1、110.6 圆锥曲线的综合问题挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 浙江,21直线与椭圆、抛物线的位置关系三角形面积、取值范围2017 浙江,21直线与抛物线的位置关系不等式、最值、取值范围2016 浙江文,19直线与抛物线的位置关系取值范围2015 浙江文,19直线与抛物线的位置关系圆、三角形面积圆锥曲线的综合问题1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.3.能解决直线与圆锥曲线的综合应用等问题.2014 浙江,21直线与圆的位置关系不等式分析解读 1.圆锥曲线的综合问题是高考的热点之一,主要考查两大问题:一是根据条件求出平面曲线的方程
2、;二是通过方程研究平面曲线的性质.2.考查点主要有:(1)圆锥曲线的基本概念和性质;(2)与圆锥曲线有关的最值、对称、位置关系等综合问题;(2)有关定点、定值问题,以及存在性等探索性问题.3.预计 2020 年高考试题中,圆锥曲线的综合问题仍是压轴题之一,复习时应高度重视.炼技法【方法集训】方法 1 圆锥曲线中的最值和范围问题的求解方法1.(2018 浙江 9+1 高中联盟期中,21)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设点 M(x0,y0)是椭圆C: +y2=1 上一点,从原点 O 向圆 M: + =作两条切线,分别与椭圆 C 交于点 P,Q,22 (-0)2(-0)2直线 OP,OQ 的斜
3、率分别记为 k1,k2.(1)求证:k 1k2为定值;(2)求四边形 OPMQ 面积的最大值.2解析 (1)证明:因为直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x 与圆 M 相切,所以 = , = ,可知 k1,k2是方程(3 -2)k2-6x0y0k+3 -2=0 的两个不相等|10-0|1+21 63|20-0|1+22 63 20 20的实数根,所以 3 -20,k 1k2= ,因为点 M(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 =1- ,20320-2320-2 20 202所以 k1k2= =-.320-2320-2(2)易知直线 OP,OQ 都不能落在坐标轴上,设 P(x1,y1),Q(x2
4、,y2),因为 2k1k2+1=0,所以 +1=0,即 = ,21212 2122142122因为 P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆 C 上,所以 = = ,2122(1-212)(1-222) 142122整理得 + =2,所以 + =1,2122 2122所以 OP2+OQ2=3.因为 S 四边形 OPMQ= (OP+OQ) = (OP+OQ),63 66OP+OQ = ,所以 S 四边形 OPMQ的最大值为 1.2(2+2) 62.(2018 浙江台州高三期末质检,21,15 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左,右焦点分别为2222F1,F2,左顶点为 A,点 P( ,
5、)在椭圆 C 上,且PF 1F2的面积为 2 .2 3 3(1)求椭圆 C 的方程;(2)过原点 O 且与 x 轴不重合的直线交椭圆 C 于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别与 y 轴交于点M,N.求证:以 MN 为直径的圆恒过焦点 F1,F2,并求出F 1MN 面积的取值范围.3解析 (1) =2c =2 ,c=2,(2 分)12 3 3又点 P( , )在椭圆 C 上,2 3 + =1,a 4-9a2+8=0,2232-4解得 a2=8 或 a2=1(舍去),又 a2-b2=4,b 2=4,椭圆 C 的方程为 + =1.(5 分)2824(2)由(1)可得 A(-2 ,0),F1(-2
6、,0),F2(2,0),2当直线 EF 的斜率不存在时,E,F 为短轴的两个端点,不妨设 M(0,2),N(0,-2),F 1MF 1N,F2MF 2N,以 MN 为直径的圆恒过焦点 F1,F2.(7 分)当直线 EF 的斜率存在且不为零时,设直线 EF 的方程为 y=kx(k0),设点 E(x0,y0)(不妨设 x00),则点 F(-x0,-y0),由 消去 y 得 x2= ,=,28+24=1 81+22x 0= ,y0= ,221+22221+22直线 AE 的方程为 y= (x+2 ),1+ 1+22 2直线 AE 与 y 轴交于点 M,令 x=0,得 y= ,221+ 1+22即点
7、M ,同理可得点 N ,(0, 221+ 1+22) (0, 221- 1+22) = , = ,1(2, 221+ 1+22)1(2, 221- 1+22) =0,F 1MF 1N,同理,F 2MF 2N,11则以 MN 为直径的圆恒过焦点 F1,F2,(12 分)当直线 EF 的斜率存在且不为零时,4|MN|= = =2 4,|221+ 1+22-221- 1+22| |22 1+222 | 212+2F 1MN 的面积 S=|OF1|MN|4,又当直线 EF 的斜率不存在时,|MN|=4,F 1MN 的面积为|OF 1|MN|=4,F 1MN 面积的取值范围是4,+).(15 分)方法
