1、110.4 直线与圆锥曲线的位置关系挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 浙江,17,21直线与椭圆、抛物线的位置关系向量、三角形面积2017 浙江,21直线与抛物线的位置关系不等式、最值2016 浙江文,19直线与抛物线的位置关系斜率2015 浙江,19直线与抛物线的位置关系三角形面积、最值直线与圆锥曲线的位置关系1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.3.能解决直线与圆锥曲线的位置关系等问题.2014 浙江文,22直线与抛物线的位置关系向量、三角形面积分析解读 1.直线与圆锥曲线的位置关系是高考的常考内容,常以解答题的形式呈现,试题
2、具有一定的难度.2.直线与圆锥曲线的位置关系综合性较强,要注重与一元二次方程中的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合.3.预计 2020 年高考中,仍将以直线与圆锥曲线的位置关系等问题为重点进行考查.破考点【考点集训】考点 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018 浙江镇海中学阶段性测试,8)设从点 P(a,b)分别向椭圆 +y2=1 与双曲线 x2- =124 24作两条切线 PA,PB 和 PC,PD,切点分别为 A,B 和 C,D,若 ABCD,则=( ) A.4 B.1 C.4 D.1答案 D 22.(2018 浙江镇海中学阶段性测试,16)过点 P(-1,
3、1)向抛物线 y2=4x 作切线 PA,PB,切点分别为 A,B,过焦点 F 分别向 PA,PB 作垂线,垂足分别为 C,D,则FCD 的面积是 . 答案 52炼技法【方法集训】方法 圆锥曲线中弦长的求法1.(2018 浙江金华十校模拟(4 月),21,15 分)已知抛物线 y2=x 和圆 C:(x+1)2+y2=1,过抛物线上的一点 P(x0,y0)(y01),作圆 C 的两条切线,与 y 轴分别交于 A,B 两点.(1)若切线 PB 过抛物线的焦点,求切线 PB 的斜率;(2)求ABP 面积的最小值.解析 (1)由题意得抛物线的焦点坐标为 F ,设切线 PB 的斜率为 k,(14,0)则切
4、线 PB 的方程为 y=k ,即 kx-y-k=0.(-14) =1,解得 k=.|(-1)-14|2+1P(x 0,y0)(y01),k=.(2)设切线方程为 y=kx+m(k0),由点 P 在直线上得,k= ,0-0圆心 C 到切线的距离为 =1,整理得 m2-2km-1=0.|-+|2+1将代入得,(x 0+2)m2-2y0m-x0=0.设方程的两个根分别为 m1,m2,由根与系数的关系得,m 1+m2= ,m1m2=- ,200+200+23从而|AB|=|m 1-m2|= =2 ,(1+2)2-41220+30(0+2)2SABP =|AB|x0=x0 = (x01).20+30(0
5、+2)220(20+30)(0+2)2记函数 g(x)= (x1),2(2+3)(+2)2则 g(x)= 0,2(22+11+18)(+2)3g(x) min=g(1)=,S ABP 的最小值为.2.(2018 浙江五校联考(5 月),21)如图,已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为,焦距为 2.2222(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 与椭圆切于点 P,OQl,垂足为 Q,其中 O 为坐标原点.求OPQ 面积的最大值.解析 (1)由题意得椭圆 C 的离心率为,则 a2=4c2,b 2=3c2,椭圆 C 的方程为 + =1,2422322c=2,即 c=1,椭圆 C 的方程为
6、 + =1.(6 分)2423(2)设直线 l:y=kx+m(k0),则根据题意,得 OQ:y=-x(k0),联立 得(3+4k 2)=+,24+23=1,x2+8kmx+4m2-12=0,由 =0 得 3+4k2=m2,解得 xP= = ,(9 分)-82(3+42) 4-联立 解得 xQ= ,=+,=-1, -1+24|PQ|= ,1+2|-1+2+4|S OPQ = = |2 |1+2 1+2|-1+2+4|= =,当且仅当|k|=1 时取等号.(12 分)|1+2|212综上, =.(15 分)()max过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点 直线与圆锥曲线的位置关系1.(
7、2018 课标全国理,8,5 分)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点(-2,0)且斜率为的直线与 C 交于 M,N 两点,则 =( ) A.5 B.6 C.7 D.8答案 D 2.(2017 课标全国理,10,5 分)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16 B.14 C.12 D.10答案 A 3.(2015 江苏,12,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到
8、直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 . 答案 224.(2018 课标全国文,20,12 分)设抛物线 C:y2=2x,点 A(2,0),B(-2,0),过点 A 的直线 l与 C 交于 M,N 两点.(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 BM 的方程;(2)证明:ABM=ABN.5解析 (1)当 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=2,可得 M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线 BM 的方程为 y=x+1 或 y=-x-1.(2)当 l 与 x 轴垂直时,AB 为 MN 的垂直平分线,所以ABM=ABN.当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的
