1、1第 23 讲 正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理 余弦定理公式= = asinA=2R(其中 R 是ABC 的外接圆的半径) a2= , b2= , c2= 定理的变形a=2Rsin A,b= ,c= ,abc= cos A= , cos B= , cos C= 2.在 ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin Ab解的个 2数3.三角形面积公式(1)S= ah(h 表示边 a 上的高);12(2)S= bcsin A= acsin B= absin C;12 12 12(3)S= r(a+b+c)(r
2、 为三角形的内切圆半径) .12常用结论1.三角形内角和定理:在 ABC 中, A+B+C=;变形: = - .A+B2 2C22.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin =cos ;(4)cos =sin .A+B2 C2 A+B2 C23.三角形中的射影定理在 ABC 中, a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.题组一 常识题1.教材改编 在 ABC 中, B=45,C=60,c=2,则最短边的边长等于 . 2.教材改编 在 ABC 中,已知 a=5,b=2 ,
3、C=30,则 c= . 33.教材改编 在 ABC 中,已知 a2-c2+b2=ab,则 C 等于 . 4.教材改编 在 ABC 中,已知 a=3 ,b=2 ,cos C= ,则 ABC 的面积为 . 2 313题组二 常错题索引:在 ABC 中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错 .35.在 ABC 中,若 sin A=sin B,则 A,B 的关系为 ;若 sin Asin B,则 A,B 的关系为 . 6.在 ABC 中,若 A=60,a=4 ,b=4 ,则 B 等于 . 3 27.在 AB
4、C 中, a=2,b=3,C=60,则 c= , ABC 的面积等于 . 8.在 ABC 中, a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,若 ccos A=b,则 ABC 为 三角形 .探究点一 利用正弦、余弦定理解三角形例 1 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a= ,且 b2+c2=3+bc.3(1)求角 A 的大小;(2)求 bsin C 的最大值 .总结反思 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的
5、另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解 .变式题 (1)在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2 ,c=2 ,1+ = ,3 2tanAtanB2cb则 C= ( )A. B. 6 4C. 或 D. 4 34 3(2)2018衡水中学月考 已知 ABC 满足 BCAC=2 ,若 C= , = ,则 AB= .234 sinAsinB 12cos(A+B)探究点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状4例 2
6、 已知在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b2+c2=a2+bc.若 sin Bsin C=sin2A,则 ABC 的形状是 ( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形总结反思 判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C= 这个结论 .变式题 在 ABC 中, a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,若 = ,则 ABC 是 ( )tanAtanBa2b2A.直角三角形B.
7、等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形或等腰三角形探究点三 与三角形面积有关的问题例 3 2018洛阳三模 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 bsin B+(c-b)sin C=asin A.(1)求角 A 的大小;(2)若 sin Bsin C= ,且 ABC 的面积为 2 ,求 a.38 3总结反思 (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,也
8、可结合基本不等式求解 .变式题 2018黄冈中学月考 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.5(1)求 ABC 的面积;(2)若 cos Bcos C= ,求 ABC 的周长 .14第 23 讲 正弦定理和余弦定理考试说明 1 .通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理 .2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题 .【课前双基巩固】知识聚焦1. b2+c2-2bccos A c2+a2-2accos B a2+b2-2abcos C 2Rsin B 2Rsin C sin bsinB csinCA
