1、16.3 等比数列挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.等比数列的有关概念及运算1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式3.了解等比数列与指数函数的关系4.掌握等比数列的前 n 项和公式2018 天津文 ,18等比数列的通项公式数列求和的基本方法2.等比数列的性质及应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2016 天津,5等比数列性质的应用充分必要条件的判断分析解读 天津高考对等比数列的考查主要是基本量的运算、a n和 Sn的关系以及等比数列的性质.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前 n
2、项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现.解决问题时要注意下标之间的关系,并选择适当的公式.破考点【考点集训】考点一 等比数列的有关概念及运算1.已知等比数列a n中,a 1=1,且 =8,那么 S5的值是( )a4+a5+a8a1+a2+a5A.15 B.31 C.63 D.64答案 B 2.已知等比数列a n中,a 2=2,a3a4=32,那么 a8的值为 . 答案 12823.(2014 安徽,12,5 分)数列a n是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q= . 答案 14.(2011 北京文,12,5 分)在等比数列
3、a n中,若 a1= ,a4=4,则公比 q= ;a 1+a2+an= .12答案 2;2 n-1-12考点二 等比数列的性质及应用5.已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn,则下列结论一定成立的是( )A.若 a50,则 a20170,则 a20180,则 S20170 D.若 a60,则 S20180答案 C 6.已知等比数列a n的公比 q0,其前 n 项和为 Sn,若 a1=1,4a3=a2a4.(1)求公比 q 和 a5的值;(2)求证: 0,所以 q=2.所以 a5=a1q4=16.(2)证法一:因为 a1=1,q=2,所以 an=a1qn-1=2n-1,nN *,Sn= =2n
4、-1,a1(1-qn)1-q所以 = =2- ,因为 0,所以 =2- 0,可得 q=2,故bn=2n-1.所以,T n= =2n-1.1-2n1-2设等差数列a n的公差为 d.由 b4=a3+a5,可得 a1+3d=4.5由 b5=a4+2a6,可得 3a1+13d=16,从而 a1=1,d=1,故 an=n,所以,S n= .n(n+1)2(2)由(1),有 T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2.2(1-2n)1-2由 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得+2n+1-n-2=n+2n+1,n(n+1)2整理得 n2-3n-4=0,解得 n=-1(舍
5、),或 n=4.所以,n 的值为 4.考点二 等比数列的性质及应用(2016 天津,5,5 分)设a n是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q1,则( )A.a1a3,a2a4 D.a 1a3,a2a4答案 B 2.(2015 安徽,14,5 分)已知数列a n是递增的等比数列,a 1+a4=9,a2a3=8,则数列a n的前 n项和等于 . 答案 2 n-13.(2014 广东,13,5 分)若等比数列a n的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+lna20= . 答案 504.(2017 山东,19,12 分)已知x n是各项均为正数的等比数列,且
6、x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列x n的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连接点 P1(x1,1),P2(x2,2),Pn+1(xn+1,n+1)得到折线 P1P2Pn+1,求由该折线与直线 y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积 Tn.解析 本题考查等比数列基本量的计算,错位相减法求和.(1)设数列x n的公比为 q,由已知知 q0.由题意得 x1+x1q=3,x1q2-x1q=2.8所以 3q2-5q-2=0.因为 q0,所以 q=2,x1=1.因此数列x n的通项公式为 xn=2n-1.(2)过 P1,P2,Pn+1向 x 轴作垂线,垂足分别为
7、 Q1,Q2,Qn+1.由(1)得 xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形 PnPn+1Qn+1Qn的面积为 bn,由题意 bn= 2n-1=(2n+1)2n-2,(n+n+1)2所以 Tn=b1+b2+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2,2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1.-得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1= + -(2n+1)2n-1.322(1-2n-1)1-2所以 Tn= .(2n-1)2n+12解题关键 记梯形 PnPn+1Qn+1Qn的面积为 bn,以几何图形为
