1、18.1 空间几何体的表面积和体积【真题典例】挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2016 天津,112015 天津,101.空间几何体的结构特征认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2014 天津,10空间几何体的结构特征三视图 2.空间几何体的表面积和体积理解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)2018 天津,11空间几何体的表面积和体积正方体的性质 分析解读 1.理解多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念,牢记它们的几何特征;2.理解圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的形成过程,正确把握轴
2、截面、中截面的含义及掌握将圆柱、圆锥、2圆台的空间问题转化为平面问题的方法;3.理解柱、锥、台、球(无侧面积)的侧面积、表面积和体积的概念;4.结合模型,在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式;5.备考时关注以柱、锥与球的接、切问题为命题背景,突出空间几何体的线面位置关系的试题;6.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,分值约为 5 分,属于中档题.破考点【考点集训】考点一 空间几何体的结构特征1.下列结论正确的是( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多
3、边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 D 考点二 空间几何体的表面积和体积2.(2015 北京,5,5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A.2+ B.4+ C.2+2 D.55 5 5答案 C 3.(2015 安徽改编,19,13 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.求三棱锥 P-ABC 的体积.解析 由 AB=1,AC=2,BAC=60,可得 SABC = ABACsin60= .12 323由 PA平面 ABC,可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高,又
4、 PA=1,所以三棱锥 P-ABC 的体积V= SABC PA= .13 36炼技法【方法集训】方法 1 空间几何体表面积与体积的求解方法1.(2016 课标文,4,5 分)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12 B. C.8 D.4323答案 A 2.(2016 北京,6,5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.116 13 12答案 A 3.(2015 课标,6,5 分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(
5、如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( )A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛答案 B 4.(2018 江苏,10,5 分)如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 4答案 435.(2014 山东文,13,5 分)一个六棱锥的体积为 2 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长3都相等,则该六棱锥的侧面积为 . 答案 12方法 2 与球有关的切、接问题的求解方法6.(2015 课标,10,
6、5 分)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,AOB=90,C 为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( )A.36 B.64 C.144 D.256答案 C 7.(2017 课标,15,5 分)长方体的长,宽,高分别为 3,2,1,其顶点都在球 O 的球面上,则球O 的表面积为 . 答案 148.(2017 天津,11,5 分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 . 答案 92过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组1.(2016 天津,11,5 分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三
7、视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m 3. 答案 252.(2015 天津,10,5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3. 答案 833.(2014 天津,10,5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3. 答案 2034.(2018 天津,11,5 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,除面 ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点 E,F,G,H,M(如图),则四棱锥 M-EFGH 的体积为 . 答案 112B 组 统一命题、省(区、市)卷题组1.(2017 课标,8,5 分)已知圆柱的高为
8、1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )6A. B. C. D.34 2 4答案 B 2.(2014 课标,7,5 分)正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为 ,D 为 BC 中点,则3三棱锥 A-B1DC1的体积为( )A.3 B. C.1 D.32 32答案 C 3.(2014 大纲全国,8,5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16 C.9 D.814 274答案 A 4.(2014 陕西,5,5 分)已知底面边长为 1,侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面2上