9、sin B sin C b2+c2-a22bc a2+c2-b22ca a2+b2-c22ab2.一解 两解 一解 一解对点演练1. 解析 易知 A=75,角 B 最小,所以边 b 最短 .由正弦定理 = ,得 = ,263 bsinB csinC bsin45 2sin60解得 b= .2632. 解析 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=52+(2 )2-252 cos 30=7,所以7 3 3c= .73.60 解析 因为 cos C= = ,所以 C=60.a2+b2-c22ab 124.4 解析 因为 sin C= = ,所以 ABC 的面积 S= absin C=4
10、.3 1-cos2C223 12 365.A=B AB 解析 根据正弦定理知,在 ABC 中有 sin A=sin Ba=bA=B,sin Asin BabAB.6.45 解析 由正弦定理知 = ,则 sin B= = = .又 ab,所以 AB,所以asinA bsinB bsinAa 423243 22B 为锐角,故 B=45.7. 解析 易知 c= = , ABC 的面积等于7332 4+9-22312 723 = .12 32 3328.直角 解析 c cos A=b, 由正弦定理得 sin Ccos A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,整理得
11、 sin Acos C=0, sin A0, cos C=0,即 C=90,则 ABC 为直角三角形 . 【课堂考点探究】例 1 思路点拨 (1)由余弦定理可得出;(2)用正弦定理将 bsin C 表示为关于 C 的三角函数,再结合 C 的取值范围求最大值 .解:(1)由 a= ,b2+c2=3+bc,得 = = ,3b2+c2-a22bc 3+bc-a22bc 12即 cos A= ,又 A (0,), A= .12 3(2)由正弦定理,得 b= sin B=2sin B,asinAb sin C=2sin Csin B=2sin Csin =2sin C =sin2C+ sin Ccos
12、(23-C) (12sinC+ 32cosC) 3C= sin 2C- cos 2C+ =sin + . 0C ,- 2C- ,32 12 12 (2C- 6)12 23 6 676 当 sin =1,即 C= 时, bsin C 取得最大值 .(2C- 6) 3 32变式题 (1)B (2) 解析 (1)由 1+ = 得 1+ = ,10tanAtanB2cb sinAcosBcosAsinB2sinCsinB整理得 sin Bcos A+sin Acos B=2sin Ccos A,所以 sin(A+B)=sin C=2sin Ccos A,所以 cos A= .12又因为 A(0,),所
13、以 sin A= .32由正弦定理 = ,得 sin C= = ,所以 C= .故选 B.asinA csinC csinAa 22 47(2)由正弦定理可得 = ,因为 A+B+C=,所以 cos(A+B)=-cos C,sinAsinBBCAC则由已知条件可知 =- = ,又 BCAC=2 ,BCAC 12cosC 22 2可得 BC= ,AC=2,由余弦定理得 AB= =2 BC2+AC2-2BCACcosC= .2+4-2 22(-22) 10例 2 思路点拨 由 b2+c2=a2+bc 及余弦定理可得 A= ,由 sin Bsin C=sin2A 及正弦定理 3可得 bc=a2,结合
14、 b2+c2=a2+bc 可得 b=c.C 解析 在 ABC 中, b 2+c2=a2+bc, cos A= = = .b2+c2-a22bc bc2bc12又 A (0,), A= . 3 sin Bsin C=sin2A,bc=a 2.又由 b2+c2=a2+bc,得( b-c)2=a2-bc=0,b=c , ABC 的形状是等边三角形 .故选 C.变式题 D 解析 由条件可得 = ,sinAa2cosAsinBb2cosB由正弦定理可得 = ,aa2cosA bb2cosB整理可得 acos A=bcos B,所以 sin Acos A=sin Bcos B,即 sin 2A=sin 2
15、B,所以 2A=2B 或 2A= -2B,所以 A=B 或 A+B= , 2所以 ABC 是等腰三角形或直角三角形 .例 3 思路点拨 (1)利用已知条件,结合正弦定理以及余弦定理即可求出角 A 的大小;(2)利用正弦定理以及三角形的面积公式求解 a.解:(1)由 bsin B+(c-b)sin C=asin A 及正弦定理得 b2+(c-b)c=a2,即 b2+c2-bc=a2,由余弦定理得 cos A= = ,又 A (0,), A= .b2+c2-a22bc 12 3(2)由正弦定理 = = ,可得 b= ,c= ,asinA bsinB csinC asinBsinA asinCsin