8、2 定点、定值问题的求法1.(2017 浙江镇海中学模拟卷(四),21)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为,且椭圆 C 上2222的点到其焦点的距离的最小值为 1.(1)求 a,b 的值;(2)过点 P(3,0)作直线 l 交 C 于 A,B 两点,求AOB 面积 S 的最大值;设 Q 为线段 AB 上的点,且满足 = ,证明:点 Q 的横坐标 xQ为定值.| |解析 (1)由题意知, =12,-=1,所以 a=2,c=1,因此 b= = ,故 a=2,b= .(4 分)22-12 3 3(2)显然直线 l 的斜率存在且不为 0,故可设 l:y=k(x-3)(k0),联立 消去 y,
9、并整理,得=(-3),24+23=1,(3+4k2)x2-24k2x+36k2-12=0,其中 =48(3-5k 2)0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2= ,x1x2= .(6 分)2423+42362-123+42原点 O 到直线 l 的距离 d= ,|AB|= |x1-x2|= ,|3|2+1 1+2 1+248(3-52)3+42所以 SAOB =|AB|d=6 |k| =6 .(8 分)33-523+42 32(3-52)(3+42)25设 t= ,则 k2= ,其中 t ,则13+42 14(1-3) (527,13)S=6 = = .3142(1-3)3-
10、54(1-3) 32(9-27)(27-5)32 9-27+27-523当且仅当 9-27t=27t-5,即 t= 时,取等号.(10 分)727故AOB 面积 S 的最大值为 .3证明:设 = =,则 =- , = ,(12 分)| | 所以 3-x1=-(x 2-3),xQ-x1=(x 2-xQ),消去 得,xQ= = =,3(1+2)-2126-(1+2)3 2423+42-2362-123+426- 2423+42故点 Q 的横坐标 xQ为定值.(15 分)2.(2017 浙江五校联考(5 月),21)如图,已知椭圆 : + =1(ab0)经过不同的三点 A2222,B ,C(C 在第
11、三象限),线段 BC 的中点在直线 OA 上.(52, 54) (-12,-34)(1)求椭圆 的方程及点 C 的坐标;(2)设点 P 是椭圆 上的动点(异于点 A,B,C),且直线 PB,PC 分别交直线 OA 于 M,N 两点,问|OM|ON|是不是定值?若是,求该值;若不是,请说明理由.解析 (1)由点 A,B 在椭圆 上,得 解得 所以椭圆 的方程为 + =1.542+5162=1,142+9162=1, 2=52,2=58,252258设点 C(m,n),则 BC 中点为 ,(-122 ,-342 )6由已知,求得直线 OA 的方程为 x-2y=0,从而 m=2n-1.又点 C 在椭
12、圆 上,故 2m2+8n2=5.由得 n= (舍去)或 n=-,从而 m=-,所以点 C 的坐标为 .(-32,-14)(2)设 P(x0,y0),M(2y1,y1),N(2y2,y2).当 x0-且 x0-时,因为 P,B,M 三点共线,所以 = ,整理得 y1= .1+3421+120+340+12 30-204(20-0+1)因为 P,C,N 三点共线,所以 = ,整理得 y2= .2+1422+320+140+32 0-604(20-0-1)因为点 P 在椭圆 上,所以 2 +8 =5,即 =-4 .20 20 20 20从而 y1y2= =(30-20)(0-60)16(20-0)2
13、-1320-2000+122016(420+20-400-1)= = = .3(52-420)-2000+122016(52-400-1)5(32-400)16(32-400) 516所以|OM|ON|= |y1| |y2|=5|y1y2|= ,为定值.5 52516当 x0=-或 x0=-时,易求得|OM|ON|= ,为定值.2516综上,|OM|ON|是定值,为 .2516方法 3 存在性问题的解法1.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期中,21)已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点为 F,过抛物线 C2:y=-x2+3 上一点 M 作抛物线 C2的切线 l,与抛物线 C1交于 A,B 两点
14、.(1)记直线 AF,BF 的斜率分别为 k1,k2,若 k1k2=-,求直线 l 的方程;(2)是否存在正实数 m,使得对任意点 M,都有|AB|=m(|AF|+|BF|)成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.7解析 (1)设 M(x0,y0),由 y=- +3,得 y=-,则切线 l 的斜率为 k=- .28 04切线 l 的方程为 y=- (x-x0)+y0=- x+ +y0=- x-2y0+6+y0,即 y=- x-y0+6.(3 分)04042040404与 x2=4y 联立,消去 y 得 x2+x0x+4y0-24=0.(4 分)设 A(x1,y1),B(x2,y2)
15、,则有 x1+x2=-x0,x1x2=4y0-24,(5 分)则 y1+y2=- (x1+x2)-2y0+12= -2y0+12=-4y0+18,04204y1y2= = ,212216(0-6)2则由 k1k2= = = =-,1-112-1212-(1+2)+112(0-6)2-(-40+18)+140-24得 5 -28y0+23=0,解得 y0=1 或 y0= .(8 分)20235 =-8(y0-3)0,y 03,故 y0=1,x 0=4.20则直线 l 的方程为 y=x+5.(9 分)(2)由(1)知直线 l 的方程为 y=- x-y0+6,且 x1+x2=-x0,x1x2=4y0