9、,则该球的体积为( )A. B.4 C.2 D.323 43答案 D 5.(2018 课标,16,5 分)已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 所成角的余弦值为 ,SA 与圆锥底78面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 ,则该圆锥的侧面积为 . 15答案 40 26.(2015 江苏,9,5 分)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 . 答案 77.(2018 课标,18,12 分)如图,在平行四边形 ABCM 中,AB=AC=3,ACM=9
10、0.以 AC 为折痕将ACM 折起,使点 M 到达点 D 的位置,且 ABDA.(1)证明:平面 ACD平面 ABC;(2)Q 为线段 AD 上一点,P 为线段 BC 上一点,且 BP=DQ= DA,求三棱锥 Q-ABP 的体积.237解析 (1)证明:由已知可得,BAC=90,BAAC.又 BAAD,所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC,所以平面 ACD平面 ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3 .2又 BP=DQ= DA,所以 BP=2 .23 2如图,作 QEAC,垂足为 E,则 QE DC.13由已知及(1)可得 DC平面 ABC,所以 QE平面 ABC,Q
11、E=1.因此,三棱锥 Q-ABP 的体积为SABP QE= 32 sin451=1.13 13 12 2规律总结 证明空间线面位置关系的一般步骤:(1)审清题意:分析条件,挖掘题目中平行与垂直的关系;(2)明确方向:确定问题的方向,选择证明平行或垂直的方法,必要时添加辅助线;(3)给出证明:利用平行、垂直关系的判定或性质给出问题的证明;(4)反思回顾:查看关键点、易漏点,检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏,符号表达是否准确.解题关键 (1)利用平行关系将ACM=90转化为BAC=90是求证第(1)问的关键;(2)利用翻折的性质将ACM=90转化为ACD=90,进而利用面面垂直的性质定理及线面
12、垂直的性质定理得出三棱锥 Q-ABP 的高是求解第(2)问的关键.88.(2017 课标文,18,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90.12(1)证明:直线 BC平面 PAD;(2)若PCD 的面积为 2 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积.7解析 本题考查线面平行的判定和体积的计算.(1)证明:在平面 ABCD 内,因为BAD=ABC=90,所以 BCAD,又 BC平面 PAD,AD平面 PAD,故 BC平面 PAD.(2)取 AD 的中点 M,连接 PM,CM.由 AB=BC= AD 及 BCAD,
13、ABC=90得四边形 ABCM 为正方形,则 CMAD.12因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,所以 PMAD,PM底面 ABCD.因为 CM底面 ABCD,所以 PMCM.设 BC=x,则 CM=x,CD= x,PM= x,PC=PD=2x.2 3取 CD 的中点 N,连接 PN,则 PNCD,所以 PN= x.142因为PCD 的面积为 2 ,所以 x x=2 ,712 2 142 7解得 x=-2(舍去)或 x=2.于是 AB=BC=2,AD=4,PM=2 .3所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 2 =4 .13 2(2+4)2 3
14、 399.(2016 课标文,19,12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置.(1)证明:ACHD;(2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥 D-ABCFE 的体积.54 2解析 (1)证明:由已知得 ACBD,AD=CD.又由 AE=CF 得 = ,故 ACEF.(2 分)AEADCFCD由此得 EFHD,EFHD,所以 ACHD.(4 分)(2)由 EFAC 得 = = .(5 分)OHDOAEAD14由 AB=5,AC=6 得 D
15、O=BO= =4.AB2-AO2所以 OH=1,DH=DH=3.于是 OD2+OH2=(2 )2+12=9=DH2,故 ODOH.2由(1)知 ACHD,又 ACBD,BDHD=H,所以 AC平面 BHD,于是 ACOD.又由 ODOH,ACOH=O,所以 OD平面 ABC.(8 分)又由 = 得 EF= .EFACDHDO 92五边形 ABCFE 的面积 S= 68- 3= .(10 分)12 12 92 694所以五棱锥 D-ABCFE 的体积 V= 2 = .(12 分)13 694 22322C 组 教师专用题组1.(2014 湖北,8,5 分)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县
16、张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么,近似公式136V L2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )27510A. B. C. D.227 258 15750 355113答案 B 2.(2013 课标文,15,5 分)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AHHB=12,AB平面 ,H 为垂足, 截球 O 所得截面的面积为 ,则球 O 的表面积为 . 答案 923
17、.(2013 江苏,8,5 分)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1的中点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1V 2= . 答案 1244.(2016 江苏,17,14 分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍.(1)若 AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为 6m,则当 PO1为多少时,仓库的
