1、112.3 离散型随机变量及其分布挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 浙江,7随机变量的方差函数的单调性2014 浙江,12随机变量的方差随机变量的均值离散型随机变量及其分布列1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能进行简单的应用.2014 浙江,9随机事件的概率数学期望离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.2017 浙江,8随机变量的均值、方差随机变量的概念及其
2、分布列分析解读 1.随机变量及其分布是概率统计部分的重要内容,是高中数学的主干知识,也是高考的热点.2.主要考查随机变量分布列的性质及运算求解能力.3.考查一般以解答题形式出现,以随机变量分布列为载体,综合计数原理、古典概型、等可能事件等考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.4.预计 2020 年高考试题中,对随机变量及其分布的考查必不可少.破考点【考点集训】考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2018 浙江新高考调研卷四(金华一中),6)设随机变量 X 的分布列为 P(X=m)=p ,m=1,2,3,则 X 的数学期望 E(X)为( ) (12)2A.1 B. C. D.117
3、1113答案 C 2.(2018 浙江台州高三期末质检,12)已知随机变量 X 的分布列为X 1 2 3P12 13m则 m= ,D(X)= . 答案 ;考点二 离散型随机变量的均值与方差1.(2018 浙江温州二模(3 月),6)随机变量 X 的分布列如下表所示,若 E(X)=,则 D(3X-2)=( )X -1 0 1P16a bA.9 B.7 C.5 D.3答案 C 2.(2018 浙江杭州高三教学质检,12)在一次随机试验中,事件 A 发生的概率为 p,事件 A 发生的次数为 ,则数学期望 E()= ,方差 D()的最大值为 . 答案 p;炼技法【方法集训】方法 1 求离散型随机变量的
4、分布列的方法1.(2018 浙江萧山九中 12 月月考,8)已知某口袋中有 3 个白球和 a 个黑球(aN *),现从中随机取出一球,再放回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球),记放好球后袋中白球的个数是 .若 E()=3,则 D()= ( ) A. B.1 C. D.2答案 B 2.(2018 浙江浙东北联盟期中,14)已知随机变量 的分布列为 -1 0 1 2P a13 16b若 E()=,则 a+b= ,D()= . 3答案 ;119方法 2 求离散型随机变量的均值与方差的方法1.(2018 浙江杭州高考教学质量检测(4 月),7)已知 0
5、D( 2)4C.E( 1)E( 2),D( 1)E( 2),D( 1)D( 2)答案 A 3.(2014 浙江,9,5 分)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m3,n3),从乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 i(i=1,2);(b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2).则( )A.p1p2,E( 1)E( 2)C.p1p2,E( 1)E( 2)D.p170)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.40.
6、1+0.10.4+0.10.1=0.09.故 P(A)=1-P( )=0.91.考点二 离散型随机变量的均值与方差1.(2018 课标全国理,8,5 分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)0;当 p(0.1,1)时, f (p)400,故应该对余下的产品作检验.4.(2018 天津理,16,13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)
7、若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.(i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望;(ii)设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率.解析 本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2
8、 人.(2)(i)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P (X=k)= (k=0,1,2,3).43-337所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P135 1235 1835 435随机变量 X 的数学期望 E(X)=0 +1 +2 +3 = .135 1235 1835 435127(ii)设事件 B 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠不足的员工有 2 人”;事件 C为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 2 人,睡眠不足的员工有 1 人”,则 A=BC,且 B 与 C互斥.11由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故 P(A)=P
9、(BC)=P(X=2)+P(X=1)=.所以事件 A 发生的概率为.5.(2017 江苏,23,10 分)已知一个口袋中有 m 个白球,n 个黑球(m,nN *,n2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为 1,2,3,m+n 的抽屉内,其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉(k=1,2,3,m+n).1 2 3 m+n(1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 P;(2)随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是 X 的数学期望,证明:E(X)120发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行,则该台年利润为 5
10、000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?解析 (1)依题意,p 1=P(40120)= =0.1.1050 3550 550由二项分布知,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p= (1-p3)4+ (1-p3)04 143p3= +4 =0.947 7.(910)4 (910)3 110(2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元).(i)安装 1 台发电机的情形.由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.(ii
11、)安装 2 台发电机的情形.14依题意知,当 40120 时,三台发电机运行,此时 Y=5 0003=15 000,因此 P(Y=15 000)=P(X120)=p3=0.1,由此得 Y 的分布列如下:Y 3 400 9 200 15 000P 0.2 0.7 0.1所以 E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台.评析 本题考查了概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力.考点二 离散型随机变量的均值与方差1.(2016 山东,19,12 分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活
12、动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一人猜对,则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX.解析 (1)记事件 A:“甲第一轮猜对”,记事件 B:“乙第一轮猜对”,记事件 C:“甲第二轮猜对”,记事件 D:“乙第二轮猜对”,记事件 E:“星队至少猜对 3 个成语”.由题意,E=ABCD+ BCD+
13、A CD+AB D+ABC , 由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P( BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC ) 15=P(A)P(B)P(C)P(D)+P( )P(B)P(C)P(D)+P(A)P( )P(C)P(D)+P(A)P(B)P( )P(D)+P(A)P(B) P(C)P( )=+2(14233423+34133423)=.所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为.(2)由题意,随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)= ,1144P(X=1)=2 = = ,(34131413+14231413)
