1、- 1 -河北省大名县一中 2019 届高三数学上学期 12 月月半考试题 理第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 , ,则 （ ） |01xA2|BxABA. B. C. D.|0x|1|01x|01x2.已知复数 ，若 是实数，则实数 的值为 （ ）123zbizi， 2zbA B C D03663 以下判断正确的是 ( ).函数 为 上可导函数，则 是 为()yfxR0()fx0函数 极值点的充要条件f.命题“ ”的否定是“B200,1”2,xC.“ ”是“函数()kZ是
2、偶函数”的充要条件()sinfxD. 命题“在 中，若 ，则 ”的ABCsiniAB逆命题为假命题4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 ( )A120 cm 3 B100 cm 3 C80 cm 3 D60 cm 35.由曲线 ，直线 及坐标轴所围成图形的面积为 21yx3yxA. B. C. D. 738103- 2 -6.设等差数列 的前 项和为 ，若 , , ，则 （ nanS21m0mS31m）A. B. C. D. 34567.某教师有相同的语文参考书 3 本，相同的数学参考书 4 本，从中取出 4 本赠送给 4 位学生，每
3、位学生 1 本，则不同的赠送方法共有（ ）A15 种 B20 种 C48 种 D60 种8.已知抛物线 28yx的焦点 F 到双曲线 C：21(0,)yxab渐近线的距离为45，点 P是抛物线 2上的一动点，P 到双曲线 C 的上焦点 1(,)Fc的距离与到直线 2x的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的方程为（ ）A 13y B214xyC214yxD213yx9.已知函数 ，则 的图象大致为 ( ) lnfxfxOyx Oyx Oyx OyxA B C D资*源 10. 如图，ABC 中，AD=DB，AE=EC，CD 与 BF 交于 F，设 ，则(x,y)为 ( )- 3 -%库 11 函
4、数 的图象向右平移 个单位后，与函数cos(2)yx2的sin()3图象重合，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 56566612.已知定义在 R 上的函数 满足： 且()fx2,01)(),xf， ，则方程 在区间(2)(fxf25g()fg上的所有实根之和为 （ ）5,1A. B . C. D. 6789第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 展开式中的常数项为 .231()x14.如图，点 A 的坐标为 1,0 ，点 C 的坐标为 2,4 ，函数 2fx ，若在矩形BCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 15.
5、已知 满足约束条件 若 的最小值为 ,则 .0,axy13xya2zxy1a16已知 F是抛物线 C:28x的焦点， 是 C上一点， F的延长线交 y轴于点 若为 的中点，则 - 4 -三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分）2 在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 oscsinABCb.（I）证明： sinsi；（II）若 2265bcabc，求 tnB.18 （本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ， ， ， nanS10a1231nnaa *N（) 求证：数列 是等比数列；n（
6、) 设数列 的前 项和为 ， ，点 在直线 上，求 的通bnT1b1(,)nT12xynnb项.19 （本小题满分 12 分）随着苹果 7 手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近 100 位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期频数 35 25 资*源%库 a10 b已知分 3 期付款的频率为 0.15，并且销售一部苹果 7 手机，顾客分 1 期付款，其利润为1000 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 1500 元；分 4
7、期或 5 期付款，其利润为 2000 元，以频率作为概率.()求 ， 的值，并求事件 ：“购买苹果 7 手机的 3 位顾客中，至多有 1 位分 4 期付款”abA的概率；（）用 表示销售一部苹果 7 手机的利润，求 的分布列及数学期望 .XXEX20 （本小题满分 12 分如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的PABCPABC中点.（1）求证： ；E（2）设平面 平面 ， ， ，求二面24- 5 -角 的平面角的正弦值.BPAC21 （本小题满分 12 分）已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，2yx:2lykxC,ABMAB过点 作 轴的垂线交 于点MC.N（）证明：抛物线
8、在点 的切线与 平行；（）是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过点 ？若存在，求 的值；若不存在，kABNk说明理由.22(本小题满分 12 分)已知函数 2ln()afxxR（）当 时，求 的单调区间；0a()f（）若函数 在其定义域内有两个不同的极值点 .fx（）求 的取值范围；（）设两个极值点分别为 ，证明: 12,x21xe- 6 -高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D C B C C A C A c B B二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
9、20 分）13-20 14 1215 166三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （本小题满分12分）【解析】 （I）证明：由正弦定理 sinisinabcABC可知原式可以化解为co1 A和 B为三角形内角 , i0则，两边同时乘以 si，可得 scosincsinABA由和角公式可知， nco iABC原式得证。（II）由题2265bcab,根据余弦定理可知，223cos5bac A为为三角形内角， 0， sin0则234sin1，即co3i4A由（I）可知coss1iinBC，cos1inta4B18 已知数列 的前 项和为 ， ，
10、 ， naS10a1231na *N（) 求证：数列 是等比数列；1（) 设数列 的前 项和为 ， ，点 在直线 上，若不等式nbnT1b1(,)nT12xyn对于 恒成立，求实数 的最大值12 912nnbmaaa *Nm解析：（)由 ，1231得 ，123(2)nnaa- 7 -两式相减得 ， 12na所以 （ )，()n因为 ，所以 ， ，10121a21()a所以 是以 为首项，公比为 的等比数列 na（)由（)得 ，因为点 在直线 上，所以 ，1n1(,)nT12xyn12nT故 是以 为首项， 为公差的等差数列， nT12则 ，所以 ，()2(1)nT当 时， ，n12nbn因为
11、满足该式，所以 1n所以不等式 ，12 912nnbmaaa即为 ，2139n令 ，则 ，1nR 23nnR两式相减得，231()2n nn所以 14由 恒成立，即 恒成立，9nnRm542nm又 ，11237()()n故当 时， 单调递减；当 时， ；3325148当 时， 单调递增；当 时， ；4n52nn6则 的最小值为 ，所以实数 的最大值是 61m119 （本小题满分 12 分）- 8 -随着苹果 7 手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近 100 位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示
12、.付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期频数 35 25 a10 b已知分 3 期付款的频率为 0.15，并且销售一部苹果 7 手机，顾客分 1 期付款，其利润为1000 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 1500 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2000 元，以频率作为概率.()求 ， 的值，并求事件 ：“购买苹果 7 手机的 3 位顾客中，至多有 1 位分 4 期付款”abA的概率；（）用 表示销售一部苹果 7 手机的利润，求 的分布列及数学期望 .XXEX解：()由 ，得 因为 所以 30.15a,a35210,ab15分6 分312().).
