1、14.7 正弦定理和余弦定理教师专用真题精编1.(2018课标全国,6,5 分)在ABC 中,cos = ,BC=1,AC=5,则 AB=( )C2 55A.4 B. C. D.22 30 29 5答案 A 本题考查二倍角公式和余弦定理 .cos = ,cos C=2cos 2 -1=2 -1=- ,C2 55 C 15 35又BC=1,AC=5,AB= = =4 .故选 A.BC2+AC2-2BCACcosC 1+25-215(-35) 22.(2018课标全国,9,5 分)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若ABC 的面积为 ,则a2+b2-c24C=( )A. B. C
2、. D.2 3 4 6答案 C 本题考查解三角形及其综合应用 .根据余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C,因为 SABC = ,所以 SABC = ,又 SABC = absin C,所以a2+b2-c24 2abcosC4 12tan C=1,因为 C(0,),所以 C= .故选 C.43.(2018江苏,13,5 分)在ABC 中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,ABC=120,ABC 的平分线交 AC于点 D,且 BD=1,则 4a+c的最小值为 . 答案 9解析 本题考查基本不等式及其应用 .依题意画出图形,如图所示.易知 SABD +SBCD =SABC ,即 c
3、sin 60+ asin 60= acsin 120,12 12 12a+c=ac, + =1,1a1c4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即 a= ,c=3时取“=”.(1a+1c) ca4ac ca4ac 324.(2018课标全国,17,12 分)在平面四边形 ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.2(1)求 cosADB;(2)若 DC=2 ,求 BC.2解析 (1)在ABD 中,由正弦定理得 = .BDsinA ABsinADB由题设知, = ,所以 sinADB= .5sin45 2sinADB 25由题设知,ADB90,所以 cosADB=
4、= .1-225235(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB= .25在BCD 中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252 =25.225所以 BC=5.5.(2018北京理,15,13 分)在ABC 中,a=7,b=8,cos B=- .17(1)求A;(2)求 AC边上的高.解析 (1)在ABC 中,因为 cos B=- ,所以 sin B= = .17 1-cos2B437由正弦定理得 sin A= = .asinBb 32由题设知 B,所以 0A .2 2所以A= .3(2)在ABC 中,因为 sin C=sin(A+B)=sin A
5、cos B+cos Asin B= ,3314所以 AC边上的高为 asin C=7 = .33143326.(2018天津,15,13 分)在ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 bsin A=acos .(B-6)(1)求角 B的大小;(2)设 a=2,c=3,求 b和 sin(2A-B)的值.解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系 ,两角差的正弦与余弦公式 ,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC 中,由正弦定理 = ,可得 bsin A=asin B,asinA bsinB3又由 bsin A=acos ,得 asin B=acos ,(B-6) (B-6)即 sin B=cos ,可得 tan B= .(B-6) 3又因为 B(0,),可得 B= .3(2)在ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B= ,3有 b2=a2+c2-2accos B=7,故 b= .7由 bsin A=acos ,可得 sin A= .(B-6) 37因为 ac,故 cos A= .27因此 sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= .所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin 437 17B= - = .437 1217 32 3314