16、-24,04则|AB|= |x1-x2|= = ,1+2016 1+2016 (1+2)2-412 16+204 20-4(40-24)即|AB|= =2 (5-y0),(11 分)16-80+244 -80+24-160+96 3而|AF|+|BF|=(y 1+1)+(y2+1)=-4y0+20=4(5-y0),(13 分)则|AB|= (|AF|+|BF|),(14 分)32故存在正实数 m= ,使得对任意点 M,都有|AB|= (|AF|+|BF|)成立.(15 分)32 322.(2017 浙江镇海中学模拟卷(六),21)椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为2222F1、F
17、 2,M 为椭圆 C 上任意一点,|MF 1|-|MF2|的最大值为 2,离心率为 .33(1)若 N 为椭圆 C 上任意一点,且 F2MF 2N,求 的最小值 ;28(2)若过椭圆 C 右焦点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 =3 ,试问:在椭圆 C 上2是否存在点 P,使得线段 OP 与线段 AB 的交点恰为四边形 OAPB 的对称中心?若存在,求点 P的坐标;若不存在,说明理由. 解析 (1)由题意知, 2=2,= 33, 故 b= ,= 3,=1, 2椭圆 C 的方程是 + =1,其右焦点 F2的坐标为(1,0).2322 = ( + )= + = ,22 222
18、222|2|2 = = =4-2 .(2)min|2| 2min( 3-1)2 3(2)由题意知,直线 l 的斜率不为 0.假设符合条件的点 P 存在,则 = + .设 A(x1,y1),B(x2,y2),则点 P 的坐标为(x 1+x2,y1+y2),根据 =3 ,得 (1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),y 1=-2y2.2设直线 l 的方程为 x=my+1,代入椭圆方程整理得(2m 2+3)y2+4my-4=0,故 y1+y2=- ,y1y2=- .422+3422+3易得-y 2=- ,-2 =- ,422+3 22422+3消去 y2,得 = ,(422+3)2222+3解得
19、m2=,即 m= .22当 m= 时,y 1+y2=- ,x1+x2=m(y1+y2)+2=-+2=,此时 P .22 22 (32,- 22)当 m=- 时,y 1+y2= ,x1+x2=m(y1+y2)+2=-+2=,此时 P .22 22 (32, 22)经检验,点 , 都在椭圆 C 上,(32,- 22) (32, 22)故 C 上存在点 P,使得线段 OP 与线段 AB 的交点恰为四边形 OAPB 的对称中心.9过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点 圆锥曲线的综合问题1.(2018 浙江,21,15 分)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y
20、2=4x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上.(1)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴;(2)若 P 是半椭圆 x2+ =1(xb0),动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点2222P,且点 P 在第一象限.(1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标;(2)若过原点 O 的直线 l1与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1的距离的最大值为 a-b.解析 (1)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k0,解得 kb0)的离心率为 ,2222 22焦距为 2.(1)求椭圆 E 的方程;(2)如图,动直线 l:y=k1x- 交椭圆 E
21、 于 A,B 两点,C 是椭圆 E 上一点,直线 OC 的斜率为 k2,32且 k1k2= .M 是线段 OC 延长线上一点,且|MC|AB|=23,M 的半径为|MC|,OS,OT 是M24的两条切线,切点分别为 S,T.求SOT 的最大值,并求取得最大值时直线 l 的斜率.解析 本题考查椭圆的方程,直线与椭圆、圆的位置关系,考查最值的求解方法和运算求解能力.(1)由题意知 e= ,2c=2,所以 a= ,b=1,222因此椭圆 E 的方程为 +y2=1.2215(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消 y 整理得(4 +2)x2-4 k1x-1=0,22+2=1,=1- 32
22、, 21 3由题意知 0,且 x1+x2= ,x1x2=- ,231221+112(221+1)所以|AB|= |x1-x2|= .1+21 21+211+8211+221由题意可知圆 M 的半径r=|AB|= .223 1+211+821221+1由题设知 k1k2= ,所以 k2= ,24 241因此直线 OC 的方程为 y= x.241联立 得 x2= ,y2= ,22+2=1,= 241, 8211+421 11+421因此|OC|= = .2+21+8211+421由题意可知 sin = = ,2 +| 11+|而 = = ,|1+8211+421223 1+211+8211+221