13、(0.).97PAC（）设分期付款的分期数为 ，则8 分(1)0.35,(2).5,(3).15,P(4)0.1,(5)0.1P的所有可能取值为 1000，1500，2000.X()(1)0.,P1502(3).4,P10 分(2)(4)52X所以 的分布列为1000 1500 2000P 0.35 0.4 0.2512 分10.350.420.5140.EX20 （本小题满分 12 分如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点.ABCPABEC（1）求证： ；P- 9 -（2）设平面 平面 ， ， ，求二面角 的平面角PABC2PB4ACBPAC的正弦值.20 解：（1）设 中点为 ，连接 ，
14、 ，ABOPE因为 ，所以 ，PA又 为 的中点，EC所以 .O因为 ，所以 ，BEAB因为 ，所以 平面 ，又 平面 ，PIPOEPOE所以 A（2）由（1）知 ，O因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，BCABICABPAB所以 平面 ，又 .PAE以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标urOPrxyz系 ，如图所示，Oxyz因为 ， ， ，得 ，ABC42B23ACB由 为 中点， ， ，得 ， ，PO21POB则， ， ， ， ， ，0,O1,0E,10,30,0C- 10 -设平面 的一个法向量为 ，PAC,nxyzr由 ，即 取 ，可得 ，0
15、nru302z33,nr因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，PABPABICABOEABC所以 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，EO1,0ur ，321cos, 7nurr设二面角 的大小为 ，则BPACcos所以 ，247sin1cos二面角 的平面角的正弦值为 .BPAC4721 （本小题满分 12 分）已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中C2yx:2lykxC,ABMAB点，过点 作 轴的垂线交 于点M.N（）证明：抛物线 在点 的切线与 平行；B（）是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过点kAM，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.N解：（）解法一：设
16、， ，把 代入 得 ，1(,)xy2(,)2ykx2yx20kx得 12kx ， 点的坐标为 2 分124NMxN248k， ， 4,y4|kxy- 11 -即抛物线在点 处的切线的斜率为 4Nk分直线 : 的的斜率为 ， 6 分l2ykxlAB解法二：设 ， ，把 代入 得 ，1(,)A2(,)By2kx2yx20kx得 12x ， 点的坐标为 2 分124NMxkN248k，设抛物线在点 处的切线 的方程为 ，l2ymx将 代入上式得 ， 4 分2yx22048kx直线 与抛物线 相切， ， lC22 22()0mmkk， 即 6 分mklAB（）假设存在实数 ，存在实数 使 为直径的圆
17、经过点 kkABMN是 的中点， M1|2N由（）知 11212()()()4yykxkx2214k轴， 8 分MNx2216|48MNkky 2211| ()ABkxx 10 分2 221416k， ，2226168kk故，存在实数 使 为直径的圆 经过点 12 分ABMN22(本小题满分 12 分)- 12 -已知函数2ln()afxxR（）当 时，求 的单调区间；0a()f（）若函数 在其定义域内有两个不同的极值点.fx（）求 的取值范围；（）设两个极值点分别为 ，证明: 12,x21xe解：（）当 时， ；0a()ln.f函数 ()fx的定义域为 ,， fx当 时， ；当 时， .11
18、()0f所以， 在 上单调递减；在 上单调递增. 4 分()f0,() （）依题意，函数 ()fx的定义域为 (,)， (lnfxa所以方程 ()fx在 ,有两个不同根.即，方程 ln0a在 ()有两个不同根. （解法一）转化为，函数 lnyx与函数 yax的图像在 (,)上有两个不同交点，如图. 可见，若令过原点且切于函数 l图像的直线斜率为 k，只须 0ak. 6 分令切点 0A(,ln)x，所以01|xky，又0lnx，所以0ln1x，解得， 0e，于是1e， 所以a. 8 分（解法二）令 ()lngxa，从而转化为函数 ()gx有两个不同零点，而1()（ 0） 若 0a，可见 ()gx
19、在 (,)上恒成立，所以 ()gx在 0,)单调增，此时 ()不可能有两个不同零点. 5 分若 0a，在1xa时， ()0gx，在1a时， ()0gx，xyo1y=lnxy=axA- 13 -所以 ()gx在10,a上单调增，在1(,)a上单调减，从而()大ln6 分又因为在 0x时， gx，在在 x时， ()gx，于是只须：()g大，即1lna，所以10ae. 7 分综上所述，0e8 分（）由（i）可知 12,x分别是方程 ln0xa的两个根， 即 1lnxa， l，不妨设 ，作差得，122ln()xa，即12lnxa. 12x原不等式 等价于e1212122lnlnxxax令 ，则 ， 10 分2t122lnltx设 ， ，l,1tgt2 01tg 函 数 在 上 单 调 递 增 ， , ，0gt即 不 等 式 成 立 ， 21lnt故 所 证 不 等 式 成 立 12 分21xe