18、容积最大?解析 (1)由 PO1=2m 知 O1O=4PO1=8m.因为 A1B1=AB=6m,所以正四棱锥 P-A1B1C1D1的体积V 锥 = A1 PO1= 622=24(m3);13 B21 13正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的体积V 柱 =AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积 V=V 锥 +V 柱 =24+288=312(m3).(2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m),则 00,V 是单调增函数;3当 2 h6 时,V0,V 是单调减函数.3故 h=2 时,V 取得极大值,也是最大值.3因此,当 PO1=2 m 时,仓库的容积最大.3评析本题主要考查函数
19、的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.5.(2015 课标文,19,12 分)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1上,A 1E=D1F=4.过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.解析 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图:(2)作 EMAB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为 E
20、HGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10.于是 MH= =6,AH=10,HB=6.EH2-EM212所以 = (A1E+AH)A1A= (4+10)8=56,S梯形 A1EHA12 12= (HB+EB1)A1A= (6+12)8=72,S梯形 B1BHE12 12又长方体被平面 分成两个等高的直棱柱,高为 10,所以其体积的比值为 = =S梯形 A1EHAS梯形 B1BHE5672.79(97也正确 )【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.(2019 届天津新华中学期中,3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. + B. + C. +2 D. +
21、213 23 13 23答案 A 2.(2018 天津红桥一模,4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A. B. C. D.223 2 23答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 35 分)3.(2019 届天津七校联考,11)一个几何体的正视图由 2 个全等的矩形组成,侧视图也是矩形,俯视图由两个全等的直角三角形组成,数据如图所示,则该几何体的体积为 . 13答案 124.(2019 届天津南开中学开学考,11)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3. 答案 205.(2018 天津河东一模,11)某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧
22、是半圆),则该几何体的表面积为 . 答案 92+146.(2018 天津十二区县一模,10)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积是 . 答案 48147.(2018 天津部分区县一模,13)在三棱锥 A-BCD 中,AB平面 BCD,BDCD,BD=DC=4,AB=3,则三棱锥 A-BCD 外接球的表面积为 . 答案 418.(2018 天津河东二模,11)麻团又叫煎堆,呈球形,华北地区称麻团,是一种古老的中华传统特色油炸面食,寓意团圆.制作时以糯米粉团炸起,加上芝麻而制成,有些包入麻茸、豆沙等馅料,有些没有.一个长方体形状的纸盒中恰好放入 4 个球形的麻团,它们彼此相切,
23、同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切,其俯视图如图所示,若长方体纸盒的表面积为 576cm2,则一个麻团的体积为 cm 3. 答案 369.(2019 届天津南开中学统练(3),11)如图,在圆柱 O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱 O1O2的体积为 V1,球 O 的体积为 V2,则 的值是 . V1V2答案 32三、解答题(共 15 分)10.(2017 天津和平二模,17)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA 1=4,D 为 BB1上一点,E为 AC 上一点,且 B1D=CE=1,BE= .7(1)求证:BEAC 1;(2)求证:BE平面
24、 AC1D;(3)求四棱锥 A-BCC1B1的体积.15解析 (1)证明:在ABE 中,AB=4,AE=3,BE= ,7AE 2+BE2=AB2,则 BEAE,即 BEAC,三棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱,CC 1底面 ABC,CC 1BE,又 CC1AC=C,BE平面 ACC1A1,又 AC1平面 ACC1A1,BEAC 1.(2)证明:在平面 ACC1A1中,过 E 作 EFC 1C 交 AC1于 F,连接 DF.CE= AC,C 1F= AC1= ,14 14 2AF=3 ,则 EF= = =3.2 AF2-AE2 18-9BD=BB 1-B1D=3,EF=BD,EFCC 1,BDCC 1,BDEF,且 BD=EF,则四边形 BDFE 为平行四边形,BEDF,BE平面 AC1D,DF平面 AC1D,BE平面 AC1D.(3) = ACBEAA1= 4 4=8 ,VABC-A1B1C112 12 7 7= 8 = ,VA-A1B1C113 7873 = - =8 - = .VA-BCC1B1VABC-A1B1C1VA-A1B1C1 7873 167316解题分析 本题考查直线与平面平行的判定,考查了空间想象能力和思维能力,是中档题.