9、方程为 y=k(x-2)(k0),M(x 1,y1),N(x2,y2),则 x10,x20.由 得 ky2-2y-4k=0,可知 y1+y2=,y1y2=-4.=(-2),2=2 直线 BM,BN 的斜率之和为kBM+kBN= + = .11+222+221+12+2(1+2)(1+2)(2+2)将 x1= +2,x2= +2 及 y1+y2,y1y2的表达式代入式分子, 可得12x2y1+x1y2+2(y1+y2)= = =0.212+4(1+2) -8+8所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN 的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.方法总结 直线与圆锥曲线的位置关系的
10、常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.5.(20
11、18 课标全国文,20,12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C: + =1 交于 A,B 两点,2423线段 AB 的中点为 M(1,m)(m0).(1)证明:kb0)的一个2222焦点,C 1与 C2的公共弦的长为 2 .6(1)求 C2的方程;(2)过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A,B 两点,与 C2相交于 C,D 两点,且 与 同向.(i)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率;(ii)设 C1在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时,MFD 总是钝角三角形.解析 (1)由 C1:x2=4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1).因为 F
12、 也是椭圆 C2的一个焦点,所以 a2-b2=1.7又 C1与 C2的公共弦的长为 2 ,C1与 C2都关于 y 轴对称,且 C1的方程为 x2=4y,由此易知 C16与 C2的公共点的坐标为 ,所以 + =1.( 6,32) 94262联立得 a2=9,b2=8.故 C2的方程为 + =1.2928(2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因 与 同向,且|AC|=|BD|, 所以 = ,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4,于是(x 1+x2) 2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.设直线 l 的斜率为 k,则
13、 l 的方程为 y=kx+1.由 得 x2-4kx-4=0.而 x1,x2是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.=+1,2=4由 得(9+8k 2)x2+16kx-64=0.而 x3,x4是这个方程的两根 ,所以 x3+x4=-=+1,28+29=1,x3x4=- .169+82649+82将代入,得 16(k2+1)= + ,1622(9+82)24649+82即 16(k2+1)= ,1629(2+1)(9+82)2所以(9+8k 2)2=169,解得 k= ,即直线 l 的斜率为 .64 64(ii)证明:由 x2=4y 得 y=,所以 C1在点 A 处的切线方程为
14、y-y1= (x-x1),即 y= - .1212214令 y=0,得 x= ,即 M ,所以 = .而 =(x1,y1-1),于是 = -y1+1= +10,12 (12,0) (12,-1) 212214因此AFM 是锐角,从而MFD=180-AFM 是钝角.故直线 l 绕点 F 旋转时,MFD 总是钝角三角形.8教师专用题组考点 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2017 课标全国文,12,5 分)过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C 于点3M(M 在 x 轴的上方),l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MNl,则 M 到直线 NF 的距离为( ) A. B.2
15、 C.2 D.35 2 3 3答案 C 2.(2014 课标,10,5 分)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C于 A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为( )A. B. C. D.334 938 6332答案 D 3.(2014 辽宁,10,5 分)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( )A. B. C. D.答案 D 4.(2018 北京文,20,14 分)已知椭圆 M: + =1(ab0)的离心率为 ,焦距为 2 .斜率
16、为 k2222 63 2的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A,B.(1)求椭圆 M 的方程;(2)若 k=1,求|AB|的最大值;(3)设 P(-2,0),直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C,直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.若C,D 和点 Q 共线,求 k.(-74,14)解析 (1)由题意得2=2+2,= 63,2=22, 解得 a= ,b=1.3所以椭圆 M 的方程为 +y2=1.23(2)设直线 l 的方程为 y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由 得 4x2+6mx+3m2-3=0.=+,23+2=19所以 x1+x2=- ,x1x2= .32