23、324 1+2211+4211+21令 t=1+2 ,则 t1,(0,1),2116因此 = =| 22+-112+1-12= 1,1-(1-12)2+94当且仅当=,即 t=2 时等号成立,此时 k1= ,22所以 sin ,2因此 ,所以SOT 的最大值为.2综上所述,SOT 的最大值为,取得最大值时直线 l 的斜率 k1= .22思路分析 (1)由离心率和焦距,利用基本量运算求解;(2)联立直线 l 与椭圆方程,利用距离公式求|AB|,联立直线 OC 与椭圆方程求|OC|,进而建立 sin 与 k1之间的函数关系,利用2二次函数的性质求解.解题反思 最值问题一般利用函数的思想方法求解,利
24、用距离公式建立 sin 与 k1之间2的函数关系是解题关键.牢固掌握基础知识和方法是求解的前提.本题的完美解答体现了数学知识、能力、思想、方法的完美结合.3.(2016 天津,19,14 分)设椭圆 + =1(a )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 + = ,2223 3 1| 1| 3|其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y轴交于点 H.若 BFHF,且MOAMAO,求直线 l 的斜率的取值范围.解析 (1)设 F(c,0),由 + = ,即+= ,可得 a
25、2-c2=3c2,又 a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因1| 1| 3| 3(-)此 a2=4,所以椭圆的方程为 + =1.2423(2)设直线 l 的斜率为 k(k0),则直线 l 的方程为 y=k(x-2).17设 B(xB,yB),由方程组 消去 y,24+23=1,=(-2)整理得(4k 2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得 x=2 或 x= ,82-642+3由题意得 xB= ,从而 yB= .82-642+3-1242+3由(1)知 F(1,0),设 H(0,yH),有 =(-1,yH), = . (9-4242+3,1242+3)由 BFHF,得 =0,所以
26、+ =0,解得 yH= .42-942+31242+3 9-4212因此直线 MH 的方程为 y=-x+ .9-4212设 M(xM,yM),由方程组 消去 y,解得 xM= .=(-2),=-1+9-4212 202+912(2+1)在MAO 中,MOAMAO|MA|MO|,即(x M-2)2+ + ,化简得 xM1,即2221,解得 k- 或 k .202+912(2+1) 64 64所以直线 l 的斜率的取值范围为 .(-,- 64 64,+)评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想
27、解决问题的能力.4.(2016 北京,19,14 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),2222 32OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证:|AN|BM|为定值.18解析 (1)由题意得= 32,12=1,2=2+2,解得 a2=4,b2=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.24(2)由(1)知,A(2,0),B(0,1).设 P(x0,y0),则 +4 =4.20 20当 x00 时,直线 PA 的方程为 y= (x
28、-2).00-2令 x=0,得 yM=- ,从而|BM|=|1-y M|= .200-2 |1+200-2|直线 PB 的方程为 y= x+1.0-10令 y=0,得 xN=- ,从而|AN|=|2-x N|= .00-1 |2+00-1|所以|AN|BM|= |2+ 00-1| |1+ 200-2|=|20+420+400-40-80+400-0-20+2 |=|400-40-80+800-0-20+2|=4.当 x0=0 时,y 0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|BM|=4.综上,|AN|BM|为定值.一题多解 (2)点 P 在曲线 + =1 上,不妨设 P(2cos ,s
29、in ),当 k 且(2)2(1)2k+ (kZ)时,直线 AP 的方程为 y-0= (x-2),令 x=0,得 yM= ;sin2(cos-1) sin1-cos19直线 BP 的方程为 y-1= (x-0),令 y=0,得 xN= .sin-12cos 2cos1-sin|AN|BM|=2 |1- cos1-sin| |1- sin1-cos|=2 =22=4(定值).|2(1-sin)(1-cos)(1-sin)(1-cos)|当 =k 或 =k+ (kZ)时,M,N 是定点,易得|AN|BM|=4.综上,|AN|BM|=4.评析 本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系及定值问
30、题,方法常规,运算量大,对学生的运算能力要求较高.5.(2016 四川,20,13 分)已知椭圆 E: + =1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三2222角形的三个顶点,直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标;(2)设 O 是坐标原点,直线 l平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,且与直线 l 交于点 P.证明:存在常数 ,使得|PT| 2=|PA|PB|,并求 的值.解析 (1)由题意得,a= b,2则椭圆 E 的方程为 + =1.22222由方程组 得 3x2-12x+(18-2b2)=0.222+22=1
