1、1第八节 函数与方程A 组 基础题组1.已知 2 是函数 f(x)= 的一个零点,则 f(f(4)的值是( ) log2(x+m),x 2,2x,x0,f(1)f(2)0A.(-,-1) B.(-,0)C.(-1,0) D.-1,0)答案 D 当 x0 时,f(x)=3x-1 有一个零点 x= ,所以只需要当 x0 时,e x+a=0 有一个根即可,即 ex=-a.13当 x0 时,e x(0,1,所以-a(0,1,即 a-1,0),故选 D.5.已知函数 y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应值表:x 1 2 3 4 5 6y 124.4 35 -74 14.5 -56.7 -123.
2、62则函数 y=f(x)在区间1,6上的零点至少有 个. 答案 3解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知,函数 f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在1,6上至少有 3 个零点.6.已知 f(x)= 则其零点为 . xlnx,x0,x2-x-2,x 0,答案 1,-1解析 当 x0 时,由 f(x)=0,即 xlnx=0 得 lnx=0,解得 x=1;当 x0 时,由 f(x)=0,即 x2-x-2=0,也就是(x+1)(x-2)=0,解得 x=-1 或 x=2.因为 x0,所以 x=-1.综上,函数的零点为 1,-1.7.已知函数 f(x)= 有两
3、个零点,则实数 a 的取值范围是 . 2x-a,x 1,ln(1-x),x0,23 73 23133所以 f(x)在区间-1,1上有零点.又 f(x)=4+2x-2x2= -2 ,92 (x-12)2当-1x1 时,0f(x) ,92所以 f(x)在-1,1上是单调递增函数.所以 f(x)在-1,1上有且只有一个零点.9.设函数 f(x)=ax2+bx+b-1(a0).(1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的零点;(2)若对任意 bR,函数 f(x)恒有两个不同零点,求实数 a 的取值范围.解析 (1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x 2-2x-3,令 f(x)=0,得 x=3
4、,x=-1.所以函数 f(x)的零点为 3,-1.(2)依题意,f(x)=ax 2+bx+b-1=0 恒有两个不同实根,所以 b2-4a(b-1)0 恒成立,即对任意 bR,b 2-4ab+4a0 恒成立,所以有(-4a) 2-41(4a)0,若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不|x|,x m,x2-2mx+4m,xm,同的根,则 m 的取值范围是 . 答案 (3,+)解析 当 m0 时,函数 f(x)= 的图象如下:|x|,x m,x2-2mx+4m,xmxm 时,f(x)=x 2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m24m-m2,要使得关于 x 的方程 f(x)=b
5、 有三个不同的根,必须有 4m-m23m,解得 m3,m 的取值范围是(3,+).3.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x0,+)时,f(x)=x 2-2x.(1)写出函数 f(x)的解析式;(2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求实数 a 的取值范围.解析 (1)当 x(-,0)时,-x(0,+).f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=-(-x) 2-2(-x)=-x2-2x,f(x)= x2-2x,x 0,-x2-2x,x0,x+1,x 0.(1)求 gf(1)的值;(2)若方程 gf(x)-a=0 有 4 个实数根,求实数 a 的取值范围.解析 (1)f(1)=-1 2-21=-3,gf(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)若 f(x)=t,则原方程可化为 g(t)=a.易知方程 f(x)=t 仅在 t(-,1)时有 2 个不同的解,则原方程有 4 个解等价于函数 y=g(t)(t1)与 y=a 的图象有 2 个不同的交点,作出函数 y=g(t)(t1)的图象,如图所示,由图象可知,当 1a 时,54函数 y=g(t)(t1)与 y=a 的图象有 2 个不同的交点,即所求 a 的取值范围是 .1,54)