17、32-34|AB|= =(2-1)2+(2-1)2 2(2-1)2= 2(1+2)2-412= .12-322当 m=0,即直线 l 过原点时,|AB|最大,最大值为 .6(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得 +3 =3, +3 =3.21 21 22 22直线 PA 的方程为 y= (x+2).11+2由=11+2(+2),2+32=3, 得(x 1+2)2+3 x2+12 x+12 -3(x1+2)2=0.21 21 21设 C(xC,yC).所以 xC+x1= = .-1221(1+2)2+321421-1241+7所以 xC= -x1= .421-1241+7-12-
18、7141+7所以 yC= (xC+2)= .11+2141+7设 D(xD,yD).同理得 xD= ,yD= .-12-7242+7242+7记直线 CQ,DQ 的斜率分别为 kCQ,kDQ,则 kCQ-kDQ= -141+7-14-12-7141+7 +74242+7-14-12-7242+7 +7410=4(y1-y2-x1+x2).因为 C,D,Q 三点共线,所以 kCQ-kDQ=0.故 y1-y2=x1-x2.所以直线 l 的斜率 k= =1.1-21-25.(2018 课标全国理,19,12 分)设椭圆 C: +y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B22两
19、点,点 M 的坐标为(2,0).(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;(2)设 O 为坐标原点,证明:OMA=OMB.解析 (1)由已知得 F(1,0),l 的方程为 x=1,由已知可得,点 A 的坐标为 或 .(1, 22) (1,- 22)所以 AM 的方程为 y=- x+ 或 y= x- .222222(2)证明:当 l 与 x 轴重合时,OMA=OMB=0,当 l 与 x 轴垂直时,直线 OM 为 AB 的垂直平分线,所以OMA=OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1)(k0),A(x 1,y1),B(x2,y2),则 x1b0).
20、2222又点 在椭圆 C 上,(3,12)所以 解得32+142=1,2-2=3, 2=4,2=1.因此,椭圆 C 的方程为 +y2=1.24因为圆 O 的直径为 F1F2,所以其方程为 x2+y2=3.(2)设直线 l 与圆 O 相切于 P(x0,y0)(x00,y00),则 + =3.2020所以直线 l 的方程为 y=- (x-x0)+y0,即 y=- x+ .0000 3012由 消去 y,得24+2=1,=-00+30(4 + )x2-24x0x+36-4 =0.(*)2020 20因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,所以 =(-24x 0)2-4(4 + )(36-4 )
21、=48 ( -2)=0.2020 20 2020因为 x0,y00,所以 x0= ,y0=1.2因此,点 P 的坐标为( ,1).2因为三角形 OAB 的面积为 ,267所以 ABOP= ,从而 AB= .267 427设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得 x1,2= ,240 4820(20-2)2(420+20)所以 AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= .(1+2020) 4820(20-2)(420+20)2因为 + =3,2020所以 AB2= = ,即 2 -45 +100=0.16(20-2)(20+1)23249 40 20解得 = ( =20 舍去),则
22、 =,因此 P 的坐标为 .20 20 20 (102, 22)则直线 l 的方程为 y=- x+3 .5 2解法二:(1)由题意知 c= ,所以圆 O 的方程为 x2+y2=3,因为点 在椭圆上,3 (3,12)所以 2a= + =4,( 3- 3)2+(12-0)2 ( 3+ 3)2+(12-0)2所以 a=2.因为 a2=b2+c2,所以 b=1,13所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.24(2)由题意知直线 l 与圆 O 和椭圆 C 均相切,且切点在第一象限,所以直线 l 的斜率 k 存在且 k0),将直线 l 的方程代入圆 O 的方程,得 x2+(kx+m)2=3,整理得(k 2+1
23、)x2+2kmx+m2-3=0,因为直线 l 与圆 O 相切,所以 =(2km) 2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得 m2=3k2+3,将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程,得 +(kx+m)2=1,24整理得(4k 2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 =(8km) 2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,整理得 m2=4k2+1,所以 3k2+3=4k2+1,因为 k0,因为直线 l 和椭圆 C 相交,所以结合的过程知 m2b0)的左焦点为 F,上顶点为 B.已知椭圆的离2222心率为 ,点 A 的坐标为(b,0),且|FB|AB|=6 .
