1、15.3 正弦、余弦定理及解三角形挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度正弦、余弦定理1.理解正弦定理、余弦定理的推导过程.2.掌握正弦定理、余弦定理并能灵活运用.2018 浙江,13三角形边和角的求法三角恒等变换2016 浙江,16三角形角的求法三角形的面积2015 浙江,16三角形边和角的求法三角形的面积解三角形及其综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与三角形有关的几何问题以及和测量有关的实际问题.2014 浙江,18三角形角和面积的求法三角恒等变换分析解读 1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形.2
2、.高考命题仍会以三角形为载体,以正弦定理和余弦定理为框架综合考查三角知识.3.预计 2020 年高考中,仍会对解三角形进行重点考查,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一 正弦、余弦定理1.(2018 浙江绍兴高三 3 月适应性模拟,6)在ABC 中,内角 C 为钝角,sin C=,AC=5,AB=3 ,5则 BC=( ) A.2 B.3 C.5 D.10答案 A 2.(2018 浙江嵊州高三期末质检,14)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若cos(A+C)=,a=2,b=4,则 sin A= ,c= . 答案 ;31582考点二 解三角形及其综合应用1.(20
3、18 浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,15)在锐角ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,若AB=3,AC=4,ABC 的面积是 3 ,则 AD= . 3答案 3722.(2015 湖北,13,5 分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75的方向上,仰角为 30,则此山的高度 CD= m. 答案 100 6炼技法【方法集训】方法 有关三角形面积的计算1. (2018 浙江杭州高三教学质检,13)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a= ,b=3,si
4、n C=2sin A,则 sin A= ;设 D 为 AB 边上一点,且 =2 ,则5 BCD 的面积为 . 答案 ;2552.(2018 浙江金华十校高考模拟(4 月),18)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B.(1)证明:c=2b;(2)若ABC 的面积 S=5b2-a2,求 tan A 的值.解析 (1)证明:由 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,知 sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因为 B,所以 sin C=2
5、sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)因为ABC 的面积 S=5b2-a2,所以有 bcsin A=5b2-a2,由(1)知 c=2b,代入上式得 b2sin A=5b2-a2,所以 a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,3代入得 b2sin A=4b2cos A,tan A=4.过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点一 正弦、余弦定理(2018 浙江,13,6 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= ,b=2,A=60,7则 sin B= ,c= . 答案 ;3217考点二 解三角形及其综合应用1.(2017 浙江,11,
6、4 分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ,理论上能把 的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将 的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= . 答案 3322.(2016 浙江,16,14 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC 的面积 S= ,求角 A 的大小.24解析 (1)证明:由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin
7、 B+sin Acos B+cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B).又 A,B(0,),故 00).sin sin sin则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入 + = 中,有 + = ,变形可得cos cos sin cossincossinsinsinsin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC 中,由 A+B+C=,有 sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以 sin Asin B=sin C.(2)由已知,b 2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A= =.2+2-22所以 si
8、n A= =.1-2由(1)可知 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以 sin B=cos B+sin B,故 tan B= =4.sincos评析 本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式.16.(2014 湖南,18,12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= .7(1)求 cosCAD 的值;(2)若 cosBAD=- ,sinCBA= ,求 BC 的长.714 216解析 (1)在ADC 中,由余弦定理,得cosCAD= = = .2+2-22 7+1-427 277(2)设BAC=,则 =BAD-CAD.因为
9、 cosCAD= ,cosBAD=- ,277 71413所以 sinCAD= = = ,1-21-(277)2 217sinBAD= = = .1-21-(- 714)232114于是 sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD= - = .32114 277 (- 714) 217 32在ABC 中,由正弦定理,得 = ,sin sin故 BC= = =3.sinsin7 32216考点二 解三角形及其综合应用1.(2014 江西,4,5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6,C=,则ABC
10、的面积是( ) A.3 B. C. D.3932 3323答案 C 2.(2014 重庆,10,5 分)已知ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积 S 满足 1S2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A.bc(b+c)8 B.ab(a+b)16 2C.6abc12 D.12abc24答案 A 3.(2017 课标全国文,15,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60,b=,c=3,则 A= . 6答案 754.(2015 北京,12,5 分)在ABC 中,a
11、=4,b=5,c=6,则 = . sin2sin答案 15.(2014 山东,12,5 分)在ABC 中,已知 =tan A,当 A=时,ABC 的面积为 . 答案 146.(2018 北京理,15,13 分)在ABC 中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A;(2)求 AC 边上的高.解析 (1)在ABC 中,因为 cos B=-,所以 sin B= = .1-2437由正弦定理得 sin A= = .sin 32由题设知0,(2+2)所以 A .(0,4)于是 sin A+sin C=sin A+sin(2-2)=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2 +.(
