1、1第一节 导数的概念及运算1.已知函数 f(x)= cosx,则 f()+f =( ) 1x (2)A.- B.- C.- D.-3 2 1 2 3 1答案 C f(x)=- cosx+ (-sinx),f()=- ,1x2 1x 1f()+f =- + (-1)=- .(2) 1 2 32.曲线 y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程是( )A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0答案 C 因为 y=sinx+ex,所以 y=cosx+ex,所以 y|x=0=cos0+e0=2,所以曲线 y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程为 y-1
2、=2(x-0),即 2x-y+1=0.3.(2019湖北宜昌模拟)已知函数 f(x)=ln(ax-1)的导函数是 f(x),且 f(2)=2,则实数 a的值为( )A. B. C. D.112 23 34答案 B 由 f(x)=ln(ax-1)可得 f(x)= .由 f(2)=2可得 =2,解得 a= .故选 B.aax-1 a2a-1 234.曲线 f(x)=x3-x+3在点 P处的切线平行于直线 y=2x-1,则点 P的坐标为( )A.(1,3) B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)答案 C f(x)=3x 2-1,令 f(x)=2,则 3x2-1=2,解得 x=
3、1或 x=-1,P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线 y=2x-1上,故选 C.5.曲线 g(x)=x3+ x2+3lnx+b(bR)在 x=1处的切线过点(0,-5),则 b的值为( )52A. B. C. D.72 52 32 23答案 B 当 x=1时,g(1)=1+ +b= +b,52 72又 g(x)=3x2+5x+ ,3x所以切线斜率 k=g(1)=3+5+3=11,从而切线方程为 y=11x-5,2由于点 在切线上,(1,72+b)所以 +b=11-5,72解得 b= .故选 B.526.(2019山东烟台模拟)若曲线 y=ex- (a0)上任
4、意一点处的切线的倾斜角的取值范围是 ,则 a=( )aex 3,2)A. B. C. D.311213 34答案 C y=e x+ ,y=e x- 在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是 ,e x+ ,由 a0知,aex aex 3,2) aex 3ex+ 2 当且仅当 ex= 时等号成立 ,故 2 = ,故 a= ,故选 C.aex a aex a 3 347.已知曲线 y=lnx的一条切线过原点,则此切线的斜率为( )A.e B.-e C. D.-1e 1e答案 C y=lnx 的定义域为(0,+),设切点为(x 0,y0),则切线斜率 k=y = ,所以切线方程为 y-|x=x01x0y
5、0= (x-x0),又切线过点(0,0),将其代入切线方程得 y0=1,则 x0=e,所以 k= = .1x0 1x01e8.如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2是曲线 y=f(x)在 x=3处的切线,令 g(x)=xf(x),g(x)是 g(x)的导函数,则 g(3)=( )A.-1 B.0 C.2 D.4答案 B 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3处的切线的斜率为- ,即 f(3)=- .又 g(x)=xf(x),所以 g(x)13 13=f(x)+xf(x),所以 g(3)=f(3)+3f(3),由题图可知 f(3)=1,所以 g(3)=1+3 =0.故选 B.(-1
6、3)9.(2018课标全国,14,5 分)曲线 y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则 a= . 答案 -3解析 本题考查导数的综合应用.设 f(x)=(ax+1)ex,则 f(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率 k=f(0)=a+1=-2,解得 a=-3.10.已知 f(x)=e2-x+f(2)(lnx-x),则 f(1)= . 3答案 -e解析 因为 f(x)=e2-x+f(2)(lnx-x),所以 f(x)=-e2-x+f(2) ,(1x-1)令 x=1,得 f(1)=-e+f(2) =-e.(11-1)11.若函数 f(x)= ,则 f
7、(x)= . ln(2x+3)x2+1答案 2(x2+1)-2x(2x+3)ln(2x+3)(2x+3)(x2+1)2解析 f(x)=ln(2x+3)(x2+1)-ln(2x+3)(x2+1)(x2+1)2=(2x+3)2x+3(x2+1)-2xln(2x+3)(x2+1)2= .2(x2+1)-2x(2x+3)ln(2x+3)(2x+3)(x2+1)212.若直线 y=kx+b是曲线 y=lnx+2的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 b= . 答案 1-ln2解析 直线 y=kx+b与曲线 y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2)
8、,由 y=lnx+2得y= ,由 y=ln(x+1)得 y= ,k= = ,x 1= ,x2= -1,y 1=-lnk+2,y2=-lnk,即 A ,B1x 1x+1 1x1 1x2+1 1k 1k (1k,-lnk+2),A,B 在直线 y=kx+b上,(1k-1,-lnk) 2-lnk=k1k+b,-lnk=k(1k-1)+b b=1-ln2,k=2. 13.已知点 M是曲线 y= x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在 M处的切线为 l,求:13(1)斜率最小的切线方程;(2)切线 l的倾斜角 的取值范围.解析 (1)y=x 2-4x+3=(x-2)2-1-1,当 x=2时,y=-1,y= ,53斜率最小的切线过点 ,斜率 k=-1,(2,53)所求切线方程为 3x+3y-11=0.(2)由(1)得 k-1,tan-1,4又0,), .0,2) 34, )故 的取值范围为 .0,2) 34, )