16、AS ABC= bcsin A= sin A= =2 ,12 12 asinBsinA asinCsinA a2sinBsinC2sinA 3又 sin Bsin C= ,sin A= , a2=2 ,a= 4.38 32 38 38变式题 解:(1)由 a2-bc=(b-c)2可得 b2+c2-a2=bc, cos A= ,又 A (0,180), sin 12A= ,32S ABC= bcsin A= .12 34(2) cos A=-cos(B+C)= , sin Bsin C-cos Bcos C= ,12 12又 cos Bcos C= , sin Bsin C= .14 34由正弦
17、定理得 = = ,a= 1,(asinA)2 bcsinBsinC43b 2+c2-a2=(b+c)2-2bc-1=(b+c)2-3.又 b 2+c2-a2=1,b+c= 2, ABC 的周长为 a+b+c=1+2=3.【备选理由】 例 1 考查了利用正弦、余弦定理解三角形;例 2 考查了利用二倍角公式、余弦定理以及勾股定理判断三角形的形状;例 3 考查了求三角形的面积的最大值;例 4 考查了与三角形面积有关的问题,涉及三角形的中线以及利用基本不等式求解边的最值等问题 .例 1 配合例 1 使用 2018莆田六中月考 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 c(sin
18、C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a).(1)求角 B 的大小;(2)若 c=8,点 M,N 是线段 BC 的两个三等分点,且 BM= BC, =2 ,求 AM 的值 .13 ANBM 3解:(1) c (sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a), 由正弦定理得 c2-ca=b2-a2,a 2+c2-b2=ca, cos B= = ,又 0B, B= .a2+c2-b22ca 12 3(2)设 BM=x,则 BN=2x,AN=2 x,3又 B= ,AB=8, 在 ABN 中,由余弦定理得 12x2=64+4x2-282xcos ,解得 x=2(负值舍去),
19、 3 3即 BM=2, 在 ABM 中,由余弦定理得 AM= =AB2+BM2-2ABBMcos 3= =2 .82+22-28212 52 139例 2 配合例 2 使用 已知在 ABC 中, a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 cos2 = + ,则A12b2c ABC 为 ( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形解析 B cos2 = + ,A12b2c = + ,即 cos A= ,1+cosA2 12b2c bc = ,则 c2=a2+b2,b2+c2-a22bc bc故 ABC 为直角三角形,故选 B.例 3 配合例 3 使用 2018三明一中月
20、考 如图所示,在平面四边形 ABCD 中,AB=1,CB=2, ACD 为正三角形,则 BCD 的面积的最大值为 . 答案 1 + 3解析 在 ABC 中,设 ABC= , ACB= ,由余弦定理可知 AC2=12+22-212cos = 5-4cos . ACD 为正三角形, CD 2=5-4cos ,由正弦定理得 = ,1sin ACsinAC sin = sin ,CD sin = sin . (CDcos )2=CD2(1-sin2 )=CD2-sin2=5-4cos - sin2= (2-cos )2, BAC, 为锐角, CDcos = 2-cos ,S BCD= 2CDsin =
21、CDsin = CDcos + CDsin = (2-cos 12 ( 3+ ) ( 3+ ) 32 12 32 )+ sin = +sin ,12 3 ( - 3)10 当 = 时, BCD 的面积最大,最大值为 1+ .56 3例 4 配合例 3 使用 2018三明一中月考 已知 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为a,b, c,且 ABC 的面积为 c(asin A+bsin B-csin C).12(1)求角 C 的大小;(2)若 D 为 AB 的中点,且 c=2,求 CD 的最大值 .解:(1)依题意得, absin C= c(asin A+bsin B-csin C),12
22、12由正弦定理得, abc=c(a2+b2-c2),即 a2+b2-c2=ab,由余弦定理得,cos C= = = ,a2+b2-c22ab ab2ab12又因为 C(0,),所以 C= . 3(2)在 ACD 中,AC2=AD2+CD2-2ADCDcos ADC,即 b2=1+CD2-2CDcos ADC,在 BCD 中,BC2=BD2+CD2-2BDCDcos BDC,即 a2=1+CD2-2CDcos BDC.因为 ADC+ BDC=,所以 cos ADC=-cos BDC,所以 CD2= (a2+b2)-1.12由(1)及 c=2 得, a2+b2-4=ab (a2+b2),当且仅当 a=b=2 时,等号成立,12所以 (a2+b2)4,所以 CD2= (a2+b2)-13,即 CD ,12 12 3所以 CD 的最大值为 .3
