1、15.2 平面向量的数量积及其应用挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 浙江,9平面向量的模的求法平面向量的模的最值2017 浙江,10平面向量的数量积的计算平面向量的数量积的大小比较2016 浙江,15平面向量的数量积的计算平面向量的数量积的最大值2015 浙江文,13平面向量的模的求法数量积的计算平面向量的数量 积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示.3.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.4.掌握平面向量的数量积的坐标表达式,会进行平面向量的数量积的运算.5.理解平面向量的数量积的性质,
2、并能灵活运用.2014 浙江,8平面向量的模的求法向量模的大小比较2018 浙江,9平面向量的模、夹角平面向量的模的最值2017 浙江,15向量的综合应用1.会运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题.2.会用数量积判断两个向量的平行与垂直关系.3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及一些实际问题.2016 浙江,15,文 15平面向量的模的求法分析解读 1.向量的数量积是高考命题的热点,主要有以下几个方面:(1)平面向量的运算、化简、证明及其几何意义;(2)平面向量垂直的充要条件及其应用;(3)平面向量的综合应用,向量的坐标是代数与几何联系的桥梁,它融数、形于一体,具有代数形
3、式和几何形式的双重身份,是中学数学知识的重要交汇点,常与平面几何、解析几何、三角函数等内容交叉渗透.2.预计 2020 年高考试题中,向量的数量积仍是高考的热点,应高度重视.2破考点【考点集训】考点一 平面向量的数量积1.(2018 浙江温州二模(3 月),9)已知向量 a,b 满足|a|=1,且对任意实数 x,y,|a-xb|的最小值为 ,|b-ya|的最小值为 ,则|a+b|=( ) 323A. B.7 5+23C. 或 D. 或7 3 5+23 5-23答案 C 2.(2017 浙江名校(杭州二中)交流卷三)已知向量 a=(cos2A,-sin2A),b= ,(12-sin2,11+co
4、s2)其中 A 为ABC 的最小内角,且 ab=-,则角 A 等于 ( )A. B.C. D.或23答案 C 考点二 向量的综合应用1.(2018 浙江名校协作体期初,12)在ABC 中,AB=3,BC= ,AC=2,且 O 是ABC 的外心,7则 = , = . 答案 2;-522.(2018 浙江绍兴高三 3 月适应性模拟,16)已知正三角形 ABC 的边长为 4,O 是平面 ABC 上的动点,且AOB=,则 的最大值为 . 答案 1633炼技法【方法集训】方法 1 利用数量积求长度和夹角的方法1.(2017 浙江镇海中学模拟卷三,13)已知向量 a,b 满足|a-b|=1 且|a|=2|
5、b|,则 ab 的最小值为 ,此时 a 与 b 的夹角是 . 答案 -;32.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期初联考,16)若向量 a,b 满足 a2+ab+b2=1,则|a+b|的最大值为 . 答案 2105方法 2 利用向量解决几何问题的方法1.(2018 浙江新高考调研卷二(镇海中学),9)已知点 P 在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上,点M 在以 P 为圆心,1 为半径的圆上运动,则 的最大值是( ) A.2 B.1+ 2C.1+2 D.2+2 2 2答案 C 2.(2018 浙江杭州二中期中,16)在半径为 1 的扇形 AOB 中,AOB=60,C 为弧 AB 上的动点,AB
6、 与 OC 交于点 P,则 的最小值是 . 答案 -116过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点一 平面向量的数量积1.(2017 浙江,10,4 分)如图,已知平面四边形 ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD 交于点 O.记 I1= ,I2= ,I3= ,则( ) A.I1=.若 n(tm+n),则实数t 的值为( ) A.4 B.-4 C. D.-答案 B 4.(2015 福建,9,5 分)已知 ,| |=,| |=t.若点 P 是ABC 所在平面内的一点,且 = + ,则 的最大值等于( )|4| A.13 B.15 C.19 D.218答案 A
7、5.(2015 山东,4,5 分)已知菱形 ABCD 的边长为 a,ABC=60,则 =( )A.- a2 B.- a2 C. a2 D. a2答案 D 6.(2015 安徽,8,5 分)ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足 =2a, =2a+b, 则下列结论正确的是( )A.|b|=1 B.ab C.ab=1 D.(4a+b) 答案 D 7.(2015 重庆,6,5 分)若非零向量 a,b 满足|a|= |b|,且(a-b)(3a+2b),则 a 与 b 的夹角223为 ( )A. B. C. D.34答案 A 8.(2014 大纲全国,4,5 分)若向量 a、b 满足
8、:|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,则|b|=( )A.2 B. C.1 D.222答案 B 9.(2014 四川,7,5 分)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且 c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角,则 m=( )A.-2 B.-1 C.1 D.2答案 D 10.(2014 天津,8,5 分)已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD=120,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BE=BC,DF=DC.若 =1, =-,则 +=( ) A. B. C. D.712答案 C 11.(2014 课标,3,5 分)设向量 a,b 满足|a+b|= ,|a