12、sin-14)2因为 00,所以 c=3.故ABC 的面积为 bcsin A= .332解法二:由正弦定理,得 = ,7sin3 2sin从而 sin B= ,217又由 ab,知 AB,所以 cos B= .277故 sin C=sin(A+B)=sin(+3)=sin Bcos+cos Bsin= .32114所以ABC 的面积为 absin C= .33216.(2014 陕西,16,12 分)ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.(1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小
13、值.解析 (1)证明:a,b,c 成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c 成等比数列,b 2=ac.由余弦定理得cos B= = =,2+2-22 2+2-2 2-2当且仅当 a=c 时等号成立.cos B 的最小值为.评析 本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.2117.(2014 大纲全国,17,10 分)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3acos C=2ccos A,tan
14、A=,求 B.解析 由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A.故 3tan Acos C=2sin C,因为 tan A=,所以 cos C=2sin C,tan C=.(6 分)所以 tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)= (8 分)tan+tantantan-1=-1,即 B=135.(10 分)18.(2014 北京,15,13 分)如图,在ABC 中,B=,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2,cosADC=.(1)求 sinBAD;(2)求 BD,AC 的长.解析 (1)在ADC 中,因为 cosADC=,所以 sinADC=
15、.437所以 sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB= - = .437 32 3314(2)在ABD 中,由正弦定理得BD= = =3.sinsin83314437在ABC 中,由余弦定理得22AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=82+52-285=49.所以 AC=7.评析 本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识;考查分析推理、运算求解能力.19.(2014 安徽,16,12 分)设ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B.(1)求 a 的值;(2)求 sin 的值.(+4)解析 (1)因为 A
16、=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得 a=2b .2+2-22因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 .3(2)由余弦定理得 cos A= = =-.2+2-22 9+1-126由于 0A,所以 sin A= = = .1-21-19223故 sin =sin Acos+cos Asin= + = .(+4) 223 22 (-13) 22 4- 26评析 本题考查正、余弦定理,三角恒等变换等知识;考查基本运算求解能力;属容易题.【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.(2019 届浙江名校协作体高三联考,3)在ABC 中,
17、内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,已知 A=45,B=60,b= ,则 a=( ) 3A. B. C. D.2 6322 326答案 A 2.(2019 届浙江嘉兴 9 月基础测试,8)在ABC 中,已知 cos A= ,cos B=,c=4,则 a=( )513A.12 B.15 C. D.207 307答案 D 233.(2018 浙江镇海中学期中,10)若ABC 沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥,则称这样的ABC 为“和谐三角形”,设ABC 的三个内角分别为 A,B,C,则下列条件不能够确定该ABC 为“和谐三角形”的是( ) A.ABC=72025B.sin As
18、in Bsin C=72025C.cos Acos Bcos C=72025D.tan Atan Btan C=72025答案 B 4.(2018 浙江台州第一次调考(4 月),7)在ABC 中,边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若a2=b2+c2- bc,sin C=2cos B,则( )3A.A= B.B= C.c= b D.c=2a3答案 D 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 24 分)5.(2019 届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,14)已知ABC 的面积为 ,A=60,D332是边 AC 上一点,AD=2DC,BD=2,则 AB= ,cos C= . 答案
19、 2;2776.(2019 届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,14)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,A=60,且ABC 外接圆的半径为 ,则 a= ,若 b+c=3 ,则ABC 的面积3 3为 . 答案 3;3327.(2018 浙江名校协作体,14)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 c=2b,sin C=,则 sin B= ;若 2a2+b2+c2=4,则ABC 面积的最大值是 . 答案 ;558.(2018 浙江嘉兴教学测试(4 月),14)设ABC 的三边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,已知a2+2b2=c2,则 = ;
20、tan B 的最大值为 . tantan答案 -3;33三、解答题(共 20 分)249.(2019 届金丽衢十二校高三第一次联考,18)如图,在ABC 中,已知点 D 在边 AB 上,AD=3DB,cos A=,cosACB= ,BC=13.513(1)求 cos B 的值;(2)求 CD 的长.解析 (1)在ABC 中,cos A=,A(0,),所以 sin A= = =.1-21-(45)2同理可得 sinACB= .1213所以 cos B=cos-(A+ACB)=-cos(A+ACB)=sin AsinACB-cos AcosACB= - = .1213 5131665(2)在ABC
21、 中,由正弦定理得 AB= = =20.sinsin13121335又 AD=3DB,所以 BD=AB=5.在BCD 中,由余弦定理得 CD= 2+2-2cos=52+132-25131665=9 .210.(2018 浙江杭州二中期中,18)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 tan C=.sin+sincos+cos(1)求角 C 的大小;(2)若ABC 的外接圆直径为 1,求 a2+b2的取值范围.解析 (1)tan C= ,即 = ,sin+sincos+cos sincossin+sincos+cos25sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C,即 sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B,即 sin(C-A)=sin(B-C),C-A=B-C 或 C-A=-(B-C)(舍去),2C=A+B,C=.(2)由(1)知 C=,故设 A=+ ,B=-+, 其中-,外接圆半径为 R,3a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B.故 a2+b2=sin2A+sin2B= (1-cos 2A)+ (1-cos 2B)= =1+cos 2.121-cos2(+3)+1-cos2(-+3)-,- 2 ,23 23-cos 21,a 2+b2.