24、532(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q.若= sinAOQ(O 为原点),求 k 的值.| 524解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的焦距为 2c,由已知有 =,22又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|= b,2由|FB|AB|=6 ,可得 ab=6,从而 a=3,b=2.2所以椭圆的方程为 + =1.2924(2)设点 P 的坐标为(x 1,y1)
25、,点 Q 的坐标为(x 2,y2).由已知有 y1y20,故|PQ|sinAOQ=y 1-y2.又因为|AQ|= ,而OAB=,故|AQ|= y2.2sin 2由 = sinAOQ,可得 5y1=9y2.| 524由方程组 消去 x,可得 y1= .=,29+24=1,692+4易知直线 AB 的方程为 x+y-2=0,15由方程组 消去 x,可得 y2= .=,+-2=0, 2+1由 5y1=9y2,可得 5(k+1)=3 ,两边平方,92+4整理得 56k2-50k+11=0,解得 k=或 k= .1128所以 k 的值为或 .1128解题关键 利用平面几何知识将 = sinAOQ 转化为
26、点 P、Q 坐标间的关系是解决第(2)问| 524的关键.方法归纳 求椭圆标准方程的基本方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定 a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为根据已知条件判断焦点的位置;根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;根据已知条件,建立关于 a、b、c 的方程组,注意c2=a2-b2的应用;解方程组,求得 a、b 的值,从而得出椭圆的方程.8.(2017 课标全国,20,12 分)设 A,B 为曲线 C:y= 上两点 ,A 与 B 的横坐标之和为 4.24(1)求直线 AB 的斜率;(2)设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M
27、 处的切线与直线 AB 平行,且 AMBM,求直线 AB 的方程.解析 (1)解法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x 2,y1= ,y2= ,x1+x2=4,214224于是直线 AB 的斜率 k= = =1.1-21-21+24解法二:设 A ,则由题意得 B ,于是直线 AB 的斜率 k= =(1,214) (4-1,(4-1)24 )(4-1)24 -2144-1-1=1.(4-1)2-214(4-21)(2)解法一:由 y= ,得 y=,24设 M(x3,y3),由题设知 =1,32解得 x3=2,于是 M(2,1).设直线 AB 的方程为 y=x+m,故线段 AB
28、 的中点为 N(2,2+m),|MN|=|m+1|.16将 y=x+m 代入 y= 得 x2-4x-4m=0.24当 =16(m+1)0,即 m-1 时,x 1,2=22 .+1从而|AB|= |x1-x2|=4 .2 2(+1)由题设知|AB|=2|MN|,即 4 =2(m+1),解得 m=7.2(+1)所以直线 AB 的方程为 y=x+7.解法二:设曲线 C:y= 上的点 M 的坐标为 ,过点 M 且与直线 AB 平行的直线 l 的方程为24 (0,204)y=x-x0+ .204联立得=-0+204,=24, 消去 y 得 x2-4x+4x0- =0,20所以 =(-4) 2-41(4x
29、0- )=0,20解得 x0=2,代入曲线 C 的方程,得 y0=1,故 M(2,1).设 A ,则 B ,(1,214) (4-1,(4-1)24 )因为 AMBM,所以 =-1,即 -4x1=28.1-2142-11-(4-1)242-(4-1) 21所以直线 AB 的方程为 y=x-x1+ ,即 y=x+7.2149.(2017 天津理,19,14 分)设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F,右顶点为 A,离心率为.已知2222A 是抛物线 y2=2px(p0)的焦点,F 到抛物线的准线 l 的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;17(2)设 l 上两点 P,Q 关于 x 轴对称
30、,直线 AP 与椭圆相交于点 B(B 异于点 A),直线 BQ 与 x 轴相交于点 D.若APD 的面积为 ,求直线 AP 的方程.62解析 (1)设 F 的坐标为(-c,0).依题意, =,=a,a-c=,解得 a=1,c=,p=2,于是 b2=a2-c2=.所以椭圆的方程为 x2+ =1,抛物线的方程为 y2=4x.423(2)设直线 AP 的方程为 x=my+1(m0),与直线 l 的方程 x=-1 联立,可得点 P ,故 Q(-1,-2).将 x=my+1 与 x2+ =1 联立,消去 x,整理得(3m 2+4)y2+6my=0,解得 y=0 或 y= .(-1,2) 423 -632
31、+4由点 B 异于点 A,可得点 B .由 Q ,可得直线 BQ 的方程为(-32+432+4,-632+4) (-1,2)(x+1)- =0,令 y=0,解得 x= ,故 D .所以(-632+4-2) (-32+432+4+1)(-2) 2-3232+2 (2-3232+2,0)|AD|=1- = .又因为 APD 的面积为 ,故 = ,整理得 3m2-2-3232+26232+2 626232+2 2| 622 |m|+2=0,解得|m|= ,所以 m= .663 63所以直线 AP 的方程为 3x+ y-3=0 或 3x- y-3=0.6 610.(2016 课标全国,20,12 分)