31、,=-+3,方程的判别式为 =24(b 2-3),由 =0,得 b2=3,此时方程的解为 x=2,所以椭圆 E 的方程为 + =1,2623点 T 的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线 l的方程为 y=x+m(m0),由方程组 可得=12+,=-+3, =2-23,=1+23.所以 P 点坐标为 ,|PT|2=m2.(2-23,1+23)设点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2).20由方程组 可得 3x2+4mx+(4m2-12)=0.26+23=1,=12+,方程的判别式为 =16(9-2m 2),由 0,解得- 0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l
32、与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.(1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;(2)若 l 过点 ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此(3,)时 l 的斜率;若不能,说明理由.解析 (1)证明:设直线 l:y=kx+b(k0,b0),A(x 1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2得(k 2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故xM= = ,yM=kxM+b= .1+22-2+992+9于是直线 OM 的斜率 kOM= =-,即 kOMk=-9.所以直线 OM
33、的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.(2)四边形 OAPB 能为平行四边形.21因为直线 l 过点 ,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0,k3.(3,)由(1)得 OM 的方程为 y=-x.设点 P 的横坐标为 xP.由 得 = ,即 xP= . =-9,92+2=2 22292+8132+9将 代入 l 的方程得 b= ,(3,) (3-)3因此 xM= .(-3)3(2+9)四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM.于是 =2 ,解得 k1=4- ,k2=4+ .32+9 (-3)3(2+9) 7 7因为 ki0,ki3
34、,i=1,2,所以当 l 的斜率为 4- 或 4+ 时,四边形 OAPB 为平行四边形.7 7评析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.C 组 教师专用题组考点 圆锥曲线的综合问题1.(2017 山东文,21,14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率2222为 ,椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为 2 .222(1)求椭圆 C 的方程;(2)动直线 l:y=kx+m(m0)交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O 的对称点,N 的半径为|NO|.设 D 为 AB
35、 的中点,DE,DF 与N 分别相切于点 E,F,求EDF 的最小值.解析 本题考查椭圆的标准方程及圆锥曲线的相关最值.22(1)由椭圆的离心率为 ,得 a2=2(a2-b2),22又当 y=1 时,x 2=a2- ,得 a2- =2,2222所以 a2=4,b2=2.因此椭圆方程为 + =1.2422(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 =+,2+22=4,得(2k 2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由 0 得 m20,从而 y=t+在3,+)上单调递增,因此 t+ ,103等号当且仅当 t=3 时成立,此时 k=0,23所以 1+3=4,|2|2由(*)得- b0),四
36、点 P1(1,1),P2(0,1),P32222,P4 中恰有三点在椭圆 C 上.(-1, 32) (1, 32)(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.解析 本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题.(1)由于 P3,P4两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 P3,P4两点.又由 + + 知,C 不经过点 P1,所以点 P2在 C 上.121212342因此 解得12=1,12+342=1, 2=4,2=1.24故 C 的方程为 +y2=1.24(2)