8、背景确定b n的通项公式是关键.方法总结 一般地,如果a n是等差数列,b n是等比数列,求数列a nbn的前 n 项和时,可采用错位相减法.在写“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“S n-qSn”的表达式.5.(2014 课标,17,12 分)已知数列a n满足 a1=1,an+1=3an+1.(1)证明 是等比数列,并求a n的通项公式;an+12(2)证明 + + 0”是“S 2019S2018”的( )A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 3.(2018 天津宝坻一中模拟,4)设等比数
9、列a n的公比为 q,前 n 项和为 Sn,则“|q|=1”是“S4=2S2”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C 4.(2018 天津南开中学第三次月考,3)在等比数列a n中,若 a2=243,a6=3,则 a4等于( )A.3 B.27 C.3 D.27答案 B 5.(2019 届天津耀华中学统练(2),3)已知等比数列a n中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2成等12差数列,则 等于( )a8+a9a6+a7A.1+ B.1- C.3+2 D.3-22 2 2 2答案 C 6.(2019 届天津七校联考,5)已知数列a n
10、是等比数列,a 2=2,a7=64,则当 n2 时,a1a3+a2a4+an-1an+1=( )A.2n-2 B.2 n+1-2 C. D.4n+1-43 4n-43答案 D 7.(2018 天津南开中学第五次月考,6)等比数列a n的首项为 2,项数为奇数,其奇数项之和为 ,偶数项之和为 ,这个等比数列前 n 项的积为 Tn(n2),则 Tn的最大值为( )8532 2116A. B. C.1 D.214 12答案 D 8.(2017 天津南开中学第四次月考,6)已知数列a n的前 n 项和 Sn=n2-n,正项等比数列b n中,b 2=a3,bn+3bn-1=4 (n2,nN +),则 l
11、og2bn=( )b2nA.n B.2n-1 C.n-2 D.n-1答案 A 12二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2019 届天津蓟州一中月考,11)设 Sn为等比数列a n的前 n 项和,a 3=8a6,则 的值为 .S4S2答案 5410.(2019 届天津河西期中,10)已知数列a n是递增的等比数列,a 1+a4=9,a2a3=8,则数列a n的前 n 项和等于 . 答案 2 n-1三、解答题(共 25 分)11.(2017 天津十二区县一模,18)已知等比数列a n的公比 q1,且 a1+a3=20,a2=8.(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn= ,Sn是数
12、列b n的前 n 项和,不等式 Sn+ (-1)na 对任意正整数 n 恒成立,求nan n2n+1实数 a 的取值范围.解析 (1)由题意得, 2q 2-5q+2=0,a1(1+q2)=20,a1q=8, 公比 q1, a n是以 4 为首项,2 为公比的等比数列,a1=4,q=2,数列a n的通项公式为 an=2n+1(nN *).(2)b n= = ,nan n2n+1S n= + + + ,122223324 n2n+1Sn= + + + .12 123224 n-12n+1 n2n+2由-得,Sn= + + + - ,12 122123124 12n+1 n2n+2S n= + +
13、+ - = - =1- ,12122123 12n n2n+112- 12n+112 n2n+1 n+22n+1不等式 Sn+ (-1)na 对任意正整数 n 恒成立,n2n+1(-1) na- ,12 12n 为偶数时,f(n)的最小值为 ,a .34 34综上,- a ,即实数 a 的取值范围是 .12 34 (-12,34)12.(2018 天津河东二模,18)已知等比数列a n满足条件 a2+a4=3(a1+a3),a2n=3 ,nN *.a2n(1)求数列a n的通项公式;(2)数列b n满足 + + =n2,nN *,求b n的前 n 项和 Tn.b1a1b2a2 bnan解析 (
14、1)设a n的公比为 q,则 an=a1qn-1,nN *.a 2+a4=3(a1+a3),a 1q+a1q3=3(a1+a1q2),解得 q=3,a 2n=3 ,a 1q2n-1=3 q2n-2,即 q=3a1,a 1=1.a2n a21数列a n的通项公式为 an=3n-1.(2)当 n=1 时,b 1=a1=1,当 n2 时, + + =n2,b1a1b2a2 bnan+ + =(n-1)2,b1a1b2a2 bn-1an-1由-得 =n2-(n-1)2=2n-1,bnanb n=(2n-1)an=(2n-1)3n-1(n2).综上,b n=(2n-1)3n-1,nN *.故 Tn=130+331+532+(2n-1)3n-1,3Tn=13+332+533+(2n-1)3n.-2T n=1+23+232+233+23n-1-(2n-1)3n=1+2 -(2n-1)3n3(1-3n-1)1-3=(2-2n)3n-2.T n=(n-1)3n+1,nN *.
