= .f(1)x2 125.-5 解析 函数 f(x)=x3+ax+1 的导数为
7、 f(x)=3x2+a,f (1)=3+a,又 f(1)=a+2,切线方程为 y-a-2=(3+a)(x-1).又 切线经过点( -1,1), 1-a-2=(3+a)(-1-1),解得 a=-5.6.D 解析 由题意知 y=f(x)与 y=g(x)的图像在 x=x0处相交,则有 f(x0)=g(x0),这说明 y=f(x)与 y=g(x)的图像在 x=x0处的切线的斜率相同,经比较只有选项 D 符合 .7.B 解析 y=x3+bx2+c 的导数为 y=3x2+2bx. 直线 y=x+1 与曲线 y=x3+bx2+c 相切于点 M(1,2),5 解得3+2b=1,2=1+b+c, b= -1,c
8、=2, b+ 2c=-1+4=3,故选 B.8.D 解析 y= ,y=- ,x+1x-1 2(x-1)2当 x=3 时, y=- ,即曲线 y= 在点(3,2)处的切线斜率为 - , 所求直线的斜率为 2. 直线12 x+1x-1 12过点(0,1), 所求直线方程为 y-1=2x,即 2x-y+1=0.9.A 解析 由题意得 g(x)=f(x)+f(x)=cos( x+ )- sin( x+ )=2cos3 3 3,( 3x+ + 3) 函数 g(x)为偶函数, + =k, kZ . 3又 - 0,=- .故选 A. 310.A 解析 设与直线 2x-y+3=0 平行且与曲线 y=2ln x
9、 相切的直线方程为 2x-y+m=0.设切点为 P(x0,y0),y= , =2,2x 2x0解得 x0=1,因此 y0=2ln 1=0, 切点 P 的坐标为(1,0),则点 P 到直线 2x-y+3=0 的距离 d= = , 曲线 y=2ln x 上的点到直线 2x-y+3=0|2-0+3|22+(-1)2 5的距离的最小值是 .511.212 解析 函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8),f (x)=(x-a1)(x-a2)(x-a8)+x(x-a1)(x-a2)(x-a8),f (0)=a1a2a8=(a1a8)4=84=212.12.-8 解析 f (x)=x+ +b,
10、f (x)=1- ,f (1)=1-a=2,a=- 1.f (1)ax ax2=1+a+b=7,b= 7,则 a-b=-1-7=-8.13. 解析 因为 f(x)=4ln x-x2,所以 f(x)= -2x,所以 f(1)=2,134 4x所以曲线 y=f(x)在点(1, -1)处的切线方程为 y+1=2(x-1),即 y=2x-3.由 得 x2-5x+m+3=0,y=2x-3,y=x2-3x+m,因为直线与曲线相切,所以 = 25-4(m+3)=0,解得 m= . 13414.解:(1) f(x)=3x2-4,f(1)=-1,所以直线 l1的斜率 k1=-1,所以直线 l1的方程为 y+1=
11、-(x-1),即 x+y=0.6(2)设切点坐标为( x0,f(x0),x01,则切线 l2的方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0).因为直线 l2经过点 M(1,-1),所以 -1-f(x0)=f(x0)(1-x0),其中 f(x0)= -4x0+2,f(x0)=3 -4,于是 -1-( -4x0+2)=(3 -4)(1-x0),整理得 2 -3 +1=0,x30 x20 x30 x20 x30 x20即( x0-1)2(2x0+1)=0,又 x01,所以 x0=- .12所以切点为 ,直线 l2的斜率 k2=f =- ,(-12,318) (-12) 134所以直线 l2的方程为
12、y- =- ,即 y=- x+ .318 134(x+12) 134 9415.解:(1)由题意得 f(x)=x2-4x+3,则 f(x)=(x-2)2-1 -1,即曲线 C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是 -1,+ ).(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k(k0),则由题意并结合(1)中结论可知 k -1,-1k -1,解得 -1 k0 或 k1,则 -1 x2-4x+30 或 x2-4x+31,解得 x( - ,2- (1,3)2 + ,+ ).2 216.D 解析 作出 f(x)的图像与直线 y=k(x+1),如图所示 .易知直线 y=k(x+1)过定点 A(-1,0),斜率
13、为 k.当直线 y=k(x+1)与曲线 y=ln(x+1)(0x4)相切时是一个临界状态 .设切点为( x0,y0),则 解得k= 1x0+1,k(x0+1)=ln(x0+1), x0=e-1,k=1e. 又函数 f(x)的图像过点 B(4,ln 5),所以 kAB= = ,由图可知 k .ln54-(-1)ln55 ln55 1e故选 D. 17.e 解析 由 f(x)=aln x+x,得 f(x)= +1,f (a)=2,ax7又 f(a)=aln a+a,f (x)的图像在 x=a 处的切线方程为 y-(aln a+a)=2(x-a). 该切线过原点, 0-(aln a+a)=2(0-a),整理得 ln a=1,a= e.
