1、16.1 数列的概念及其表示【真题典例】挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度数列的有关概念及性质1.了解数列的概念,数列的通项公式2.了解数列是自变量为正整数的一类函数,会用赋值法求数列的项2011 天津,20,14 分赋值法求数列的项、数列的通项公式不等式的证明分析解读 了解数列的概念和有关的表示方法,了解数列的通项公式、递推公式,了解数列的通项公式与前 n 项和公式之间的关系,了解数列是自变量为正整数的一类函数.考查数列的有关概念和性质,培养学生的创新能力、抽象概括能力.本节内容在高考中分值约为 5分,属于中低档题.破考点2【考点集训】考点 数列的有关
2、概念及性质1.在数列a n中,a 1=0,an+1= ,则 a2016=( )3+an1- 3anA.2 B. C.0 D.-3 3 3答案 D 2.已知数列a n满足 a1=1,且 an=n(an+1-an)(nN *),则 a2= ;a n= . 答案 2;n3.已知数列a n满足 an=3an-1+3n-1(nN *,n2),且 a1=5,则 an= . 答案 (n+4)3 n-14.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Sn=an+1-2n+2,a2=2,则 an= . 答案 2,n=12n-2,n1炼技法【方法集训】方法 1 利用 an 与 Sn 的关系求通项1.已知数列a n的
3、前 n 项和为 Sn,若 3Sn=2an-3n,则 a2018=( )A.22018-1 B.3 2018-6 C. - D. -(12)201872 (13)2018103答案 A 2.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1,则 =( )S6a6A. B. C. D.6332 3116 12364 127128答案 A 3.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn= ,则 a2017=( )(n+1)an2A.2016 B.2017 C.4032 D.4034答案 B 4.已知 Sn为数列a n的前 n 项和,且 log2(Sn+1)=n+1,则数列a n
4、的通项公式为 . 答案 a n=3,n=12n,n 2方法 2 利用递推关系求数列的通项5.已知数列a n中,a 1=1,an+1=2an+1(nN *),Sn为其前 n 项和,则 S5的值为( )3A.57 B.61 C.62 D.63答案 A 6.在数列a n中,a 1=1,an+1= ,则数列a n的通项 an= . 2anan+2答案 2n+17.已知数列a n的前 n 项之和为 Sn,若 a1=2,an+1=an+2n-1+1,则 S10= . 答案 1078过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组(2011 天津,20,14 分)已知数列a n与b n满足 bnan+an+1+
5、bn+1an+2=0,bn= ,nN *,3+(-1)n2且 a1=2,a2=4.(1)求 a3,a4,a5的值;(2)设 cn=a2n-1+a2n+1,nN *,证明c n是等比数列;(3)设 Sk=a2+a4+a2k,kN *,证明 0,其前 n 项和 Sn满足 -(n2+2n-1)Sn-S2n(n2+2n)=0.(1)求a n的通项公式;(2)若 bn= ,求 b2+b4+b2n.an-52n解析 (1)由 -(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0,S2n得S n-(n2+2n)(Sn+1)=0,由 an0,可知 Sn0,故 Sn=n2+2n.当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=(
6、n2+2n)-(n-1)2+2(n-1)=2n+1;当 n=1 时,a 1=S1=3,符合上式,则数列a n的通项公式为 an=2n+1(nN *).(2)依题意,得 bn= = ,2n-42n n-22n-1则 b2n= =(n-1) ,nN *,2n-222n-1 (14)n-1设 Tn=b2+b4+b2n,故 Tn=0+ + + + ,14242343 n-14n-1而 4Tn=1+ + + .24342 n-14n-2-得 3Tn=1+ + + - = -14142 14n-2n-14n-11-(14)n-11-14 n-14n-1= ,故 Tn= .13(4-3n+14n-1) 19
7、(4-3n+14n-1)9思路分析 本题主要考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.(1)由 -(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0,得 Sn=n2+2n,再由 an=Sn-Sn-1,能求出数S2n列a n的通项公式;(2)由(1)知 bn= = ,利用错位相减法求出 Tn.2n-42n n-22n-113.(2018 天津河北一模,18)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 an=2-2Sn(nN *),数列b n是等差数列,且 b5=14,b7=20.(1)求数列a n和b n的通项公式;(2)若 cn=anbn,nN *,求数列c n
8、的前 n 项和 Tn.解析 (1)a n=2-2Sn(nN *),a n-1=2-2Sn-1(n2),a n-an-1=-2an,即 an= an-1,当 n=1 时,a 1=2-2S1,解得 a1= ,13 23数列a n是以 为首项, 为公比的等比数列,a n=2 .设数列b n的公差为 d,则23 13 (13)nb1+4d=14,b1+6d=20,解得 b1=2,d=3,b n=3n-1.(2)c n=anbn=2(3n-1) ,(13)nT n=2 2 +5 +8 +(3n-1) ,13 (13)2 (13)3 (13)n Tn=2 2 +5 +8 +(3n-1) ,13 (13)2 (13)3 (13)4 (13)n+1两式相减可得, Tn=2 +3 + + + -(3n-1)23 23 (13)2(13)3(13)4 (13)n (13)n+1=2 ,23+319(1- 13n-1)1-13 -(3n-1)(13)n+1化简可得 Tn= - .726n+723n