14、10144572P(X=2)=+= ,25144P(X=3)=+= = ,12144112P(X=4)=2 = = ,(34233413+34231423) 60144512P(X=6)= =.36144可得随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 6P1144 572 25144 112 512 14所以数学期望 EX=0 +1 +2 +3 +4 +6= .1144 572 25144 112 512 2362.(2016 课标,19,12 分)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器
15、使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:16以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.(1)求 X 的分布列;(2)若要求 P(Xn)0.5,确定 n 的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n=19 与 n=20 之中选其一,应选用哪个?解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需
16、更换的易损零件数为8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2.可知 X 的所有可能取值为 16、17、18、19、20、21、22,P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.(4 分)所以 X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.2
17、4 0.2 0.08 0.04(6 分)(2)由(1)知 P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故 n 的最小值为 19.(8 分)(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当 n=19 时,EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.(10 分)当 n=20 时,EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080.可知当 n=19 时所需费用的期望值小于 n=20 时所需费用的期望值,故应选 n=19.(12 分
18、)思路分析 (1)确定 X 的可能取值,分别求其对应的概率,进而可列出分布列.(2)根据(1)中求得的概率可得 P(X18)以及 P(X19)的值,由此即可确定 n 的最小值.(3)求出 n=19,n=20 时的期望值,比较大小即可作出决策.173.(2015 福建,16,13 分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定
19、的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望.解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A,则 P(A)=.(2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=,所以 X 的分布列为X 1 2 3P16 16 23所以 E(X)=1+2+3=.4.(2015 安徽,17,12 分)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)
20、已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望).解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,则 P(A)= = .121325 310(2)X 的可能取值为 200,300,400.P(X=200)= = ,2225 110P(X=300)= = ,33+12132235 310P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1- - = .110310610故 X 的分布列为18X 200 300 400P110 310 610EX=200
21、 +300 +400 =350.110 310 6105.(2015 湖南,18,12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球.在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率;(2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望.解析 (1)记事件 A1=从甲箱中摸出的 1 个球是红球,A2=从乙箱中摸出的 1 个球是红球
22、,B1=顾客抽奖 1 次获一等奖,B2=顾客抽奖 1 次获二等奖,C=顾客抽奖 1 次能获奖.由题意,A 1与 A2相互独立,A 1 与 A2互斥,B 1与 B2互斥,且 B1=A1A2,B2=A1 + A2,C=B1+B2.2 1 21因为 P(A1)= =,P(A2)= =,410 510所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,P(B2)=P(A1 + A2)=P(A1 )+P( A2)21 2 1=P(A1)P( )+P( )P(A2)2 1=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1) P(A2)= + =.(1-12) (1-25)故所求概率 P(C)=P(B1+B2)
23、=P(B1)+P(B2)= += .710(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为,所以XB .(3,15)于是 P(X=0)= = ,03(15)0(45)3 64125P(X=1)= = ,13(15)1(45)2 4812519P(X=2)= = ,23(15)2(45)1 12125P(X=3)= = .33(15)3(45)0 1125故 X 的分布列为X 0 1 2 3P6412548125121251125X 的数学期望为 E(X)=0 +1 +2 +3 =.64125 48125 12125 11256.(2015 湖北,2
24、0,12 分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A,B 两种奶制品,生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获利 1 000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设备1.5 小时,获利 1 200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每天生产A,B 两种产品时间之和不超过 12 小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求 Z 的分布列和均值;(2)若
25、每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10 000 元的概率.解析 (1)设每天 A,B 两种产品的生产数量分别为 x 吨,y 吨,相应的获利为 z 元,则有2+1.5,+1.512,2-0,0,0. 目标函数为 z=1 000x+1 200y.当 W=12 时,表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).当 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-x+ ,1 200当 x=2.4,y=4.8 时,直线 l:y=-x+ 在 y 轴上的截距最大,1 200最大获利 Z=zmax=2.41 000+4.81 20
26、0=8 160.20当 W=15 时,表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).将 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-x+ ,1 200当 x=3,y=6 时,直线 l:y=-x+ 在 y 轴上的截距最大,1 200最大获利 Z=zmax=31 000+61 200=10 200.当 W=18 时,表示的平面区域如图 3,四个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-x+ ,1 200当 x=6,y=4 时,直线 l:y=-x+ 在 y 轴上的截距最大,1 200最
27、大获利 Z=zmax=61 000+41 200=10 800.故最大获利 Z 的分布列为Z 8 160 10 200 10 800P 0.3 0.5 0.2因此,E(Z)=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708.(2)由(1)知,一天最大获利超过 10 000 元的概率p1=P(Z10 000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10 000 元的概率为 p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.评析 本题考查了线性规划,离散型随机变量的分布列与均值及概率的计算等基础知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.217.
