1、- 1 -株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟第卷（选择题）一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）1. 设全集 ,集合 ，集合 ，则 ( )0,1234U=0,12A=2,3B=()BUCA=A B C D f 40,12342. 在区间 上任意取一个数 ，使不等式 成立的概率为( ),x20xA B C D611213413.已知各项为正数的等比数列 满足 ，则 ( ) na12,6a
2、aA64 B32 C16 D4 4.欧拉公式 cosiixex（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知， 表4iie示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5.已知 是不等式组 所表示的平面区域内的两个不同的点，则 的MN、1,0,6xy |MN最大值是 ( )A. B. C. D. 17342321726若均不为 1 的实数 、 满足 ，且 ，则（ ）ab0abA. B. C. D. log3lab6+ba31ba- 2 -PD CBA7 一个几何体的三视图如图所示，则该几何
3、体的体积为（ ）A. B. C. D. 2388238108如图，边长为1正方形 ABCD，射线 从 出发，BPA绕着点 顺时针方向旋转至 ，在旋转的过程中，BC记 ， 所经过的在正方形(0,)2APxABCD内的区域（阴影部分）的面积为 ，则函数 的图像是 ( )(xfy)fx9右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入 的值分别为 6、 8、 0，则输出 和abi、 、 a的值分别为( )i1 2o xy1 2po xyA B1 2o xy 41 2o xy 4C D32 2 21 1正视图 侧视图俯视图（第 7 题图）（第 8 题图）-
4、 3 -A 0,3 B 0,4 C 2,3 D 2,410已知函数 的图象关于 轴对称，则sin()0()co,xafby的图象向左平移( )个单位，可以得到 的图象 sinyx cos()xabA B C D 43211已知一条抛物线恰好经过等腰梯形 的的四个顶点，其中 ，AB4AB=CD=，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）2D=A B C D343232312已知正方体 的棱长为 2，M 为 CC1的中点若 AM平面 ，且 B平1CAD面 ，则平面 截正方体所得截面的周长为（ ）A B C D32+54+2562第卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
5、 分请将答案填在答题卷上）13已知点 P（2,1）在双曲线 C： 的渐近线上，则 C 的离心率为 .),(12Rbayx14 的展开式中的常数项的值是 （用数字作答）612x15设 的外心 满足 ,则 =错误！未找到引用源。 错P1()3ABururBAcos误！未找到引用源。 16数列 的首项为 1，其余各项为 1 或 2，且在第 个 1 和第 个 1 之间有 个na k2k2，即数列 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列 的前 项na和为 ，则 （用数字作答）nS09三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.（本小题满
6、分 12 分）（第 9 题图）- 4 -在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，ABCD、 、 abc、 、1os23A=-c3,sin6si=（）求 的值； （）若角 A 为锐角，求 的值及 的面积a BCD18.（本小题满分 12 分）如图（1） ，等腰梯形 ， =2， =6， ABCD，E、F 分别是 的两个三等分点若把等腰梯形沿虚线 、 折起，使得2AD=CDFE点 C 和点 D 重合，记为点 P 如图（2） ，（） 求证：平面 平面 ；ABEF（） 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 19. （本小题满分 12 分）已知 分别为椭圆 C： 210xyab的左、右焦点，点 在椭圆上，12
7、,F 0(y)P1,且 2Px轴， 的周长为 612（）求椭圆的标准方程；（）过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，设 为坐标原点，是否存在常数 ，(0,)TCABO使得 恒成立？请说明理由7OAB20.（本小题满分 12 分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有 人，若逐个检验就需要NEFABCD EABFP图（1） 图（2）- 5 -检验 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有 个人，把这 个人N kk的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这 个人的血液全为阴性，因而这 个人只要k检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对
8、这 个人再逐个进行检验，这时 个人的检验次数为 +1 次假设在接受检验的人群中，每个人的k检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为 p（） 为熟悉检验流程，先对 3 个人进行逐个检验，若 =0.1，求 3 人中恰好有 1 人检测结果为阳性的概率；（） 设 为 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数 k当 =5， =0.1 时，求 的分布列；p试运用统计概率的相关知识，求当 和 满足什么关系时，用分组的办法能减少检kp验次数. 21. （本小题满分 12 分）已知函数 ,其中 为大于零的常数2()4ln2fxmx（ ）（） 讨论 的单调区间；y（） 若 ()fx存在两个极值