32、在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求 ;|(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由.解析 (1)由已知得 M(0,t),P .(22,)又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N ,ON 的方程为 y=x,代入 y2=2px 整理得 px2-2t2x=0,解(2,)得 x1=0,x2= .22因此 H .(22,2)18所以 N 为 OH 的中点,即 =2.|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点.理
33、由如下:直线 MH 的方程为 y-t= x,即 x= (y-t).2 2代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.方法总结 将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题.11.(2016 课标全国,21,12 分)已知 A 是椭圆 E: + =1 的左顶点,斜率为 k(k0)的直线交2423E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN 的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,证明: 0.由已知及
34、椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为.又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入 + =1 得 7y2-12y=0.2423解得 y=0 或 y= ,127所以 y1= .127因此AMN 的面积 SAMN =2 = .127 127 14449(2)证明:将直线 AM 的方程 y=k(x+2)(k0)代入 + =1 得2423(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由 x1(-2)= 得 x1= ,162-123+422(3-42)3+42故|AM|=|x 1+2| = .1+2121+23+42由题设,直线 AN 的方程为 y=- (x+2
35、),19故同理可得|AN|= .121+232+4由 2|AM|=|AN|得 = ,23+4232+4即 4k3-6k2+3k-8=0.设 f(t)=4t3-6t2+3t-8,则 k 是 f(t)的零点, f (t)=12t 2-12t+3=3(2t-1)20,所以 f(t)在(0,+)内单调递增.又 f( )=15 -260,3 3因此 f(t)在(0,+)内有唯一的零点,且零点 k 在( ,2)内,3所以 0).(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点,求抛物线 C 的方程;(2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证:线段 PQ 的中点坐标为(2-p,-p);
36、求 p 的取值范围.解析 (1)抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 ,(2,0)由点 在直线 l:x-y-2=0 上,得-0-2=0,即 p=4.(2,0)所以抛物线 C 的方程为 y2=8x.(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),线段 PQ 的中点 M(x0,y0).因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称,所以直线 l 垂直平分线段 PQ,于是直线 PQ 的斜率为-1,则可设其方程为 y=-x+b.证明:由 消去 x 得 y2+2py-2pb=0.(*)2=2,=-+因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点,所以 y1y 2,从而 =(2p) 2-4(-2pb)0,化简得
37、p+2b0.21方程(*)的两根为 y1,2=-p ,从而 y0= =-p.2+21+22因为 M(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=2-p.因此,线段 PQ 的中点坐标为(2-p,-p).因为 M(2-p,-p)在直线 y=-x+b 上,所以-p=-(2-p)+b,即 b=2-2p.由知 p+2b0,于是 p+2(2-2p)0,所以 pb0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为 ,点 M 在2222 33椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x2+y2= 截得的线段的长为 c,|FM|= .24 433(1)求直线 FM 的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点 P 在椭圆上,若直线
38、 FP 的斜率大于 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围.2解析 (1)由已知有 =,即 a2=3c2,又由 a2=b2+c2,可得 b2=2c2.22设直线 FM 的斜率为 k(k0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c).由已知,有 + = ,解(2+1)2(2)2(2)2得 k= .33(2)由(1)得椭圆方程为 + =1,直线 FM 的方程为 y= (x+c),两个方程联立,消去 y,整理232222 33得 3x2+2cx-5c2=0,解得 x=-c 或 x=c.因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为 .(,233)由|FM|= = ,解得 c=1,(+)2+(233