9、-b|= ,则 ab=( )10 6A.1 B.2 C.3 D.5答案 A 912.(2017 课标全国文,13,5 分)已知向量 a=(-2,3),b=(3,m),且 ab,则 m= . 答案 213.(2017 北京文,12,5 分)已知点 P 在圆 x2+y2=1 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则 的最大值为 . 答案 614.(2017 山东理,12,5 分)已知 e1,e2是互相垂直的单位向量.若 e1-e2与 e1+e 2的夹角为360,则实数 的值是 . 答案 3315.(2016 课标全国,13,5 分)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b| 2=
10、|a|2+|b|2,则 m= .答案 -216.(2016 江苏,13,5 分)如图,在ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点, =4, =-1,则 的值是 . 答案 17.(2015 湖北,11,5 分)已知向量 ,| |=3,则 = . 答案 918.(2015 天津,14,5 分)在等腰梯形 ABCD 中,已知 ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点 E和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 = , = ,则 的最小值为 . 19答案 291819.(2014 江苏,12,5 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5, =
11、3 , =2,则 的值是 . 10答案 2220.(2014 安徽,15,5 分)已知两个不相等的非零向量 a,b,两组向量 x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成.记 S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5,Smin表示 S 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).S 有 5 个不同的值;若 ab,则 Smin与|a|无关;若 ab,则 Smin与|b|无关;若|b|4|a|,则 Smin0;若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则 a 与 b 的夹角为.答案 考点二 向量的综合
12、应用1.(2016 课标全国,3,5 分)已知向量 = , = ,则ABC=( )(12, 32)(32,12)A.30 B.45 C.60 D.120答案 A 2.(2015 湖南,8,5 分)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为( )A.6 B.7C.8 D.9答案 B 3.(2017 课标全国文,13,5 分)已知向量 a=(-1,2),b=(m,1).若向量 a+b 与 a 垂直,则 m= .答案 74.(2015 江苏,14,5 分)设向量 ak= cos ,sin +cos (k=0,1,2,12)
13、,则 (akak+1)6 6 6 11=0的值为 . 答案 9 3【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 24 分)1.(2019 届浙江温州普通高中适应性测试,9)已知向量 a,b 满足|a|=2,a 2+2ab+2b2=8,则ab 的取值范围是( ) 11A.2 -2,2 +2 B.-2 -2,2 -23 3 3 3C. -1, +1 D.- -1, -13 3 3 3答案 B 2.(2019 届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,8)如图,OA 1B1,A 1A2B2,A 2A3B3是边长相等的等边三角形,且 O,A1,A2,A3四点共线.若点 P1,P2,P3分别是边 A1B1,A2
14、B2,A3B3上的动点(不含端点),记 I1= ,I2= ,I3= ,则 ( )1 3 2 2 3 1A.I1I2I3 B.I2I3I1C.I2I1I3 D.I3I1I2答案 B 3.(2018 浙江嵊州第一学期期末质检,10)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=3,BC=2,该矩形所在的平面内一点 P 满足| |=1,记 I1= ,I2= ,I3= ,则( ) A.存在点 P,使得 I1=I2B.存在点 P,使得 I1=I3C.对任意的点 P,有 I2I1D.对任意的点 P,有 I3I1答案 C 4.(2018 浙江台州第一学期期末质检,9)已知 m,n 是两个非零向量,且|m|=1,|m+
15、2n|=3,则|m+n|+|n|的最大值为( )A. B. C.4 D.55 10答案 B 5.(2018 浙江台州第一次调考(4 月),9)已知单位向量 e1,e2,且 e1e2=-,若向量 a 满足(a-e1)(a-e2)=,则|a|的取值范围为( )12A. B.2- 32, 2+ 32 2-12, 2+12C. D.(0, 2+12 (0, 2+ 32答案 B 6.(2018 浙江杭州第二次教学质量检测(4 月),9)记 M 的最大值和最小值分别为 M max 和 Mmin.若平面向量 a,b,c 满足|a|=|b|=ab=c(a+2b-2c)=2,则( )A.|a-c|max= B.
16、|a+c|max=3+ 72 3- 72C.|a-c|min= D.|a+c|min=3+ 72 3- 72答案 A 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 16 分)7.(2019 届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,16)已知向量 a,b 满足|a|=2|b|,|a-b|=2,则 ab 的取值范围为 . 答案 -89,88.(2019 届台州中学第一次模拟,14)已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,a,b 的夹角为,则 a 与a-2b 的夹角为 . 答案 9.(2019 届镇海中学期中,15)已知两个不共线的非零向量 a,b 满足|a|=2,|a-b|=1,则向量 a,b的夹角的最大值是 . 答案 3010.(2018 浙江金华十校第一学期期末调研,17)已知平面向量 a,b,c 满足|a|1,|b|1,|2c-(a+b)|a-b|,则|c|的最大值为 . 答案 2