37、设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2.如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 t0,且|t|0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= .842+142-442+1而 k1+k2= +1-112-12= +1+-112+-12= ,212+(-1)(1+2)12由题设 k1+k2=-1,故(2k+1)x 1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1) +(m-1) =0.42-442+1-842+1解得 k=- .+12当且仅当 m-1 时,0,于是 l:y=- x+m,+12即 y+1=- (x-2),+12所以 l 过
38、定点(2,-1).3.(2016 山东,21,14 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的长轴长为 4,焦距为 2 .2222 225(1)求椭圆 C 的方程;(2)过动点 M(0,m)(m0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长 QM 交 C 于点 B.(i)设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k,证明 为定值;(ii)求直线 AB 的斜率的最小值.解析 (1)设椭圆的半焦距为 c.由题意知 2a=4,2c=2 ,2所以 a=2,b= = .2-2 2所以椭圆 C 的方程为 +
39、=1.2422(2)(i)证明:设 P(x0,y0)(x00,y00).由 M(0,m),可得 P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线 PM 的斜率 k= = ,2-00直线 QM 的斜率 k= =- .-2-030此时 =-3.所以 为定值-3. (ii)设 A(x1,y1),B(x2,y2).直线 PA 的方程为 y=kx+m,直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.联立=+,24+22=1,整理得(2k 2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由 x0x1= ,22-422+1可得 x1= .2(2-2)(22+1)026所以 y1=kx1+m= +m.2(2-2)(22+1)0
40、同理 x2= ,y2= +m.2(2-2)(182+1)0-6(2-2)(182+1)0所以 x2-x1= - = ,2(2-2)(182+1)02(2-2)(22+1)0-322(2-2)(182+1)(22+1)0y2-y1= +m- -m= ,-6(2-2)(182+1)02(2-2)(22+1)0-8(62+1)(2-2)(182+1)(22+1)0所以 kAB= = = .2-12-162+14 14(6+1)由 m0,x00,可知 k0,所以 6k+2 ,等号当且仅当 k= 时取得.666此时 = ,即 m= ,符合题意 .4-82 66 147所以直线 AB 的斜率的最小值为 .
41、624.(2015 山东,21,14 分)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,2222 32且点 在椭圆 C 上.(3,12)(1)求椭圆 C 的方程;(2)设椭圆 E: + =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A,B 两点,射242242线 PO 交椭圆 E 于点 Q.(i)求 的值;|(ii)求ABQ 面积的最大值.解析 (1)由题意知 + =1,32142又 = ,解得 a2=4,b2=1.2-2 3227所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.24(2)由(1)知椭圆 E 的方程为 + =1.21624(
42、i)设 P(x0,y0), =,|由题意知 Q(-x 0,-y 0).因为 + =1,20420又 + =1,(-0)216(-0)24即 =1,24(204+20)所以 =2,即 =2.|(ii)设 A(x1,y1),B(x2,y2).将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得(1+4k 2)x2+8kmx+4m2-16=0,由 0,可得 m2b0)经过点 A(0,-1),且离心率为 .2222 22(1)求椭圆 E 的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明:直线AP 与 AQ 的斜率之和为 2.解析 (1)由题设知= ,
43、b=1,22结合 a2=b2+c2,解得 a= .2所以椭圆 E 的方程为 +y2=1.22(2)证明:由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k2),代入 +y2=1,得(1+2k 2)x2-4k(k-1)22x+2k(k-2)=0.由已知可知 0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则 x1+x2= ,x1x2= .4(-1)1+222(-2)1+22从而直线 AP,AQ 的斜率之和29kAP+kAQ= + = +1+112+121+2-12+2-2=2k+(2-k) =2k+(2-k)(11+12)1+212=2k+(2-k) =2k-2(k-1)=2.4(-1)2(-2)评析 本题考查椭圆标准方程与简单性质的同时,重点考查直线与椭