39、-0)2433所以椭圆的方程为 + =1.232222(3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t,得 t= ,即 y=t(x+1)(x-1),与椭圆方程+1联立得 消去 y,得 2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得 t= ,解得-0,于是 m= ,得 m .(-32,-1) 22-23 ( 23,233)当 x(-1,0)时,有 y=t(x+1)0,因此 m0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且|AF|=3.(1)求抛物线 E 的方程;(2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线
40、GB 相切.解析 (1)由抛物线的定义得|AF|=2+.因为|AF|=3,即 2+=3,解得 p=2,所以抛物线 E 的方程为 y2=4x.(2)证法一:因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m=2 ,由抛物线的对称性,2不妨设 A(2,2 ).2由 A(2,2 ),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 (x-1).2 223由 得 2x2-5x+2=0,=22(-1),2=4 解得 x=2 或 x=,从而 B .(12,- 2)又 G(-1,0),所以 kGA= = ,kGB= =- ,22-02-(-1)223- 2-012-(-1) 223所以 kGA+kGB=
41、0,从而AGF=BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等,故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.证法二:设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m=2 ,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 ).2 2由 A(2,2 ),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 (x-1).2 2由 得 2x2-5x+2=0,=22(-1),2=4 解得 x=2 或 x=,从而 B .(12,- 2)又 G(-1,0),故直线 GA 的方程为 2 x-3y+2 =0,2 2从而 r= = .|22+
42、22|8+9 4217又直线 GB 的方程为 2 x+3y+2 =0,2 2所以点 F 到直线 GB 的距离 d= = =r.|22+22|8+9 4217这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.评析 本题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.16.(2014 辽宁,20,12 分)圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P(如图),双曲线 C1: - =1 过点 P 且离心率为 .2222 3(1)求 C1的方程;
43、(2)椭圆 C2过点 P 且与 C1有相同的焦点,直线 l 过 C2的右焦点且与 C2交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程.24解析 (1)设切点坐标为(x 0,y0)(x00,y00),则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- (x-x0),0000即 x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积 S= = .由4040800+ =42x 0y0知,当且仅当 x0=y0= 时 x0y0有最大值,即 S 有最小值,因此点 P 的坐标为2020 2( , ).2 2由题意知 解得 a2=1,b2=2,22-22=1,2+2=32,故 C1
44、的方程为 x2- =1.22(2)由(1)知 C2的焦点坐标为(- ,0),( ,0),由此设 C2的方程为 + =1,其中 b10.3 323+21221由 P( , )在 C2上,得 + =1,2 223+21221解得 =3,因此 C2的方程为 + =1.212623显然,l 不是直线 y=0.设 l 的方程为 x=my+ ,点 A(x1,y1),B(x2,y2),由3=+ 3,26+23=1,得(m 2+2)y2+2 my-3=0,又 y1,y2是方程的根,3因此1+2=-232+2, 12= -32+2, 由 x1=my1+ ,x2=my2+ ,得3 31+2=(1+2)+23= 4
45、32+2, 12=212+ 3(1+2)+3=6-622+2.25因 =( -x1, -y1), =( -x2, -y2). 2 2 2 2由题意知 =0,所以 x1x2- (x1+x2)+y1y2- (y1+y2)+4=0.2 2将代入式整理得2m2-2 m+4 -11=0,6 6解得 m= -1 或 m=- +1.因此直线 l 的方程为362 62x- y- =0 或 x+ y- =0.(362 -1)3 (62-1)317.(2014 北京,19,14 分)已知椭圆 C:x2+2y2=4.(1)求椭圆 C 的离心率;(2)设 O 为原点.若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OAOB,试判断直线 AB