28、(2014 重庆,18,13 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片.(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与数学期望.(注:若三个数 a,b,c 满足 abc,则称 b 为这三个数的中位数)解析 (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P= = .34+3339 584(2)X 的所有可能值为 1,2,3,且P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,2415+3439 1742131412+2316+33
29、39 4384P(X=3)= = ,221739 112故 X 的分布列为X 1 2 3P1742 4384 112从而 E(X)=1 +2 +3 = .1742 4384 11247288.(2014 福建,18,13 分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求:(i)顾客所获的奖励额为 60 元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)
30、商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.解析 (1)设顾客所获的奖励额为 X 元.22(i)依题意,得 P(X=60)= =,111324即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为.(ii)依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60.P(X=60)=,P(X=20)= =,2324即 X 的分布列为X 20 60P 0.5 0.5所以顾客所获的奖
31、励额的期望为 E(X)=200.5+600.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元.所以先寻找期望为 60 元的可能方案.对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和的最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1.对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(
32、20,20,40,40),记为方案 2.以下是对两个方案的分析:对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1元,则 X1的分布列为X1 20 60 100P16 23 16X1的数学期望为 E(X1)=20+60+100=60,X1的方差为 D(X1)=(20-60)2+(60-60)2+(100-60)2= .1 6003对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2元,则 X2的分布列为X2 40 60 80P16 23 16X2的数学期望为 E(X2)=40+60+80=60,X2的方差为 D(X2)=(40-60)2+(60-6
33、0)2+(80-60)2= .400323由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2.9.(2014 安徽,17,12 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望).解析 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,A k表示“第 k 局甲获胜”,B k表示“第 k 局
34、乙获胜”,则 P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)= + + = .(23)2 (23)2 (23)25681所以甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率为 .5681(2)X 的可能取值为 2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(
35、B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= ,1081P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= .881故 X 的分布列为X 2 3 4 5P59 29 1081 881EX=2+3+4 +5 = .1081 88122481评析 本题考查了独立事件同时发生、互斥事件至少有一个发生、分布列、均值等概率知识;考查应用意识、运算求解能力;准确理解题意是解题的关键,准确运算求解是得分的关键.2410.(2014 江苏,22,10 分)盒中共有 9 个球,其中有 4 个
36、红球、3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P;(2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随机变量X 表示 x1,x2,x3中的最大数.求 X 的概率分布和数学期望 E(X).解析 (1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球,所以 P= = = .24+23+2229 6+3+136 518(2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4.X=4表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”,故 P(X=4)= = ;4449
37、1126X=3表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球”,故 P(X=3)= = = ;3415+331649 20+61261363于是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1- - = .136311261114所以随机变量 X 的概率分布如下表:X 2 3 4P1114 1363 1126因此随机变量 X 的数学期望E(X)=2 +3 +4 = .1114 1363 1126209评析 本题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力.11.(2014 江西,21,14 分)随机将 1,2
38、,2n(nN *,n2)这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数.A 组最小数为 a1,最大数为 a2;B 组最小数为 b1,最大数为 b2.记 =a 2-a1,=b 2-b1.(1)当 n=3 时,求 的分布列和数学期望;(2)令 C 表示事件“ 与 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P(C);(3)对(2)中的事件 C, 表示 C 的对立事件,判断 P(C)和 P( )的大小关系,并说明理由. 解析 (1)当 n=3 时, 的所有可能取值为 2,3,4,5.将 6 个正整数平均分成 A,B 两组,不同的分组方法共有 =20 种,所以 的分布列为3625 2 3 4
39、5P15 310 310 15E=2+3 +4 +5=.310 310(2) 和 恰好相等的所有可能取值为 n-1,n,n+1,2n-2.又 和 恰好相等且等于 n-1 时,不同的分组方法有 2 种; 和 恰好相等且等于 n 时,不同的分组方法有 2 种; 和 恰好相等且等于 n+k(k=1,2,n-2)(n3)时,不同的分组方法有 2 种,2所以当 n=2 时,P(C)= =,当 3时 ,()=2(2+-2=12)2 .(3)由(2)知当 n=2 时,P( )=,因此 P(C)P( ), 而当 n3 时,P(C)E(Y),D(X)D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)D(Y)C.E(X)E
40、(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)答案 C 5.(2018 浙江嵊州高三期末质检,8)甲箱子里装有 3 个白球和 2 个红球,乙箱子里装有 2 个白球和 2 个红球.从这两个箱子里分别摸出一个球,设摸出的白球的个数为 X,摸出的红球的个数为 Y,则( )A.P(X=1),且 E(X),且 E(X)E(Y)C.P(X=1)=,且 E(X)E(Y)答案 D 6.(2018 浙江重点中学 12 月联考,8)已知随机变量 满足 P(=0)=,P(=1)=x,P(=2)= -x,若 0x,则( )A.E()随着 x 的增大而增大,D()随着 x 的增大而增大B.E()随着 x 的增大而减小,D()随着 x 的增大而增大C.E()随着 x 的增大而减小,D()随着 x 的增大而减小D.E()随着 x 的增大而增大,D()随着 x 的增大而减小答案 C 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 18 分)7.(2019 届浙江“超级全能生”9 月联考,15)随机变量 X 的分布列为