9、点 12,()x ，且不等式 12()fxa 恒成立，求实数 a的取值范围.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. （本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点 为极xoyl1xty=- o点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 与曲线 的极坐标方程分别为 x 1C2=3cos,inrqr（） 求直线 的极坐标方程l（） 设曲线 与曲线 的一个交点为点 （ 不为极点） ，直线 与 的交点为 ，求1C2AlOAB
10、.|AB- 6 -23（本题满分 10 分） 【选修 4 -5：不等式选讲】已知函数 （ 为实数）()12fxax（）当 时，求函数 的最小值；a()f（）若 ， 解不等式.- 7 -2019 届株洲市高三检测试题（一）参考答案及评分标准(理科数学)一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B B A B A D D D B A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 ; 1460; 15 ; 16. 39935212三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 ）17（本
11、小题满分 12 分）【解析】 （） 由 得2cos1sinA2i3A6(0,)i3AQ由 得sin6si,C1in,由正弦定理 得 -6 分iiacA2a（） 角 A 为锐角，则 3os由余弦定理得 即 或 （舍去）2150b,b所以ABC 的面积 -52sinABCSc-12 分18 （本题满分 12 分）【解析】 （） E,F 是 CD 的两个三等分点，易知，ABEF 是正方形，故 BEEF又 BEPE,且 PE EF=E所以 BF面 PEF又 BF 面 ABEF所以面 PEF面 ABEF -5 分- 8 -（） 过 P 作 POEF 于 O，过 O 作 BE 的平行线交 AB 于 G，则
12、 PO面 ABEF有所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系则 A(2，-1，0),B(2，1，0),E(0，1,0),P(0，0， )-3-6 分所以 ,(2,0)(,1)AEEPurur(0,2)(2,13)ABPAurur设平面 PAE 的法向量为 1nxyz则 -1 112(3,)300nnEPr ru-8 分设平面 PAB 的法向量为 22(,)nxyzur则 -2 2200(3,0)3nABnPur ur-10 分 125cos7nur即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值PAEB57-12 分19 （本题满分 12 分）【解析】 （）由题意， 1(0)F， ， 2()， ，
13、1c 12PF的周长为 6， 6Pa a， 3b 椭圆的标准方程为2143xy-5 分 （）假设存在常数 满足条件。（1）当过点 T的直线 AB的斜率不存在时， 0,AB， ， 3(1)3)2=7OA ，当 2时， 7T； -7- 9 -分 （2）当过点 T的直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 1ykx，设 1A,xy，B,xy，联立2143ykx，化简得 23480kx， 1212228x， . -8 分 12()1OABTyxy 2112kx228()84343k 2(8)1=43k 7-9 分 1，解得： 即 时， OABT；综上所述，当 2时， 7OABT -12 分 20.
14、 （本题满分 12 分）【解析】（） 对 3 人进行检验，且检验结果是独立的，设事件 A：3 人中恰有 1 人检测结果为阳性，则其概率 P（A）= 1230.9.43C-3 分（） 当 K=5，P=0.1 时，则 5 人一组混合检验结果为阴性的概率为 ，每人所检验的50.9次数为 次，若混合检验结果为阳性，则其概率为 ，则每人所检验的次数为 次，15 510.96故 的分布列为1565P 0.910.9- 10 -7 分分组时，每人检验次数的期望如下 1()111()kkkkkPPEP（ ）（ ）（ ） （ ） （ ）不分组时，每人检验次数为 1 次，要使分组办法能减少检验次数，即 1kP（
15、）kP所以当 时，用分组的办法能减少检验次数。-k-12 分21 （本小题满分 12 分）【解析】（） -1 分284()(0)xmfx（1）当 时， 在 在上单调递增 -),ff,)-2 分（2） 当 时，设方程 的两根为102m2840xm12,x则 1,4x1210,x在 上单调递增， 上单调递减 -()fx(,)12(,)x-5 分（） 由（ （） ）可知， 且0m1212,8mx由 1122()()fxfxa- 11 -2 211111()4ln()4()ln2fxxmxxx所以 -2 11()8lf-6 分设 1,02txt令 1()ln(0)2htt21l()tt当 时，0t2l
16、n0()tt故 在 上单调递减，所以()ht1, 1()32lnht综上所述， 时， 恒成立。-(,32lna1fxa-12 分22.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程【解析】（） -4 分cosin1rqr+=（） 法 1：由 得 -3cosir 3ta,6pq=-5 分点 A 的极坐标 又点 B 在直线 OA 上，所以设 B 的极坐标为 (,)26p (,)6pr由 得 ，所以1cosin1xyrqr+=+=31Br-31-10 分532AB- 12 -法 2：曲线 与曲线 的直角坐标为1C22230,30xyxyx+-=+-=由 得点 A 的坐标 -230xyx+-= (,)4-5 分所以直线 OA 的方程为 3yx=由 得点 B 的坐标为 -13xy+= 31(,)2-7 分所以 ,312OA-10 分5B=-或者： -92233137()()5444A-+=-分-10 分532B=-23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲【解析】（） 时，1a()12|(1)2|fxxx所以 的最小值为 1-()fx-4 分（） 时， ，231()12,afxax因为310a所以此时解得： -6 分31xa- 13 - 时， ，12x()12,1fxax此时： -7 分 时， ，(),f此时无解；-8 分综上： -10 分31ax
